资源描述
等差数列,同学们好,教学目标及重点难点,教学目标 1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。 2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。 重点难点 1.等差数列概念的理解与掌握 2.等差数列通项公式的推导及应用 3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用,复习导入,请看以下几例： 4，5，6，7，8，9，10， 3，0，-3，-6，-9，-12， 1/10,2/10,3/10,4/10,5/10 3，3，3，3，3，3，3，,你还记得吗？,数列的定义 给出数列的两种方法,创设问题情境，引入新课,得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000,等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。,返回,等差数列的公差,公差d 1.an-an-1=d (n2)（数学表达式）,3.d的范围 dR,2.常数 如2，3，5，9，11就不是等差数列,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,例:已知三个数2，x，98成等差数列，求x,等差数列的通项公式,如果等差数列an的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到： a2-a1=d,a2=a1+d,由此得到 an=a1+(n-1)d,返回,an-a1=(n-1)d,an-an-1=d,a4-a3=d,a3-a2=d,an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,a3=a1+2d,(题型一)求通项an,例1：a1=1, d=2, 则 an= ?,解：an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求 an及a20,解 : 由题 a1=8, d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习1：已知等差数列3，7，11， 则 an=_ a4=_ a10=_,4n-1,15,39,an=a1+(n1)d (nN*),(题型二)求首项a1,例2 ：已知等差数列an中，a20=49, d=3， 求首项a1,解：由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习2：a4=15 d=3 则a1=_,6,an=a1+(n1)d (nN*),例3：判断400是不是等差数列5，9， 13， 的项？如果是，是第几项？,解：a1=5, d=4，an=5+(n1)(4),假设-400是该等差数列中的第n项， 则 400=5+(n1)(4),所以400不是这个数列的项,an=a1+(n1)d (nN*),(题型三)求项数n,练习3：100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由.,an=a1+(n1)d (nN*),(题型四)求公差d,例4： 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm, 中间还有10级，各级的宽度成等差数列。 求公差d及中间各级的宽度。,分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,解：由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7,从而可求出 a2=33+7=40 (cm) a3=40+7=47(cm) a4=54(cm) 。,an=a1+(n1)d (nN*),总结： 在 an=a1+(n1)d，nN* 中，有an,a1,n,d 四个量, 已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d (nN*),例5：在等差数列an中已知a3 =10, a9=28, 求a1、d及an,（题型五）综合,an=4+(n1)3=3n+1,an=a1+(n1)d (nN*),解法1：由an=a1+(n1)d,猜想：任意两项an和am(nm)之间的关系：,证明: am=a1+(m1)d,an=a1+(n1)d (nN*), an =a1+(n1)d, a1=am-(m1)d,= am-(m1)d +(n1)d =am+(n-m)d,an=am+(n-m)d,例5：在等差数列an中已知a3 =10, a9=28, 求an,an=am+(nm)d (n、mN*, nm),an=a3+（n-3）3,解法2： a9=a3+(93)d (nN*),28=10+6d d=3,=10+（n-3）3 =3n+1,等差数列的应用,例1. 1）等差数列8，5，2,的第20项是几？ 2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？,解： 1）由题意得，a1=8,d=-3,2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401,an=a1+(n-1)d,n=100 -401是这个数列的第100项。,a20=a1+19d=8+19(-3)=-49,-401=-5+(n-1)(-4),课堂练习（二）,1）求等差数列3，7，11的第4项与第10项。,答案：a4=15 a10=39,2)100是不是等差数列2，9，16的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。,答案：是第15项。,3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。,解：a1=0,d=-3.5,-20不是这个数列中的项。,n=47/7,-20=0+(n-1)(-3.5),等差数列的应用,例2.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。,解：由题意，a5=a1+4d a12=a1+11d,解之得 a1=-2 d=3,若让求a7，怎样求？,即 10=a1+4d 31=a1+11d,课堂练习（三）,1.在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12,答案：a12=0,2.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8,解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7,a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15, a1=1, d=2,课 堂 练 习,在等差数列an中， 1）已知a1=2,d=3,n=10,求an,解：a10=a1+9d=2+93=29,2）已知a1=3,an=21,d=2,求n,解：21=3+(n-1)2 n=10,3）已知a1=12,a6=27,求d,解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=3,4）已知d=-1/3,a7=8,求a1,解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3) a1=10,课堂练习：,2. 求等差数列2，9，16的第10项,100是不是这个数列 的项。如果是，是第几项？,1. 等差数列-5，-1，3的公差是（ ）,A. 4 B. - 4 C. 8 D. -8,3. 等差数列中，已知a3=9, a9=3, 则a12 =_,4. 数列an中,a1= , an+1=an- (nN*), 则通项an=（ ）,5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）,A. an=2n-5 B.an=a+2n-3,C. an=a+2n-1 D. an=2n-3,A,0,D,A.,B.,D. 不能确定,C.,C,1.求出下列等差数列中的未知项:,(1) 2，a ，6 (2) 8，b ，c，-4,(3) 8，b ，-4，c,2.已知 a , b , c 成等差数列， 求证：b +c , c +a , a +b成等差数列,例1：在等差数列an中已知a3 =10, a9=28, 求an,an=am+(nm)d (n、mN*, nm),an=a3+（n-3）3,解法2： a9=a3+(93)d (nN*),28=10+6d d=3,=10+（n-3）3 =3n+1,思考:等差数列 an 中 ,（m 、 n、 N+）, 若 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq ?,【说明】上面的命题中的等式两边有相同数目的项， 如a1+a2=a3 吗？,例2、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450， 则a2+a8 =？,（一）等差数列的基本性质：,3、项数成等差数列的项也构成等差数列。 4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和也 构成等差数列。 5、两个等差数列的和、差还是等差数列即an，bn 是等差数列，anbn也是等差数列， pan、anc 也是等差数列（p，c为常数）。,2、等差中项： 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,1、在等差数列an中，若m+n=p+q，则 .,am+an=ap+aq,（二）等差数列的证明：,例3、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，p，q 是 常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？,应用延伸,例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？,解：由题意得， a6=a1+5d0 a7=a1+6d0,例4.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。,解：a12=30+11d0 a11=30+10d0,dZ d=-4,-23/5d-23/6, -3d-30/11 即公差d的范围为：-3d-30/11,四、小结：,等差数列的定义：,通项公式：,an=a1+(n1)d （ nN*）,更一般的形式：,an=am+(nm)d （ nN*）,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列,（叠加法证明）,作 业,课本P40 A组 第1题,好好学习 天天向上,
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