3.1.1《变化率与导数》课件

3.1 变化率与导数,教学目标,了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵,变化率问题,问题1 气球膨胀率,问题2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是,引导：,这一现象中，哪些量在改变？ 变量的变化情况？ 引入气球平均膨胀率的概念,当空气容量从增加时，半径增加了,r(1)r(0)= 0.62,当空气容量从加时，半径增加了,r()r()= 0.,这一现象中，哪些量在改变？ 变量的变化情况？ 引入气球平均膨胀率的概念,探究活动,气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率,设某个变量 f 随 x 的变化而变化，,从 x 经过 x ， 量 f 的改变量为,量 f 的平均变化率为,平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度瞬时速度,2 瞬时速度,平均速度的概念,这段时间内汽车的平均速度为,已知物体作变速直线运动，其运动方程为ss(t)(表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0 时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0，在时刻t0 +Dt 的位置是s(t0+Dt) OA1，则从 t0 到 t0 +Dt 这段时间内，物体的 位移是,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内，物体的平均速度为:,要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速度,的极限即,例 物体作自由落体运动， 运动方程为： ，其中位移 单位是m ，时间单位是s ，g=9.8m/s2 求：(1) 物体在时间区间 2，2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2，2.01上的平均速度； (3) 物体在t =2时的瞬时速度.,(1) 将 Dt=0.1代入上式，得,(2) 将 Dt=0.01代入上式，得,瞬时速度,高台跳水,高台跳水,导数的概念,一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化率是,导数的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数， 记为 。,即,例: 高台跳水运动中， 秒 时运动员相 对于水面的高度是 （单位： ），求运动员在 时的瞬时 速度，并解释此时的运动状态;在 呢?,同理，,运动员在 时的瞬时速度为 ，,上升,下落,这说明运动员在 附近，正以大约 的速率 。,你能借助函数 的图象说说平均变化率,表示什么吗？请在函数,图象中画出来,割线AB的的变化情况,在,的过程中，,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗？,3.1.1 导数的几何意义,的切线方程为,即,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。,大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象）,1.在函数 的 图像上，(1)用图形来体现导数 ， 的几何意义.,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？,增（减):,增（减）快慢：,=切线的斜率,附近：,瞬时,变化率,（正或负）,即：瞬时变化率（导数）,（数形结合，以直代曲）,画切线,即：导数,的绝多值的大小,=切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度 （陡峭程度）,以简单对象刻画复杂的对象,(2) 曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线 ，函数在 附近单调,如图，切线 的倾斜程度大于切线 的 倾斜程度，,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在 附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：mg/ml）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1),血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示,曲线在该点处的切线的斜率.,函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）,以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括：,是确定的数,是 的函数,导函数 的概念：,小结： .函数 在 处的导数 的几何意义，就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率（数形结合）,切线 AD的斜率,3.导函数(简称导数),2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学 思想方法。,以简单对象刻画复杂的对象,