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学辅教育 成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一 两点分布知识内容两点分布如果随机变量的分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为典例分析1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令，如果针尖向上的概率为，试写出随机变量的概率分布2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即，求随机变量的概率分布3、若随机变量的概率分布如下：01试求出，并写出的分布列3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量试写出随机变量的分布列4、篮球运动员比赛投篮，命中得分，不中得分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 记投篮次得分，求方差的最大值； 当中取最大值时，甲投次篮，求所得总分的分布列及的期望与方差二 超几何分布知识内容将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，为和中较小的一个我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，的超几何分布在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则，典例分析例题：一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，从中任意取个，则取到新球的个数的期望值是 练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差练习3.在个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数求的期望值及方差三 二项分布知识内容若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，典例分析二项分布的概率计算例题：已知随机变量服从二项分布，则等于 练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）A B C D练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 （用数值表示）练习3.某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为_（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 （精确到）例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留位有效数字）练习1.一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是（ ）A B C D 练习2.设在4次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是若某人获得两个“支持”，则给予万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求： 该公司的资助总额为零的概率； 该公司的资助总额超过万元的概率练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率； 求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元某顾客消费了元，得到3张奖券求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；求家具城至少返还该顾客现金元的概率例题：设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数，其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全？（这里不考虑其它故障）练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率二项分布的期望与方差例题:已知，求与练习1.已知，则与的值分别为（ ）A和 B和 C和 D和练习2.已知随机变量服从参数为的二项分布，则它的期望 ，方差 练习3.已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数，的值分别为 ， 练习4.一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，每次取一球，取后放回，取次，则取到新球的个数的期望值是 例题：甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率； 用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望练习1.抛掷两个骰子，当至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功 求一次试验中成功的概率； 求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差练习2.某寻呼台共有客户人，若寻呼台准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为，其中，是参数，且，式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望为、标准差为的正态分布通常记作正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布正态变量在区间，内，取值的概率分别是，正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，称为标准正态分布函数标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A B C D2.若正态分布密度函数，下列判断正确的是（ ）A有最大值，也有最小值 B有最大值，但没最小值 C有最大值，但没最大值 D无最大值和最小值3.对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（ ）A为偶函数 B最大值为C在时是单调减函数，在时是单调增函数 D关于对称4.设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）A BC的渐近线是D（二)求的取值以及概率例题：设，且总体密度曲线的函数表达式为：，求；求及的值练习1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）A该市这次考试的数学平均成绩为分B分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同D该市这次考试的数学标准差为（三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的个数是练习1.已知随机变量服从正态分布，则（ ）ABCD练习2.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 练习3.已知随机变量服从正态分布，则A B C D练习4.已知，若，则（ ）A B C D无法计算加强训练：1设随机变量服从正态分布，若，则2设，且，则的值是（用表示）3正态变量，为常数，若，求的值4某种零件的尺寸服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件约占总数的 （四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量，求的值(五）正态分布的原则例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知，要使灯泡的平均寿命为的概率为，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？练习2.某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数是杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习3.以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）A BC D练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格 求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差； 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率课后练习1、 一个袋子里装有大小相同的个红球和个黄球，从中同时取出个，则其中含红球个数的数学期望是_（用数字作答）2.、同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）A B C D3、某服务部门有个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）A B C D4、同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）A、 B C D5、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是若袋中共有个球，从袋中任意摸出个球，求得到白球的个数的数学期望；求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于并指出袋中哪种颜色的球个数最少5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：至少有1株成活的概率；两种大树各成活1株的概率6.一个口袋中装有个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖试用表示一次摸奖中奖的概率；若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为当取多少时，最大？7.袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布若两个袋子中的球数之比为，将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值8、一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为，而且与正面向上恰为次的概率相同令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求9、某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）5次预报中恰有次准确的概率；次预报中至少有次准确的概率；5次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，求至少有两位乘客在20层下的概率11、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次红球的概率12、已知甲投篮的命中率是，乙投篮的命中率是，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率（保留两位有效数字）13、若甲、乙投篮的命中率都是，求投篮次甲胜乙的概率（）14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为，现有甲，乙，丙人聚会，选用瓶饮料，并限定每人喝瓶，求：甲喝瓶合格的饮料的概率；甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的饮料的概率（精确到）15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”号，不正确的记“”号若某考生随手记上六个符号，试求：全部是正确的概率；正确解答不少于4道的概率；至少答对道题的概率17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：双方各出人；双方各出人；双方各出人三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望20、某班级有人，设一年天中，恰有班上的（）个人过生日的天数为，求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得元的赔偿金假定在一年度内有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金元的概率为求一投保人在一年度内出险的概率；设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，为保证盈利的期望不小于，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）若安检不合格，则必须进行整改若整改后复查仍不合格，则强行关闭设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算（结果精确到）恰好有两家煤矿必须整改的概率；平均有多少家煤矿必须整改；至少关闭一家煤矿的概率23、设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元求一周内期望利润是多少？（精确到）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐已知只有发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击是相互独立的，且命中的概率都是求油罐被引爆的概率；如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分 求拿4次至少得2分的概率； 求拿4次所得分数的分布列和数学期望26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为记，当程序运行一次时， 求的概率； 求的概率分布和期望27、某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望23学海无涯多歧路 “学辅”相伴行万里！