小数除法讲义.doc

诚心教育 诚信教育点拨精英 培养精英 五年级培优点精数学九眼桥校区：莲桂西路168号3-3-102 电话：84528296 13550398466五年级小数除法一、小数除以整数的计算方法：按照整数除法的方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。例1、 李师傅用17.5米布做了5套同样的服装，平均每套服装用布多少米？训练1、用竖式计算（并验算）38.44= 64.818= 二被除数的整数部分不够除的解决办法：如果小数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除。例2、 一瓶果汁1.2升，正好倒满6杯。每杯果汁多少升？训练2、用竖式计算（并验算）3.284= 7.3767=三、除到被除数的末尾仍有余数的解决办法：如果除到被除数的末尾仍有余数，要在后面添0继续除。例3、一根彩带的长度是15.6米，奶奶把这根彩带平均剪成5小段，每小段的长度是多少米？训练3、用竖式计算（并验算）5.38= 12.456=四、一个数除以小数的计算方法：先去掉除数的小数点，看除数有几位小数，被除数的小数点就向右移动几位，然后按照除数是整数的计算法则计算。例4、国内长途话费每分钟0.55元，妈妈打一个国内长途电话一共用去5.17元，妈妈共打了几分钟的电话？训练4、用竖式计算（并验算）16.83.5= 3.4340.85=例5、用竖式计算下面各题12.60.12= 100.64 = 训练5、计算并验算14.40.18= 40.25例6、在（ ）里填上“”或“=”。并总结规律。0.7250.6（ ）0.725 12.85（ ）12.8 4.251（ ）4.25总结：训练6、在（ ）里填上“”或“=”。1.21.01（ ）1.2 2.041（ ）2.04 420.7（ ）42 4.51.5（ ）4.53.081.1（ ）3.081.5 0.810.09（ ）0.811 6.43.2（ ）6.40.32 五、商的近似数：用“四舍五入”法取商的近似数除到保留数位的下一位，这一位上的数字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位进“1”。例7、妈妈在超市买了降价促销的袜子3双，共8.5元，一双袜子大约多少钱？（总价数量=单价）训练7、列竖式计算。（1）得数保留一位小数 （2）得数精确到百分位 （3）精确到0.012.53.5 5.247.2 3.817例8、求出下面各题的商。（结果保留两位小数）（观察余数求近似数的方法：除到要保留的数位，把余数和除数比较，余数大于或等于除数的一半，保留数位末位加1；余数小于除数的一半，舍去。）15.64.6 107 45.538训练8、列竖式计算。（结果保留两位小数）5013 3.817 3.771.3 20662.5六、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字一次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环节：一个循环小数的小数部分，一次不断重复出现的数字，叫做这个小数的循环节。循环小数的简便记法：可以只写一个循环节，在这个循环节的首位和末位个记上一个圆点。例：5.333可写作：，7.145145写作例9、计算下面各题，哪些商是循环小数？循环小数指出循环节（有限小数和无限小数）5.79 58 119111训练9、计算下面各题，商是循环小数的用简便方法表示出来。3.89 4.89 1006 20.2813例10、指出下列小数哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数。混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数。 3.0535353 例11、把、1.3232、这四个数字按照从大到小的顺序排列起来。训练11、把0.743、这四个数按从小到大的顺序排列。例12、0.20314314的小数部分第100个数字是多少？小数部分前100个数字的和是多少？训练12、（1）的小数部分第872位上的数字是几？小数部分前872个数字之和是多少？（2）13.258258的小数部分第872位上的数字是几？小数部分前872个数字之和是多少？七、解决问题（1）有特殊数量关系的连除问题例13、4台电子计算机5秒可以完成1.7亿次计算，每台电子计算机每秒可以完成多少亿次计算？分析：关键理解题意：已知条件是什么？ 所求的问题是什么？解决问题：方法1： 方法2：训练13、一个运输队3辆汽车5天共节油40.5千克，平均每辆汽车每天节油多少千克？在解决实际问题时，求需要多少容器、布袋，车辆等物品的数量时，根据需要，求得的结果要用“进一法”取整数。如：例14、粮油店要把60千克的食物油装入最多能装油4.5千克的油桶里，至少要多少个油桶才能把这些油装完？训练14、一种炸药的安全距离是70米开外，在点燃炸药的导火索后王叔叔以8米每秒的速度跑开，已知导火索每秒燃烧的速度是0.3米每秒，那么导火索至少需要多少米才能确保安全？（得数保留一位小数）在解决实际问题时，计算的结果不一定都用“四舍五入”法，要根据实际需要取近似值。如包装纸、包装袋等，计算结果要用“去尾法”。如：例15、某印刷厂要将939张16开的白纸，装订成每本40张得记事本，这些白纸最多可以装订多少本这样的记事本？训练15、五（1）班班委会买来4跟长度均为10米的绳子，准备为同学们做跳绳，一根跳绳1.4米，最多能做几根跳绳？五年级简便计算练习：0.2516.24 (1.250.125)8 3.6102 3.723.56.283.515.613.115.615.62.1 4.87.8780.52 4.8100.1 56.59.956.5 7.0910.80.87.09 18.769.91.8763201.258 3.522.50.4 5.63.5 4.23.59.60.80.4 17.8(1.784) 3.20.2512.5 2.316+2.323+2.37.74（2.81.3）1.52.26 0.8（4.31.25） 3.9（1.35）32.40.90.132.4 150.25 2.52.4 4.91.4练习、1、填一填。（1）0.6里面有（ ）个十分之一，有（ ）0.01，有（ ）千分之一。（2）0.036去掉小数点后，这个数扩大到原来的（ ）倍。（3）两个数的商是0.81，除数缩小到原来的，被除数不变，商是（ ）。（4）1.9964保留一位小数约是（ ），精确到0.01约是（ ），精确到千分位是（ ）。（5）在取近似数时，遇到保留的小数位数的末尾是0时，这个0（ ）去掉，因为它即满足了题目的要求，有表示精确程度。（6）一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原来多24.66，原数是（ ）。2、解决问题。（1）某公司在电视台的黄金档插播一条15秒的宣传广告，每天播出一次，连续一周，共付人民币87.5万元，平均每秒约多少万元？（得数保留两位小数）（2）一个纺织厂有48台织布机，3.5小时共织布974.4米。平均每台织布机每小时织布多少米？（3）做一套儿童服装需用布2.2米，50米布可以做多少套这样的服装？（4）一堆煤有27.4吨，用载重5吨的卡车运输，至少要运多少次才能运完？（5）一段高速公路长486千米。一辆客车4.5小时可行全程，一辆货车5.4小时可行完全程，货车的速度比客车的速度慢多少？（6）一种一次性纸杯最多能装0.17升饮料，现在有一桶重2升的饮料，如果倒在这种纸杯里，需要多少个纸杯才能全部装完这桶饮料？（7）修路队修一条路，计划每天修3.2千米，45天修完，实际每天修3.6千米，比计划提前几天完工？（8）一辆越野车在沙漠中行驶32.5千米耗油6.5升。它要穿越总路程为1300千米的无人沙漠区，至少得准备多少升汽油？走出无人沙漠区后，在120千米外的曙光村才有加油站，这时油箱里至少还有多少升汽油才能到达加油站？因数和倍数一、知识点讲解一）、因数与倍数的关系1、倍数与因数的意义：如果ab=c（a,b,c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。注意：1) 倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说是谁是因数，谁是倍数。2) 倍数因数只考虑正数。小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：36的因数一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。有（ ）。确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：136=36、218=36、312=36、49=36、66=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。重复的和相同的只算一个因数。例如：7的倍数一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。（ ）。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：17=7、27=14、37=21、47=28、57=35还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、35、422、有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25以内5的倍数有（ 5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是25以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是20的因数的数有（ ）；是20的倍数的数有（ ）；既是20的倍数又是20的因数的数有（ ）。首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！3、关于倍数因数的一些概念性问题1) 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。2) 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。3) 1是任一自然数（0除外）的因数。也是任一自然数（0除外）的最小因数。4) 一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。5) 一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。6) 一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数4、公就是“共同拥有”的意思倍数与公因数：如6和8 的公因数有：1、2；6和8 的公倍数有48、96。二）、2，3，5的倍数的特征1、 2、3、5的倍数特征1) 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。例如：202、480、304，都能被2整除。2) 个位上是0或5的数，是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。3) 一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。4) 个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。例如：80、20、70、130等。5) 个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。例如：120、90等。2、自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）注意：偶数偶数=偶数 偶数偶数=偶数 偶数偶数=偶数偶数奇数=奇数 偶数奇数=奇数 偶数奇数=偶数奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 奇数奇数=奇数奇数奇数=偶数 无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数 奇数个奇数相加是奇数3、一些特殊数的倍数的特征 1) 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。 2) 但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。 3) 一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。例如：16、404、1256都是4的倍数。4) 一个数的末两位数能被25整除，这个数就是25的倍数。例如：50、325、500、1675都是25的倍数。 5) 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344都如果a和b都是c的倍数，那么ab和ab一定也是c的倍数6) 如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数三）、质数和合数1、质数和合数的相关定义1) 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）2) 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。3) 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。4) 如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。 5) 100百以内的质数除2以外所有的质数都是奇数。 除2以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是2，最小的合数是4质数不都是奇数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共25个。6) 质数质数=合数 合数合数=合数 质数合数=合数2、分解质因数（分步相乘法、短除法）1) 分解质因数：把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。2) 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 3) 分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。例如：24=212 24=38 26 因此24=2223 24 23 22二、例题讲解一、倍数与因数的关系例 1 在183=6中，( )和( )是( )的因数。 在39=27中，( )是( )和( )的倍数。例2 按要求写出50以内6和8的所有倍数6 的倍数 8的倍数既是6的倍数也是8 的倍数例 3 判断：3是因数，18是倍数。（ ）例4 下列各式中，被除数是除数的倍数的是（BD）对吗？A.223=7.333 B.0.60.2=3 C.435=8.6 D.549=6例 5 按要求写出100以内的数。 4的倍数： 8的倍数： 12的倍数：二、2、3、5倍数的特征例1：下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数是3的倍数？哪些数既是2和5的倍数，又是3的倍数？35130241003321206015745211066790876280992的倍数：5的倍数:3的倍数:既是2和5的倍数，又是3的倍数:偶数：奇数：例 2 判断：3个连续的自然数中，一定有两个数偶数。（ ） 3是奇数。所以3的倍数也是奇数。 （ ） 一个数既是3的倍数也是2 的倍数，则这个数一定是6的倍数。（ ） 一个数的因数一定比这个数小。（ ）例 3 用0,5,6组成的三位数中，是2的倍数的数有哪几个？是5的倍数的数有哪几个？既是2又是5的倍数的数有哪几个？例 4 既是3的倍数又是奇数的最大两位数是（ ），最小两位数是（ ）。 例 5 奶奶买了14个苹果，小明想平均分给三个人，他至少要吃掉几个才能正好分完？例 6 18的因数有（ ）个，倍数有（ ）个。A.4 B.5 C.6 D.无数例 7 50是有两个相同数字的四位数，它同时是2,3和5的倍数。这个四位数最大是多少？最小是多少？例8 一些珍珠分给几个小朋友，每人分3颗多3颗，每人分5颗少5颗。一共有多少个小朋友？一共有多少颗珍珠？三、质数与合数1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。例 1 找出42的全部因数。其中是质数的是？合数的是？例 2 找1-100的自然数中哪些数是质数？例3 下面各数中哪些是质数？哪些是合数？132227174157612353768797334777991183605质数：合数：例4 两个质数的和是12，积是35，这两个质数分别是多少？例5 从下面的数字中任取两个，按要求组成两位数。（各写4个）75320质数：合数：奇数：偶数：三、课堂练习（一）1、填空题1) 自然数中，（ ）的数叫做偶数，（ ）的数叫做奇数。2) 个位上是（ ）或（ ）的数，是5的倍数。3) 既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是（ ）。4) 6既是（ ）的倍数，又是（ ）的倍数，还是（ ）的倍数。5) 奇数与偶数的和是（ ）数；奇数与奇数的和是（ ）数；偶数与偶数的和是（ ）数。6) 87是一个（ ）数，还是一个（ ）数。7) 一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（ ）。8) 在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。2、判断（对的打“”，错的打“”）1) 在自然数中，除了奇数就是偶数。（ ）2) 个位上是3、6、9的数就是3的倍数。 （ ）3) 1是质数。 （ ）4) 2既是偶数，又是质数。 （ ）5) 所有的质数都是奇数。（ ）6) 10是倍数，5是因数。（ ）7) 自然数a的最大因数是a，最小倍数也是a。（ ）8) 一个自然数不是质数就是合数。（ ）3、选择1) 下面数中，( )既是2 的倍数，又是5的倍数。 A. 24 B. 30 C. 452) （ ）的最小倍数是1。 A. 3 B. 0 C. 13) 最小的质数与最小的合数的和是（ ） A. 6 B. 5 C. 34) 下面数中，( )既是2 的倍数，又是3的倍数。 A. 27 B. 36 C. 195) 两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（ ） A. 3和8 B. 2和9 C. 5和76) 1、3、5都是15的（ ） A. 质因数 B. 公因数 C. 因数7) 一个合数至少有（ ）个因数。 A. 1 B. 2 C. 34、分类。45 67 78 34 23 24 15 128 76 85 9089 49 79 31 97 87 77 37 0 123 55以上数中，偶数有（ ）奇数有（ ）质数有（ ）合数有（ ） 2的倍数有（ ）5的倍数有（ ）3的倍数有（ ）。5、在里填一个数字，使每个数都是3的倍数。5，里可以填（ ）;37，里可以填（ ）;78，里可以填（ ）143，里可以填（ ）;601，里可以填（ ）。6、五一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？7、 小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？（二）一、填空。（33%）（1）64=24，6和4是24的（），24是6的（），也是4的（）。（2）24的因数有（）。（3）下面的数中，把质数划去，留下合数。29232728293135373951（4）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。（5）两个都是质数的连续自然数是（）和（）。（6）在15、18、29、35、39、41、47、58、70、87这些数中：是偶数的有（）；是奇数的有（）；有因数3的是（）；5的倍数有（）。（7）最小的自然数是（），最小的质数是（）最小的合数是（）。二、选择题。将正确答案的序号填在题中的括号里。（8%）（1）一个数是3的倍数，这个数各位上数的和（）。大于3等于3是3的倍数小于3（2）一个合数至少有（）。一个因数二个因数三个因数四个因数（3）87是（）；41是（）。合数质数因数倍数（4）既不是质数又不是合数的是（）。1234（5）42314，我们可以说（）。42是倍数3是因数42是3的倍数42是3的因数（6）两个奇数的和（）。一定是奇数一定是偶数可能是奇数也可能是偶数一定是质数（7）几个质数之积一定是（）。奇数偶数合数质数（8）5和7都是35的（）。奇数偶数因数倍数三、生活中的数（16分）1、501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？2、 食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？3、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？四、课堂小结五、课后作业一、判断题()1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。()2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。()3、个位上是0的数都是2和5的倍数。()4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。()5、5是因数，10是倍数。()6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。()7、因为189=2，所以18是倍数，9是因数。()9、任何一个自然数最少有两个因数。()10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。()11、15的倍数有15、30、45。()12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。()13、两个素数相乘的积还是素数。( )14、一个合数至少得有三个因数。( )15、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。()16、15的因数有3和5。()17、1是16的因数，16是16的倍数。()18、8的因数只有2，4。()19、任何数都没有最大的倍数。二、填空。1、在50以内的自然数中，最大的素数是（ ），最小的合数是（ ）。2、既是素数又是奇数的最小的一位数是（ ）。3、在20以内的素数中，（ ）加上2还是素数。4、如果有两个素数的和等于24，可以是（ ）（ ），（ ）（ ）或（ ）（ ）。5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。6、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）。7、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）。8、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（）个；a-b的差的所有因数有（）个；ab的积的所有因数有（）个。9、比6小的自然数中，其中2是()的因数，又是()的倍数。10、个位上是()的数，都能被2整除；个位上是()的数，都能被5整除。11、在自然数中，最小的奇数是()，最小的偶数是()，最小的素数是()，最小的合数是()。12、素数只有()个因数，它们分别是()和()。13、一个合数至少有()个因数，()既不是素数，也不是合数。14、自然数中，既是素数又是偶数的是()。15、48的最小倍数是（），最大因数是（）。最小因数是（）。16、用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（）。17、一个自然数的最大因数是24，这个数是（）。18、在27、68、44、72、587、602、431、800中。（共4分）奇数是：偶数是：19、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。（共5分）素数是：合数是：20、按要求做。（67题共12分）从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。（1）组成的数是2的倍数有：（2）组成的数是5的倍数有：。（3）组成的数是3的倍数有：21、偶数+偶数=奇数+奇数=偶数+奇数=22、幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（）个小朋友。三、选择题1、15的最大因数是（），最小倍数是（）。135152、在1427中，2和7都是14的（）。素数因数质因数3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。612241444、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）。120个90个60个30个5、自然数中,凡是17的倍数（）。都是偶数有偶数有奇数都是奇数6、下面的数，因数个数最多的是（）。A18B36C407、 两个素数的和是（）。 A偶数B奇数C奇数或偶数8、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（）。A奇数和偶数B素数和合数C素数、合数、0和19、1是（）。 A素数B合数C奇数D偶数10、 甲数3=乙数，乙数是甲数的（）。 A倍数B因数C自然数11、 同时是2、3、5的倍数的数是（）。 A18B120C75D810四、应用题。1、一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?2、 幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？最大公因数与最小公倍数例1、（1）求12和18的最大公因数； 6 （2）求10、16和24的最小公倍数； 240（3）有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，且无剩余， 每段长度必是120、180、300的公约数。 练习1、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可加工3个，第二道工序每个工人每小时可加工5个，第三道工序每个工人每小时可加工10个。要使流水线正常生产，各道工序安排几个工人最合理？分析：要使流水线正常生产，不浪费人力和时间，加工零件的个数应是3、5、10的最小公倍数。 最大共因数的求法 （辗转相除法）例1. 一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？辗转相除法的介绍：辗转相除法，又叫欧几里得算法，是求两个正整数的最大公因数的算法，是已知最古老的算法，可追溯至3000年前，首次出现于欧几里得（几何学的奠基人）的几何原本，而在中国则可以追溯至东汉出现的九章算术。分析：由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数。我们可以用上面复习的短除法来求得这俩个数的最大公约数，可是很麻烦。那遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到，但又不能轻易断定它们是互质的，怎么办？在此，我们以例1为例，介绍一种新的求最大公约数的方法。对于例1，可做如下图解：15911131113 11131113159159447159477447477 2703从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个，在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个，然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余，因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数。所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米。所以，159是2703和1113的最大公约数。把图解过程转化为计算过程，即：27031113=24771113477=2159477159=3当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数。解：2703=21113+477 1113=2477+159 477=3159（2703，1113）=159答：这样的正方形的边长是159厘米。练习1、求1008、1260、882三个数的最大公因数是多少？126例2、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：设要求的数为x，则有：4x 28 y 7 x=4y，28=47 28x=4y47又4是x和28的最大公约数，（y，7）=1， y47是x和28的最小公倍数。 x28=4252 x=425228=36 要求的数是36.通过例2的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的关系是：（a，b）a,b=ab这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化为先求两个数的最大公约数，再用两个数的乘积除以最大公因数，其结果就是这两个数的最小公倍数。练习2、求62和93的最小公倍数。 186方法总结：求2个自然数的最大公因数的方法：1、观察比较法 2、短除法 3、辗转相除法。求2个自然数的最小公倍数的方法：1、短除法2、利用两个自然数的最大公因数与最小公倍数的关系：（a，b）a,b=ab 先求两个自然数的最大公因数，再用两个自然数的乘积除以最大公因数。 特别地，对于求2个以上自然数的最大公因数与最小公倍数，上面的方法依然适用。具体可以先求其中任意两个的数的最大公因数（最小公倍数），再求这个公因数（公倍数）与另外一个数的最大公因数（最小公倍数），这样求下去，直至求得最后结果。三、实际应用：例3、用某数去除600余5，去除818余13，去除871余4.求某数最大是多少？分析：根据已知条件可知：只要把600减去5,818减去13,871增加4后，这三个数都能被某数整除。再根据题中要求某数最大是多少，显然就是求（600-5）、（818-13）和（871+4）这三个数的最大公因数。 练习3、有一个自然数，去除81余1，去除61也余1，求这个自然数最大是多少？例4、 有一袋水果糖，4块4块地数多3块；6块6块地数多5块；15块15块地数多14块。这袋糖在150至200块之间，问到底有多少块？分析：由已知条件可知：这一袋糖只要增加1块，就正好是4、6、15的公倍数。也就是说，这袋糖的块数比4、6、15的公倍数少1.那么就可以先求出4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这袋糖在150到200块之间”这一条件找出它的块数。 练习4、五（1）班有五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人；平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？58人。例5、把450个苹果和250个橘子平均分配在若干只水果篮里，水果篮的只数在3050之间。分到最后苹果余30个，橘子少2个。问有多少只水果篮？分析：根据条件可知，水果篮里需要放苹果450-30=420个，橘子250+2=252个。由于水果篮里的各种水果要分别相同，所以，篮子的只数应是420和252的公因数。先求出420和252的最大公因数为84，但篮子数没有84只，而是在30到50之间，这就是说篮子的只数应是84的约数。将84的约数尽数写出，可以发现，只有42符合条件。 练习5、把150块糖和80块巧克力平均分给幼儿园的小朋友，他们的人数在3540之间。分到最后糖多6块，巧克力多8块。问有多少个小朋友？有36个小朋友。习题1、一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在把它裁成一些大小相等且尽可能大的正方形而无剩余，且边长是整厘米数，可以裁多少块？分析：题中单位不统一，需要先把单位统一，因为题中要求裁后无剩余，且裁成的正方形要最大，所以，正方形的边长必须是75和60的最大公因数。求出了正方形的边长，就不难求可以裁多少块了。 可以裁20块。 习题2、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？倍数问题一、知识要点倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。二、精讲精练【例题1】 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？练习1：1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？3.一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？【例题2】 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出63=18本，则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，186就正好对应着后来乙组的（53）倍。因此，后来乙组有图书（186）（53）=12本，乙组原来有126=18本，甲组原来有183=54本。练习2：1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？【例题3】 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？【思路导航】因为苹果是梨的2倍，每组分3个梨和32=6个苹果最后就一起分完。可每组分4个苹果，少分64=2个，所以有8组同学，全班有78=56人。练习3：1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多少棵？3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？【例题4】 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多82=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16132=42个。因此，乙筐里还有42（21）=42个，原来乙筐里有4213=55个，甲筐里原来有5516=71个。练习4：1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？2.兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3支笔，每支笔1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少元？3.学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各多少人？【