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对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ； ； 注意：换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：a10a0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是例2求函数和函数的反函数。解：（1） ； （2） 例4比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， (3）， ， ， （4）， 例7求下列函数的值域：（1） ； （2）； （3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函数值域为 （3）令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为例8判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。例9求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。例10若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为解 (2)1loga(xa)0，loga(xa)1当a1时，0xaa，函数的定义域为(a，0)当0a1时，xaa，函数的定义域为(0，)域和值域反函数的定义域为(0，1)，值域为yR【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg(x) (2)y=log2|x1| 解 (1)y=lg(x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图283所示，单调减区间是(，0)解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得ylog2|x1|的图像如图284所示单调递减区间是(，1) 单调递增区间是(1，)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为所示单调减区间是(1，2 单调增区间是2，)解 (4)函数y=log2(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(x)的图像，再把ylog2(x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1x)的图像如图286所示单调递减区间是(，1)【例4】 图287分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcxy=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 AdcbaBabcdCbadcDbcad解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1的值，易得ba1dc【例5】 已知loga3logb3，试确定a和b的大小关系解法一 令y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取x3时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3logb30时，由图像288，取x=3，可得ba1(2)当0loga3logb3时，由图像289，得0ab1(3)当loga30logb3时，由图像2810，得a1b0顺序是：_奇偶性解法一 已知函数的定义域为R，则xRf(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为R=loga1=0f(x)=f(x)，即f(x)为奇函数单元测试一、选择题（每小题5分，共50分）.1对数式中，实数a的取值范围是（ ）AB(2,5)CD 2如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么（ ）Ax=a+3bcB C Dx=a+b3c33设函数y=lg(x25x)的定义域为M，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为N，则（ ）AMN=RBM=N CMN DMN4若a0，b0，ab1，=ln2，则logab与的关系是（ ）Alogab Blogab=C logabDlogab5若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（ ）A BC D6下列函数图象正确的是（ ） A B C D7已知函数，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x) （ ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数9如果y=log2a1x在(0，+)内是减函数，则a的取值范围是（ ）Aa1Ba2Ca D10下列关系式中，成立的是（ ）AB C D二、填空题：（每小题6分，共24分）.11函数的定义域是 ，值域是 .12方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .13将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 .14函数y= 的单调递增区间是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15（12分）已知函数.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16 （12分）设x，y，zR+，且3x=4y=6z. (1)求证：; (2)比较3x，4y，6z的大小.17（12分）设函数.(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；(4)求函数f(x)的反函数.18现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.20（14分）已求函数的单调区间.必修1数学章节测试（7）第二单元（对数函数）一、DCCAB BDBDA二、11 ， ； 120； 13； 14 ；三、15 解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p3时，f (x)的值域为(，2log2(p+1)2)；当1p3时，f (x)的值域为(，1+log2(p+1).16 解：(1)设3x=4y=6z=t. x0，y0，z0，t1，lgt0，.(2)3x4y6z.17解： (1)由得xR，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2R，且x1x2，则. 令，则. = = =x1x20，t1t20，0t1t2，f (x1)f (x2)lg1=0，即f (x1)f (x2)， 函数f(x)在R上是单调增函数. (4)反函数为(xR).18解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为；2小时后，细胞总数为；3小时后，细胞总数为；4小时后，细胞总数为；可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，由，得，两边取以10为底的对数，得， ，. 答：经过46小时，细胞总数超过个.19解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1CS梯形AA1C1C.（2）因为v=在上是增函数,且v5, 上是减函数，且10得0x1，所以函数的定义域是(0,1)因为0=，所以，当0a1时, 函数的值域为当0a1时，函数在上是增函数，在上是减函数.
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