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对原函数存在条件的探讨中文摘要 在微积分学中原函数存在是其理论的核心原函数存在定理初步揭示了积分学中定积分与原函数之间的关系引用导函数的性质以及微积分基本定理来论证原函数存在得到了原函数存在的条件对原函数存在条件的探讨最后用原函数存在的条件去解决生活中的实际例子Abstract: in calculus, the original function existence is the core of the theory. The original function existence theorem initially revealed the relationship between the original function and the integral in integral calculus and reference guide function and the fundamental theorem of calculus to prove the existence of primitive function, the original function of the existence condition is obtained, discussion on the existence conditions of the original function, conditions for the original function exists to solve practical examples in life.关键词 原函数 定积分 导函数 微积分基本定理Keywords: primary function, integral, derivative, the fundamental theorem of calculus, Newton Leibniz formula引言 微积分基本定理即原函数存在定理和newton-leibniz公式肯定了连续函数的原函数存在的重大意义有利于我们研究原函数的特殊性质newton-leibniz公式则是证明原函数存在的一个公式因此它们都具有十分重要的意义 在教学中我们学习了导数性质不定积分可积的概念来计算定积分利用newton-leibniz公式计算定积分的值然而定积分的计算用黎曼可积往往比较复杂为寻求简便计算方法引入原函数为此原函数和可积之间在某些情况下就联系起来了在微积分学中我们探讨原函数存在的条件能够充分认识导函数的性质证明原函数存在通过原函数存在性将积分与导数紧密联系在一起其中运用到newton-leibniz公式将导数和定积分连接起来函数可积的条件导函数的一些性质充分利用它们的关系导出原函数存在的条件并推广和运用得到实践效果使复杂问题简单化发挥数学独到的美感1. 原函数1.1原函数的定义定义1.1函数与在区间上有定义若或者则称为在区间上的一个原函数注 对于原函数的说法是有针对性的必须指明在哪个区间这样原函数才有意义1.2 可积的概念及相关定理定义1.2.1设为上的函数在中插入若干个分点(这里插入 个) 来划分区间在每一个部分区间中任取一点作和式 其中设为中的最大数即 当时如果和式的极限存在即 就称此极限值为在上的定积分记为.数分别称为积分上限与积分下限和式称为的积分和 注 在上述意义下的定积分也叫黎曼积分简称积分 定理1.2.1(定积分存在的充要条件)函数在可积的充要条件是即 (其中为达布上和为达布下和)定理1.2.2设是上的有界函数则(表示在上黎曼可积)当且仅当其上下积分相等此时有定理1.2.3 若则.(其中表示在上连续)定理1.2.4 若是上的单调函数则.定理1.2.5（Du Bois Reymond）上有界函数可积的必要条件是：对任给的存在分划：其相应于的子区间的长度的总和小于.定理1.2.6(牛顿莱布尼茨公式（Newton-leibniz公式）设在上可积且在上有原函数则（下文中简称此公式为N-L公式）1.4原函数的意义定积分的值是在可积基础上计算出来的而在微积分学中有些定积分往往不是太容易计算而利用newton-leibniz公式寻找被积函数的原函数从而可以把复杂问题简单化 利用定积分和导数的关系用newton-leibniz公式把定积分和原函数联系起来可以得到原函数利用原函数求定积分生活中也经常出现这些类似的问题在我们设计铁路公路天空中飞机的航线往往需要微积分定理的知识将定积分和原函数紧密联系在一起将误差降低到最小保证人们的安全具有十分重要的意义2. 原函数存在的条件2.1原函数存在的定理及证明定理2.1(充分条件）若函数在区间上连续且在 处连续则其变上限积分 在点处可微且其导数等于.(当是端点或时是指右左导数)证明 记且不妨讨论它在处的右导数. 首先取,因为有 所以其差商满足 其次根据在点处的连续性可知对任给存在使得且 现在取就有. 从而又可得差商的估计式： . 这说明 同理可证得 综上在上可微且其导函数等于注 由的任意性可以得到在上处处可导从而变上限积分 也就为的原函数定义2.1若函数在点的左右极限都存在但不相等或者 在点的左右极限存在且相等但不等于（或在点处无定义）则称为第类间断点 定义2.2 函数在点的左右极限中至少有一个不存在则称为第类间断点定理2.2 (导函数极限定理)设函数在点的某领域连续在内可导如果极限存在则函数在点处可导且 定理2.3(达布定理)设是某个区间内的可微函数是内任意两点而是和之间的任意值则必有一点使得定理2.4(原函数存在的必要条件1)在某区间上处处有定义的导函数如果在内有间断点那么这个间断点必为振荡间断点证明 设在区间内某一点处间断那么由定理2.2和定理2.3可知 肯定不是第一类间断点（否则必在区间连连续）也不是无穷间断点不妨设故不存在故矛盾推论2.1 定义在某个区间内的函数若有可去间断点或者在间断点处 的左右极限中有一个为无穷则在区间上不存在原函数定理2.5 （原函数存在的必要条件2）若函数在某个区间内存在原函数则函数在区间内具有介值性推论2.2 设且有定义在上的可微函数满足 则函数 在上可微且有（看成复合函数）推论2.3 设且在开区间上有原函数.（1） 若在上连续=（2） 若在点,上有则2.2 原函数存在与否的实例 例2.1 计算定积分 解 方法一 利用定积分概念当为各小区间的右端点时有 此题关键利用 方法二 被积函数在上连续的则由定理2.1知存在原函数又由newton-leibniz公式得如下注 比较上面两个方法可以知道利用函数可积的概念计算不定积分往往比较困难然而利用原函数和N-L公式计算不定积分相对容易些例2.2 狄里克莱函数（dirichlet 函数）在内每一点都是的第二类间断点问是否dirichlet函数存在原函数解 在任意闭区间内不具有介值性且在内不连续由推论2.1知狄里克莱函数不存在原函数注 dirichlet不连续也不存在原函数例2.3 若函数 求的原函数解 当时由于在时连续因而由定理2.1知存在原函数即 当时也存在原函数即 因此原函数为注 1)此函数在上不连续但存在原函数由上面例子知不能说明原函数存在的必要条件2)可以断言如果不存在原函数那么这个函数一定不连续例2.4 设函数 问是否存在一个以为其导数的一个原函数 解 因在上只有在不连续据定理1.2.6知该函数可积但为的第一类间断点从而不存在原函数 注 此例函数不可积但是其原函数存在3原函数存在和函数的可积性的联系3.1函数的原函数存在性问题由newton-leibniz公式可以知道函数可积和原函数密切联系函数可积的条件满足（定理1.2.1至定理1.2.6满足可积）可以计算原函数如果函数不连续是否也能存在原函数呢计算定积分下面我们将讨论例3.1 设在上黎曼可积且有求 解 在上黎曼可积并记为（1）式 两边同时对求导可得 记为（2）式在上连续由定理2.1知具有原函数即 记为（3）式 将（3）式代入（1）式有： 解得 引理3.1 在区间上的导数它在上没有第一类间断点定理3.1 若函数在区间不连续且存在第类间断点则在区间一定不存在原函数 证明 若函数在区间上存在原函数则 定理2.3知若有间断点必为振荡间断点 与存在第类间断点矛盾 一定不存在原函数例3.2 证明黎曼函数 在内不存在原函数证明 在不连续且存在第一类间断点 定理3.1知不存在原函数 注 此例说明了不连续的函数没有原函数但函数却可以是可积的 例3.3 已知函数 问原函数是否存在？ 解 函数的第类间断点(无穷间断点) 由推论2.1知在处不存在原函数 结论 (1)若函数在区间上只有第类间断点则不存在原函数 (2)若函数在区间上只有无穷间断点则不存在原函数 (3)若函数在区间上只有振荡间断点则原函数的存在性需要经进一步探讨（由例2.2和例2.3可知）3.2函数的可积性与原函数存在无蕴涵关系 例3.2.1已知 求原函数 解 当时的某个原函数为 当时的原函数为 故原函数为注 此在上无界由定理1.2.1知不可积但是却存在原函数结论3.2.1 若函数可积不一定存在原函数结论3.2.2 若函数不可积也可能存在原函数 因此函数可积性和函数的原函数存在并无蕴涵关系4原函数的存在性的推广及运用例4.1 计算定积分 解 在时易知 这说明在上的原函数之一是但因我们有所以根据推论2.3知 例4.2 设讨论是否存在原函数 解 函数不具有介值性 由定理2.5可知不存在原函数例4.3 设 试问是否存在原函数 解 当时处处连续而当时 当 是的第一类间断点根据定理3.1可知函数在 处没有原函数例4.4 设试问是否存在原函数 解 显然当时处处连续（1） 若时 在点处连续 根据原函数存在定理可知在实数域上存在原函数（2） 若 在点处为的第一类间断点 据定理3.1可知不存在原函数 综上, 当时不存在原函数 当时存在原函数例4.5 设试讨论是否存在原函数 解 不存在 点为的振荡间断点 当时有原函数 当时在处不存在原函数5总结通过资料查阅对原函数条件进一步了解去运用原函数去解决某些实际问题本文首先给出了原函数的概念利用原函数计算定积分进一步给出可积的相关定理其次对原函数存在的条件进行讨论再次从原函数与定积分的关系可积函数的原函数是否存在进行探讨等最后应用定理解答若干例子本文中原函数最终是一个函数因此函数值有很多利用原函数存在定理可以知道函数可积是原函数存在的某一个函数值因此函数有原函数存在要比函数可积要多得多故只讨论了原函数存在的某一个局部性质本文的不足在于不能对原函数存在与可积性的关系给以理论上的证明只给出了反例还有就是对原函数存在条件的试探还太浅面不够深入参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析第三版M.高等教育出版社,1999.2 周民强.数学分析第二册M.上海科学技术出版社,2003.3 吴崇俭,钱林宁.关于原函数存在条件的讨论J.安徽建设工业学院学报,1995,(1).4 陈妙琴,关于函数可积与原函数的存在性问题J.福建教育学院报,2007.5 胡宏, 戴冕,原函数的存在性J.淮阴工业专科学校学报.2000,(1).6 张申媛,关于函数可积性与原函数存在问题J.中国科技信息.2011(01).7 马保国,王延军.分段函数函数的可积性与原函数存在性J.大学数学.2009(02).8 贺彭雄,浅谈不连续函数的原函数J.湖北成人教育院学报.2007(05).9 王薇,定积分中的间断点与原函数存在性问题之探讨J.南京工业职业技术学院报.2004(02).10冯春.原函数性质的讨论及运用J.高等数学研究.2004(06).11同济大学应用数学系.高等数学(第五版)M北京,高等教育出版社,2003.12华东师范大学数学系数学分析(第二版)M北京,高等教育出版社,1991.13张筑生.数学分析新讲M.北京,北京大学出版社,1990.14闫彦宗,陈海鸿,岳晓红,可积性与原函数存在性的关系J.安庆师范学院学报(自然科学版),2003(02).15耿彦如,振荡间断点的几个性质J,邢台学院学报,2010(04).16孔真,函数连续与函数可积和原函数存在性的关系J,黑龙江科技信息,2015(14).第13页，共13页