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1 第五章 相交线与平行线 【知识要点】 1.两直线相交 2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶 角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。 （1） 对顶角的性质：对顶角相等。 4垂直定义：当 两 条 直 线 相 交 所 形 成 的 四 个 角 中 ， 有 一 个 角 是 90那 么 这 两 条 线 互 相 垂 直 。 5.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 6平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线， “平行”用符号“”表示，如直线 a，b 是平行 线，可记作“ab” 7平行公理及推论 （1）平行公理：过 已 知 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 平 行 。 （2）推论：如 果 两 条 直 线 都 与 第 三 条 直 线 平 行 ， 那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平 行 。 注： （1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。 （2）平行具有传递性，即如果 ab，bc，则 ac。 8两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 9平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内） （2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内） （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内） 10平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内） （2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内） （3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内） （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 补充： （5）平行的定义；（在同一平面内） （6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 考点一：对相关概念的理解 对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例 1：判断下列说法的正误。 （1） 对顶角相等； （2） 相等的角是对顶角； （3） 邻补角互补； （4） 互补的角是邻补角； （5） 同位角相等； （6） 内错角相等； （7） 同旁内角互补； （8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行； （12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。 练习：下列说法正确的是（ ） A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 考点二：相关推理（识记） （1）ac，bc （已知） _ _（ ） （2）1=2，2= 3（已知） _ =_ （ ） 2 （3）1+ 2=180， 2=30（已知） 1=_（ ） （4）1+ 2=90，2=22（已知） 1=_（ ） （5）如图（1） ，AOC=55 （已知） BOD=_（ ） （6）如图（1） ，AOC=55 （已知） BOC=_（ ） （7）如图（1） ，AOC= AOD，AOC+AOD=180（已知） 21 BOC=_（ ） （1） （2） （3） （4） （8）如图（2） ，ab（已知） 1=_（ ） （9）如图（2） ，1=_（已知） ab（ ） （10）如图（3） ，点 C 为线段 AB 的中点 AC=_（ ） (11) 如图（3） ， AC=BC点 C 为线段 AB 的中点（ ） （12）如图（4） ，ab（已知） 1=2（ ） （13）如图（4） ，ab（已知） 1=3（ ） （14）如图（4） ，ab（已知） 1+4= （ ） （15）如图（4） ，1=2（已知） ab（ ） （16）如图（4） ，1=3（已知） ab（ ） （17）如图（4） ，1+4= （已知） ab（ ） 考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算 例题 1：如图 51，直线 AB、CD 相交于点 O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD 的邻补 角是_。 例题 2：如 图 52，直线 l1，l 2 和 l3 相交构成 8 个角，已知1=5，那么，5 是_的对顶角，与5 相 等的角有1、_，与5 互补的角有_。 例题 3：如图 53，直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OE 为BOD 的平分线，BOE=30，则AOE 为 _。 图 51 图 52 图 53 考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别 例题 1：如图 2-44，1 和4 是 AB、 被 所截得的 角，3 和5 是 、 被 所截得的 角，2 和5 是 、 被 所截得的 角，AC、BC 被 AB 所 截得的同旁内角是 . 例题 2：如图 2-45，AB、DC 被 BD 所截得的内错角是 ，AB、CD 被 AC 所截是的内错角是 ，AD、BC 被 BD 所截得的内错角是 ，AD、BC 被 AC 所截得的内错角是 。 a b 1 1 2 34 a b . A C B 3 例题 3：如图 126 所示AEBD，1=32，2=25，求C 考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练） 例题 1：如图 9,已知 DFAC,C=D,要证AMB=2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据: DFAC(已知),D=1( ) C=D(已知),1=C( ) DBEC( ) AMB=2( ) 例题 2：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，AEF+CFE=180，1=2，则图中的H 与G 相等吗？说 明你的理由. 考点六：特殊平行线相关结论 例题 1：已知，如图：AB/CD,试探究下列各图形中 .的 关 系BPD, 2 1 (9) D C F M A E B N A B C D P (1) A B C D P (2) A B C D P(3) A B C P(4) A 1 B C D E F G H 4 考点七：探究、操作题 例题：（阅读理解题）直线 ACBD，连结 AB，直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成、四个部分，规定： 线上各点不属于任何部分当动点 P 落在某个部分时，连结 PA,PB，构成PAC，APB，PBD 三个角（提示： 有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角） （1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB =PAC +PBD； （2）当动点 P 落在第部分时，APB =PAC +PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点 P 在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结 论选择其中一种结论加以证明 练习： 1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图： （1）将直角三角板 ABC 的 AC 边延长且使 AC 固定； （2）另一个三角板 CDE 的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合； （3）延长 DC，PCD 与ACF 就是一组对顶角，已知1=30，ACF 为多少？ 【配套练习】 1、如图，要把角钢（1）弯成 120的钢架（2） ，则在角钢（1）上截去的缺口是_度。 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（ ） ABCDEF150AEF 3如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ，则 的度数等于（ ）2， 3 4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果1=32 o，那么2 的度数是（ ） 5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与2 互余的角是 第 5 题 第 6 题 1 A E D CB F 2 1 1 2 3 1 2 345 6 1 2 3 4 56 a A B C D 5 6光线 a 照射到平面镜 CD 上，然后在平面镜 AB 和 CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即 16，53，24。若已知1=55，3=75，那么2 等于（ ） 8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2 的度数为（ ） A、115 B、120 C、145 D、135 9、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线 a、b 中的直线 b 上，如果1=40，则2 的度数是（ ） A、30 B、45 C、40 D、50 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题 10、如图，lm，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 m 上，若=20，则 的度数为（ ） A、25 B、30 C、20 D、35 11、如图，ABEFCD ，ABC=46，CEF=154 ，则BCE 等于（ ） A、23 B、16 C、20 D、26 12、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果=43，则 的度数是（ ） A、43 B、47 C、30 D、60 13、如图，已知 L1L2，MN 分别和直线 l1、l2 交于点 A、B，ME 分别和直线 l1、l2 交于点 C、D，点 P 在 MN 上（P 点与 A、 B、M 三点不重合） （1）如果点 P 在 A、B 两点之间运动时，、 之间有何数量关系请说明理由； （2）如果点 P 在 A、B 两点外侧运动时，、 有何数量关系（只须写出结论） 17.如图（6） ，DEAB，EFAC，A=35，求DEF 的度数。 6 一、填空题 1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若1=28 ,则2_ 2. 已知直线 ， ， ，则 度ABCD 60E 20CD BED 3. 如图，已知 ABCD，EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，160，则2_度. 4. 如图，直线 MANB，A70，B40，则P. 5. 设 、b、c 为平面上三条不同直线，a （1） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；/, （2） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_； （3） 若 ， ，则 a 与 c 的位置关系是_ 6. 如图，填空： （已知） （ ）A （已知） （ ）B （已知） （ ）1D 二、解答题 7. 如图， 与 是邻补角，OD、OE 分别是 与 的平分线，试判断 OD 与 OE 的位置OCAOCB 关系，并说明理由 8. 如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE AB，垂足为 O，若DOE3COE，求BOC 的度数 9. 如图，ABDE ，那么B、BCD、D 有什么关系？ 1. 如图， 那么点 A 到 BC 的距离是_，点 B 到 AC 的距离是,8,6,10,BCAcmCABcm _，点 A、B 两点的距离是_，点 C 到 AB 的距离是_ 2. 设 、b、c 为平面上三条不同直线，a a) 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_；/, b) 若 ，则 a 与 c 的位置关系是_； c) 若 ， ，则 a 与 c 的位置关系是/ab_ 第 6 题 第 2 题 P B M A N 第 1 题 第 3 题 第 4 题 7 3. 如图，已知 AB、CD、EF 相交于点 O，ABCD，OG 平分AOE，FOD28，求 COE、AOE、AOG 的度数 4. 如图， 与 是邻补角，OD、OE 分别是 与 的平分线，试判断 OD 与 OE 的位置AOCBAOCB 关系，并说明理由 5. 如图，已知12 求证：ab直线 ，求证： /ab12 6. 阅读理解并在括号内填注理由： 如图，已知 ABCD，12，试说明 EPFQ 证明：ABCD， MEBMFD（ ） 又12， MEB1MFD2， 即 MEP_ EP_ （ ） 7. 已知 DBFGEC，A 是 FG 上一点，ABD 60，ACE36，AP 平分BAC，求：BAC 的大小； PAG 的大小. 8 8. 如图，已知 ， 于 D， 为 上一点， 于 F， 交 CA 于 G.求证ABCEABEBC/DBA .12 1. 如图，B=C，ABEF 求证：BGF=C 3.已知：如图，交B 于 G，交 CD 于 F，FH 平分EFD，交 AB 于 H ， AGE=500 ，求：BHF 的度数。 4.已知：如图1=2，C=D，那么A= F 吗？试说明理由 5.已知：如图，AB/CD，试解决下列问题： （1）12_ _； （2）123_ _； （3）1234_ _ _； （4）试探究1234n H G F E DC BA HG 2 1 FED CBA G F E D C B A 9 ； 6如图 11， 、 分别在 、 上， ， 与 互余且 ，EFABCD12CEAF 垂足为 ，求证： O/ 7如图 12， ， ， ， ， 交 于点 ，/ACBD/E1F2AECO 试说明： .FE 8如图 13， ， ，判断 与 的大小关系，说明理由.AEBNFPMCAP 9如图 14， 是 的角平分线， ， ， 交 于点 请问：（1） 是ADCB/DEAB/FCEADOD 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由EF （2）若将结论与 是 的角平分线、 、 中的任一条件/ 交换， 所得命题正确吗？ FEM P A C N B 图 11 图 12 OA B C DFE 10 A D B C E F1 2 3 4 10.如图，AD 是EAC 的平分线，ADBC，B = 30， 你能算出EAD、DAC、C 的度数吗？ 11. 如图, 1=2 , 3=105 度， 求 4 的度数。 13已知，如图，BCE、AFE 是直线，ABCD，1=2，3=4。 AD 与 BE 平行吗？为什么？。 解：ADBE，理由如下： ABCD （已知） 4= （ ） 3=4（已知） 3= （ ） 1=2（已知） 1+CAF=2+ CAF（ ） 即 = 3= （ ） ADBE（ ） 14.如图1+2=180,DAE=BCF,DA 平分BDF. (1)AE 与 FC 会平行吗?说明理由.(2)AD 与 BC 的位置关系如何?为什么? (3)BC 平分DBE 吗?为什么. ? d c 31a b 2 4 F E 2 1 D C B A 11 15如图 10，已知：直线 AB，CD 被直线 EF，GH 所截，且1=2， 求证：3+4=180 证明：1=2 又2=5 （ ） 1=5 ABCD （ ） 3+4=180（ ） 17已知：如图，1+2=180，3=100，OK 平分 DOH，求KOH 的度数 19、如图，已知1 =2，B =C，试说明 ABCD。 解：1 =2（已知） ， 又1 =4（ ） 2 = （等量代换） BF （ ） =3（ ） 又B =C（已知） =B （等量代换） ABCD （ ） 20、如图，ABDF ，DE BC，165求2、3 的度数 21、已知：如图， ，DE 平分 ，BF 平分 ，且 。 试说明CDABCDABADEADEFB/ （图 10） D F C A E B A D F B E C1 23 12 22、已知：如图， 。求证：BAPD1802 ， EF 23、推理填空：如图，DFAB，DE AC，试说明FDE=A 解：DEAC A+ AED=180 （ ） DFAB AED+FDE=180 （ ） A= FDE （ ） 25、如图，ABCD，垂足为 O，EF 经过点 O， 求，的度数 26、如图，度，度，求的度数 30、如图，ABDE，1 ACB ，CAB BAD，试说明 ADBC 2 1 A B 1 E F 2 C P D FE D CB A F E O D C BA 3 2 1 E DC B A 13 31、如图，ABCD，1= 2，3= 4。试说明：ADBE。 32、如图，EFAD，1 = 2，BAC = 70。将求AGD 的过程填写完整。 EFAD， （ ） 2 = 。 （ ） 又 1 = 2， （ ） 1 = 3。 （ ） AB 。 （ ） BAC + = 180。 （ ） 又BAC = 70， （ ） AGD = 。 （ ） 33、如图所示，已知B=C ，ADBC，试说明：AD 平分CAE 34、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E= 30,试说明 ABCD. 36、如图所示，已知B=C ，ADBC，试说明：AD 平分CAE A D B C E F1 2 3 4 G H K F E DC BA D E A B C 2 1 D E A B C 21 14 37、如图所示,已知直线 EF 和 AB,CD 分别相交于 K,H,且 EGAB,CHF=600,E= 30,试说明 ABCD. 38已知：如图，ABCD，垂足为 O ，EF 经过点 O，125， 求，的度数。 （7 分） 39.如图：AE 平分DAC，DAC=120，C=60 ，AE 与 BC 平行吗？为什么？（6 分） 41.填空完成推理过程：（每空 1 分，共 7 分） 如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，12， CD。试说明：ACDF。 解： 12（已知） 13（ ） 23（等量代换） （ ） CABD （ ） 又 CD（已知） G H K F E DC BA F E O D C BA 3 2 1 A CB D E 15 D= ABD（ ） ACDF（ ） 43(10 分) 如图，ABCD，AE 交 CD 于点 C，DEAE，垂足为 E，A=37，求D 的度数 45 （11 分）如图，BD 是ABC 的平分线，ED BC ，FEDBDE,则 EF 也是AED 的平分线。完成下列推 理过程： 证明： BD 是ABC 的平分线 （ 已 知 ） ABD=DBC ( ) EDBC ( 已 知 ) BDE=DBC ( ) ( 等 量 代 换 ) 又FED= BDE （ 已 知 ） ( ) AEF=ABD ( ) AEF=DEF ( 等 量 代 换 ) EF 是AED 的平分线（ ） 46、 如图，ABEF（ 已知 ） A + =180（ ） DEBC（ 已知 ） DEF= （ ） ADE= （ ） 52 （本题 10 分）如图，130，AB CD ，垂足为 O，EF 经过点 O.求2、3 的度数. 53 （本题 24 分，每空 3 分）如图 16，点 D、E、F 分 别在 AB、BC、AC 上，且 A E B C D F A C D E F B A B CE D F 1234 图 16 A B C D O1 23 E F 16 1ABOFDEC(第 8题 ) ABCDEF1423第 19题 )E NM C DBA DEAC，EFAB，下面写出了说明“A+B+C180” 的过程，请填空： 因为 DEAC，所以1 .（ ） 因为 ABEF, 所以3 （ ） 因为 ABEF ，所以 2 _ （ ） 因为 DEAC，所以4 _ （ ） 所以2A（等量代换） 因为1+2+3180，所以A+B+C180 （等量代换） 54 （本题 12 分）已知，如图，CDAB，GFAB，B ADE ，试说明12 56、如图，直线 AB 、CD 相交于 O，OD 平分AOF，OECD 于点 O，150 ，求COB 、BOF 的度数。 57、如图，NCM90，NCB30，CM 平分BCE 求B 的大小。 59、如图，E 点为 DF 上的点， B 为 AC 上的点，12，CD，那么 DFAC，请完成它成立的理由 12，23 ，14（ ） 34（ ） _ （ ） CABD （ ） CD（ ） DABD（ ） DFAC（ ） F 2 1 G ED CB A
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