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4.2 直接三角分解法,4.2.3 平方根法,4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法,4.2.2 三对角方程组的追赶法,1,4.2 直接三角分解法,4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法,2,由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次,3,用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， xn) T, y=（y1, y2, yn) T,b= （b1 ，b2， bn) T, 则有计算公式,解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）计算可得,5,该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储方式的形式称为紧凑形式。,6,例4.6 用列选主元的三角分解法解,由此知,8,由于方车程组的右端参与了消元计算，所以Ly=Pb的解为y=b（3）=（20，14/3，216/39） T 。解Ux=y得x=（1，2，3） T,4.2.2 三对角方程组的追赶法,如果A满足Gauss消去发的条件,可用LU分解发求解.并且,L和U有如下形式,(4.2.8),10,(4.2.10),称为(4.2.9)、(4.2.10)和(4.2.11)为求解三对角形方程组的追赶法,又称为Thomas算法。 追赶发能实现的条件是ui0，i=1,2,n.。下面给出追赶发一个的充分条件。,11,在定理4.6的条件下，追赶法可以进行计算，并且计算过程的中间变量有界，不会产生大的变化，可以有效计算出结果。 在定理4.6的条件下，要求ai和ci非零。若有某个ai（或ci ）为零，则三对角方程组可以化为两个低阶的非耦和的方程组。,12,例4.7 用追赶发求解三对角方程组Ax=d，其中 解 由(4.2.9)得,追赶法公式简单，计算量和存储量都很小。整过求解过程仅须5n-4次乘除和3（n-1）次加减法运算，仅需4个一为数组存储系数矩阵的元素和右端向量 ， ， 可分别存放在表示系数矩阵元素的数组和右段向量的位置。,由(4.2.10)和(4.2.11)得,13,对另一类方程组，在周期样条插值等为题遇到的循环三对角方程组Ax=d，其中,当A为对称正定矩阵时，对A可直接作LU分解。由（4.1.8）式可得下面的定理。 定理4.7 设ARnn， A = AT且A的顺序主子式Di0（I=1,2,n），则存在唯一的单位下三角阵和三角阵，使 A= LD LT 定理4.8 设ARnn，当A 为对称正定矩阵 ，则存在唯一的对角元素为正的下三角阵L，使 A= L LT,4.2.3 平方根法,证 由（4. 7）定理可知A= L1D LT1 ，其中L1为单位下三角阵，D=diag(d1,d2dn)。若令U=D LT1 ，则A= L1U为A的Dolittle分解 U的对角元即为D的对角元。因此A 的顺序主子式Dm= d1d2dm ，m=1，2，n 。因为A正定，所以Di 0 ,i=1，2，n 。 由此推出dvi 0， i=1，2，n 。记,15,令 ，则有 由分解式 的唯一性可得（4.2.3）分解式的唯一性。定理得证。 称（4.2.13）式为矩阵A的Cholesky分解。利用A的Cholesky分解式来求解方程组Ax=b的方法称为Cholesky方法或平方根法，这是因为计算过程含开方运算。,16,这样，可以从j=1直到j=n逐列算出L的元素,再求解下三角方程组Ly=b和上三角方程组 L T x=y 。计算公式为,按逐列计算L的元素的计算步骤,设第1列至第j-1列已经计算得到,则有,17,解 不难验证系数矩阵是对称正定的，按（4.2.14）和（4.2.15）依次计算得,例4.8 用平方根法求解,18,则可避免开方根运算，称为改进的平方根法。 它即适合于求接对称正定方程组，也适合于A求解对称且其顺序主子式全不为零的方程组。分解式的计算公式为(j=1,2,n),19,解Ly=b得y=(6,1,-1)T。解LTx=D-1y得x=(2,1,-1)T。,其中j=1时，求和部分为零。这样求解方程组Ax=b化为求解Ly=b和LTx=D-1y.对于例4.8给定的方程组，用改进的平方根法有,20,
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