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高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高 级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适 当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几 个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、 平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三 角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函 数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因 式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式* 。 n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯 函数x，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理* 。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。 容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 三、高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字 母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 在集合 A 中，称 属xx 于 A，记为 ，否则称 不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q +分别xxx 表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集， 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如有理数， 分别表示有理数集和正实数集。0x 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是ZN B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不 属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， .x且 定义 4 并集， 或 定义 5 补集，若 称为 A 在 I 中的补集。,1xIACI且则 定义 6 差集， 。,BxB且 定义 7 集合 记作开区间 ，集合baRa),(ba 记作闭区间 ，R 记作,xb,. 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C ，有： （1） （2） ；);()()(CBA )()()(CABC （3） （4）;1.11 【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余由读者自己完成。 （1）若 ，则 ，且 或 ，所以 或)(xAxBx)(x ，即 ；反之， ，则)(CA)(CB)(CA 或 ，即 且 或 ，即 且 ，即Bx)(xxx)(Bx).( （3）若 ，则 或 ，所以 或 ，所以CAx1Ax1BC1Ax ，又 ，所以 ，即 ，反之也有)(BI)()(1BC.11C 定理 2 加法原理：做一件事有 类办法，第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法n1m 中有 种不同的方法，第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事一共有mn 种不同的方法。nN21 定理 3 乘法原理：做一件事分 个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有 种不1m2m 同的方法，第 步有 种不同的方法，那么完成这件事一共有nm 种不同的方法。nmN21 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设 ，求证：,2ZyxaM （1） ；)(,2k （2） ；4 （3）若 ，则 qp, .Mp 证明（1）因为 ，且 ，所以Zk122)1(kk .1Mk （2）假设 ，则存在 ，使 ，由于 和)(24Zyx, 24yxyx 有相同的奇偶性，所以 是奇数或 4 的倍数，不可能等于yx )(2 ，假设不成立，所以k .4Mk （3）设 ，则Zbayxqyxp,22 )(22bayxpq2ba a22)()( （因为 ） 。yxZyx, 2利用子集的定义证明集合相等，先证 ，再证 ，则 A=B。BA 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示） 。M, 【解】先证 ，若 ，因为 ，所以)( )(x ，所以 ； xA,BA 再证 ，若 ，则 1）若 ，则)(.BAxAx ；2）若 ，则 。所以MxM).(B 综上， .BA 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若02,01,023 222 mxCaxx ，求C, .ma 【解】依题设， ，再由 解得 或 ，2,1A012ax1ax 因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 2，所以 或 3。BA 因为 ，所以 ，若 ，则 ，即 ，CC82m2m 若 ，则 或 ，解得12.3 综上所述， 或 ； 或 。a3m2 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若 ，IBA 求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集； AB，B A， 中的每个元素恰属于I, 其中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以 集合对有 310 个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步， 1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种， 由乘法原理，子集共有 个，非空真子集有 1022 个。1024 5配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集： ，满足任何两个子集的交集非,3,nI kkA,21 空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 对，每一对不能同12n 在这 个子集中，因此， ；其次，每一对中必有一个在这 个子集中出现，否则，k12nk k 若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 ，则 ，从而可以在1AC1 个子集中再添加 ，与已知矛盾，所以 。综上， 。k1 2nk2nk 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用 表示集合 A 的元素个数，则 ,BB ， 需要 xy 此结论可CACBCAB 以推广到 个集合的情况，即n i kjiji nkjijii AAA111 .)1( niA 定义 8 集合的划分：若 ，且 ，I2 ),jijji 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。n 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1m)1(n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有1mmn 一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记 ，（22,10,10, xxxAI 记 为整 除能 被且 ，由容斥原理，CxxB 3102CBACBBA ，所以不能被 2，3，5 整除的数有743015106510 个。2CBAI 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最 多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个 数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当 时，恰有 ，且 S 满足题目条,204,174,1 Nkrtkr 912 件，所以最少含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数 ，使得存在实数 满足：)(nna,21.)(,211njiaji 【解】 当 时， ；当 时， ；当 时， 0a33,1,0214n 。下证当 时，不存在 满足条件。,5,2,04315nna 令 ，则na .2)( 所以必存在某两个下标 ，使得 ，所以 或ji 1njia11nnn ，即 ，所以 或 ，21nn1,)(n 2)(a 。2a （）若 ，考虑 ，有 或 ，1,2)1(nnaa2n2nna2an 即 ，设 ，则 ，导致矛盾，故只有2n 1a.2 考虑 ，有 或 ，即 ，设 ，则3n23nn 3nn ，推出矛盾，设 ，则 ，又推出矛0221aa 21an 盾， 所以 故当 时，不存在满足条件的实数。4,n5 （）若 ，考虑 ，有 或 ，即12)(2na1nna3n ，这时 ，推出矛盾，故 。考虑 ，有3a23a21 或 ，即 =3，于是 ，矛盾。因此2nn n3 13n ，所以 ，这又矛盾，所以只有 ，所以2 1221a 2a 。故当 时，不存在满足条件的实数。45 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n ，在 A 中取三个数，B 中取两个 数组成五个元素的集合 ， 求 的最小值。i .0,2,0, jiAji n 【解】 .16min 设 B 中每个数在所有 中最多重复出现 次，则必有 。若不然，数 出现 次（iAk4kmk ） ，则 在 出现的所有 中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是4k.23ki 1，就有集合1， ，其中 ，11,ba ,1,365243 babma 61,iAai 为满足题意的集合。 必各不相同，但只能是 2，3，4， 5，6 这 5 个数，这不可能，所以i.4k 20 个 中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以 。当 时，如iA 1n6 下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14 ， 1，2，5，15，16 ， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14 ， 1，3，6，12，15 ， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11 ， 2，3，4，13，15 ， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10 ， 2，4，6，7，11 ， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9 ， 3，5，6，7，10 ， 4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成 个互不相交的三元集合 ，其中 ，n,zyxzyx3 求满足条件的最小正整数 . 【解】 设其中第 个三元集为 则 1+2+i ,2,1,nizyxi niiz1,43 所以 。当 为偶数时，有 ，所以 ，当 为奇数时，有 nizn142)3( 388 ，所以 ，当 时，集合1 ，11，4，2，13，5，3，15，6 ，185 9，12，7，10，14，8满足条件，所以 的最小值为 5。n 第二章 二次函数与命题 一、基础知识 1二次函数：当 0 时，y=ax 2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴a 为直线 x=- ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ，下同。b2 ab 2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（ -，x 0上随自变量 x 增大 函数值减小（简称递减） ，在x 0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x15”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑 联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合 命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q 但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要 非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-） （ +）a+ b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中 0， 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a 2-(a+1)+2=, 所以 a 2-a+2= + =1，所以 a 2-a+1=0. 即 a( 2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1 f (2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a- c-1, 所以 1-f(1)= c-a4. 又-1f(2)=4 a-c5, f(3)= f(2)- f(1),385 所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,385 所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x) =x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 0, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。2 4)1(5x 【解】 y=1- ,令 u,则 0-2 时，x 2+bx 在0，-( b+1)上是减函数， 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .13 综上，b=- .3 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。120 2ax 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x10，）当 01-a，由得 x1-2a， 所以不等式组的解集为 1-a0，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 9常用结论。 定理 1 若 a, bR, | a|-|b| a+b|a|+| b|. 【证明】 因为-|a|a| a|,-|b|b| b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+| b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x| m）. 又|a |=|a+b-b|a+ b|+|-b|, 即|a |-|b|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR +,则 x+y .2 (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB ，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: AB。 定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA , yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合f( x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为x|x0,xR. 定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如： 函数 y= 的反函数是 y=1- (x 0).11 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x10)；（1）向右平 移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下 平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； （7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y= , u=2-x 在21 （-,2）上是减函数，y= 在（0，+ ）上是减函数，所以 y= 在（- ,2）上是增函u1x 数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1数形结合法。 例 1 求方程|x-1|= 的正根的个数.1 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象，由图象可知两者有 唯一交点，所以方程有一个正根。 例 2 求函数 f(x)= 的最11362424 xx 大值。 【解】 f(x)= ，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，2222 )0()()() B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA| |AB|= ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点10)2(3 时等号成立。 所以 f(x)max= .10 2.函数性质的应用。 x y x 1 1 x 例 3 设 x, yR，且满足 ，求 x+y.1)(197)(3 2yyxx 【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（- ，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，所以 x=1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+） ，当 00, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 00, N0） ； 1）a x=M x=logaM(a0, a 1)； 2）log a(MN)= loga M+ loga N； 3）log a（ ）= log a M- loga N；4）log a Mn=n loga M；，M 5）log a = loga M；6）a loga M=M; 7) loga b= (a,b,c0, a, c 1).n1clog 5. 函数 y=x+ （a0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为, 和 。 （请读者自己用定义证明）0, 6连续函数的性质：若 a0 且 f(1)0（因为-10， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为 0 的实数，b 1, b2,bnR，则 （ ）（ ）( )2，等号当且仅当存在 R，使 ai= , i=1, 2, , n ni1ni12ii1 时成立。 【证明】 令 f(x)= （ ）x 2-2( )x+ = , nia1niib1ni12iiibx2)( 因为 0，且对任意 x R, f(x)0， nia12 所以=4( )-4（ ）( )0. niib1nia12nib12 展开得（ ）( )( )2。 nia12nib12niia1 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在 ，使 ai= , i=1, 2, , n。b 例 3 设 x, yR +, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= 的最小值。yx1 【解】u= =xy+ xy+ +21xy1 =xy+ +2.xy1 令 xy=t，则 01. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 ，caaalog2llog 因为 ac0, ac 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3 x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 =1。设 f(x)= , 则 f(x)在(- x65321 xx65321 ,+) 上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3. 例 8 解方程组： （其中 x, yR +）.3 12yx 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 .3lg)(l12xy 把代入得(x+ y)2lgx=36lgx，所以( x+y)2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+ y)2-36=0(x, yR +)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 .4;12 例 9 已知 a0, a 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 . 0)(22akx 若、同时成立，则必成立， 故只需解 . 0)( 22akx 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k 0 时，的解是 x= ，代入得 k.ka2)1(21 若 k1，所以 k0，则 k20，存在 M，对任意的 nM(nN), 都有|a n-A|0 且 ,2nx 2lg2lg1nnxx 所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列。2lgnxl 所以 ，所以 ，1lnn2lgnx12n 解得 。2x 1122)()(nn 注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 第六章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向， 则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任 意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值| |= ,其中 r 是圆的半径。L 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r, 则正弦函数 sin= ,余弦函数 cos= ,正切函数 tan= ，余切函数 cot= ，正割函ryr y 数 sec = ,余割函数 csc=x.y 定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan = ,sin= ，cos=cot1c ；商数关系：tan= ；乘积关系：secsincot,cosin tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin 2+cos 2=1, tan 2+1=se c2, cot2+1= csc2 . 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin , co s(+)=- cos, tan(+)=tan , cot (+) =cot;（）sin(- )=-sin, cos(- )=co s, tan(-)=- tan, cot (-)=cot; （）sin (- )=sin , cos(- )=-cos, tan =(-)=- tan, cot(-)=-cot; （）sin =cos, 2 cos =sin, tan =cot（奇变偶不变，符号看象限） 。22 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR ）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，最小正周,k 23,2k 期为 2 . 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+ 时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k - 时, 2 y 取最小值-1 。对称性：直线 x=k + 均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值2 域为-1，1 。这里 kZ . 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间 2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。 对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点 均为其对称中心。有界性：当且仅当0,2k x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值 -1。值域为-1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x k+ )在开区间(k- , k+ )上为增2 函数, 最小正周期为 ，值域为（- ，+） ，点（k，0） ， （k+ ，0）均为其对称中心。2 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos( )=cosco s sinsin,sin ( ) =sincos cossin; tan( )=.)tan1(t 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2s in cos ,sin-sin =2sin cos ,22 cos+cos =2cos cos , cos-cos=-2sin sin ,22 sinco s= sin(+)+s in(- ),cossin = sin( +)-s in(-),2121 coscos = cos(+)+ cos(-),s insin=- cos(+)-cos(- ). 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos 2-s in2=2cos 2-1=1-2sin 2, tan2= .)tan1(2 定理 9 半角公式:sin = ,cos = ,2)co1(2)cos1( tan = =2)cos1(.sin)()c(i 定理 10 万能公式: , ,2tan1si 2tan1os2.2tan1t 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点 (a, b)的一个角为 ，则 sin = ,cos= ，对任意的角 .22 asin+bcos = sin(+).)(2ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有 ，其中 a, b, c 分别是RCcBbAa2sinisin 角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+ )的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到 y=sin ( 1x )的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象0 （振幅变换） ；y=Asin( x+ )( 0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y =Asin( x+ )( , 0)(|A|叫作振幅)的图象向 右平移 个单位得到 y=Asin x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1) ，2, 函数 y=cosx(x 0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的2, 反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1) narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kx arccosa, kZ. 如果 aR ，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ 。恒等式：arcsina +arccosa= ；arctana+ar ccota= .22 定理 16 若 ，则 sinxsin(cosx). 若 ，则因为 sinx+cosx= (sinxcos +sin cosx)2,0 2cossin2x4 = sin(x+ ) ，则 x0，由 -0 得 cos0,22 所以 1。又 00.202 所以 sin （1+ cos ）=2s in cos2 = 2 coin2 = 3223coin .934716 当且仅当 2sin2 =cos2 , 即 tan = 时，sin (1+cos )取得最大值 。2934 例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sin cos , BA2inBA sinC+sin , 3i23co2in3 C 又因为 ，3sin24cos4sinsii CBABACBA 由，得 sinA+sinB+sinC+sin 4sin ,3 所以 sinA+sinB+sinC3s in = ,2 当 A=B=C= 时， （sinA+sinB+sinC） max= .323 注：三角函数的有界性、|sinx| 1、|cosx| 1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5换元法的使用。 例 8 求 的值域。xycosin1 【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2xx 因为 ,1)4in(1 所以 .2t 又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx= ，所以 ，1t 21 2txy 所以 .22 因为 t -1，所以 ，所以 y -1.1t 所以函数值域为 .21,2y 例 9 已知 a0=1, an= (nN +)，求证：a n .1n 2 【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an ，则2,0 an= .tantsico1tasect11 112 nnn 因为 ，a n ，所以 an= ，所以 an=212,02.20 又因为 a0=tana1=1，所以 a0= ，所以 。4n14 又因为当 0xsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证,0 明是很容易的。 6图象变换：y=s inx(xR)与 y=Asin( x+ )(A, , 0). 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到 y=Asin( x+ )的图象；也可以由 y=sinx1 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来 的 ，最后向左平移 个单位，得到 y=Asin( x+ )的图象。1 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( 0, 0 )是 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值。0,43M2,0 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin( + )=sin(- x+ )，所以 cos sinx=0，对任意 xR 成立。 又 0 ，解得 = ，2 因为 f(x)图象关于 对称，所以 =0。0,43M)43()(xfxf 取 x=0，得 =0，所以 sin)(f .02 所以 (kZ)，即 = (2k+1) (kZ).2433 又 0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+ )在0， 上是减函数；2 取 k=1 时， =2，此时 f(x)=sin(2x+ )在0， 上是减函数； 取 k=2 时， ，此时 f(x)=sin( x+ )在0， 上不是单调函数，310 综上， = 或 2。 7三角公式的应用。 例 11 已知 sin(-)= ，sin(+)=- ，且 - ，+ ，求135135,22,3 sin2,cos2 的值。 【解】 因为 - ，所以 cos(-)=-,2 .132)(sin12 又因为 + ，所以 cos(+)=,3 .)(i2 所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)= ,1690 cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1. 例 12 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ，试求BCAcos2cos 的值。2cosCA 【解】 因为 A=1200-C，所以 cos =cos(600-C)，2 又由于 )120cos(cos1)1cos(cos10 C = ，2)s(62)2s(10s2600 CC 所以 =0。3coco4A 解得 或 。2sA8s 又 0，所以 。coC2coCA 例 13 求证：tan20 +4cos70 . 【解】 tan20 +4cos70 = +4sin200cosin 240sini20cosi4sin cosi13iinii .320cos6i20cos4i8in 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A，B，C 分别表示 ABC 的三个内角， a, b, c 分别表示它们所对的各 边长， 为半周长。2cbap 1正弦定理： =2R（R 为ABC 外接圆半径） 。cbsinisin 推论 1：ABC 的面积为 SABC = .sin21si21BcaAbCa 推论 2：在ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. 推论 3：在ABC 中，A+B= ，解 a 满足 ，则 a=A.)si(in 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1， 由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 SABC = ；再证推论 2，因为Cabi21 B+C= -A，所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理 ，所以 ，即BAsini)sin(iAa sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 cos( -A+a)-cos( -A-a)= cos( -a+A)-cos( -2121 a-A)，等价于 cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为 0|cos2cos2|.4,0 因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2cos2+sin2cos2cos4cos2 = 1-cos22+(1-cos22)cos4cos241 = + cos2(cos4-cos22cos4-cos2) + cos2(cos4-sin4-cos2)= .1 所以 a2+b2+c2+4abcb a-b0； （2）ab, bc ac； （3）ab a+cb+c； （4）ab, c0 acbc； （5）ab, c0, cd0 acbd; （7）ab0, nN + anbn; （8）ab0, nN + ;nba （9）a0, |x|a 或 xb0, cd0，所以 acbc, bcbd，所以 acbd；重复利用性质（6） ，可得 性质（7） ；再证性质（8） ，用反证法，若 ，由性质（7）得 ，即nbannba)( ab，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以 ；由绝对值的意义知（9）成立；- |a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因 为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12） ， 因为 x+y-2 0，所以 x+y ，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证2)(yxyxy2 另一不等式，令 ，因为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc czba333, =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以 a3+b3+c33abc，即 x+y+z ，等号当且仅当21 3xyz x=y=z 时成立。 二、方法与例题 1不等式证明的基本方法。 （1）比较法，在证明 AB 或 A0 ）与B 1 比较大小，最后得出结论。 例 1 设 a, b, cR +，试证：对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2.)()(2 xzbacyzabxacba 【证明】 左边-右边= x 2+y2+z2 yzaccb)(2)( 222)()(2 yaxacbzbac 222 )()( xcbzbczayc .0aaycxb 所以左边右边，不等式成立。 例 2 若 a0, 064=43，所以命题成立。 2）设 n=k 时有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证(k+1) k+2(k+2)k+1，即 1. 1 2)(k 因为 ，所以只需证 ，即证 (k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证1)(k 12)(kk)(1 (k+1)2k(k+2)，即证 k2+2k+1k2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。 例 6 设实数 a0, a1,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0， 求证 ak0(k=1, 2, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1, a2, an-1 中第一 个出现的正数，则 a10, a20, ar-10, ar0. 于是 ar-ar-10，依题设 ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10. 因为 anak-1ar+1ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。 例 7 已知 x, y, zR +，求证： .0222yxzyzx 【证明】 不妨设 xy, xz. ）xyz，则 ，x 2y2z2，由排序原理可得zyxy11 ，原不等式成立。yxzzy2222 ）xzy，则 ，x 2z2y2，由排序原理可得zyxz11 ，原不等式成立。yxzyxzyzx 2222 （6）放缩法，即要证 AB，可证 AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN +). 例 8 求证： ).(231nn 【证明】 1242 nnn ，得证。121nn 例 9 已知 a, b, c 是ABC 的三条边长，m0 ，求证： .mcba 【证明】 ambamba 1 （因为 a+bc） ，得证。cm1 （7）引入参变量法。 例 10 已知 x, yR +, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)= 的最小值。2 3ybxa 【解】 设 ，则 ，f(x,y)=kxklyl1, 232)1(kl (a3+b3+3a2b+3ab2)=2333233321 labbabal
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