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第一章 集合与简易逻辑集合及其运算一集合的概念、分类：二集合的特征： 确定性 无序性 互异性三表示方法： 列举法 描述法 图示法 区间法四两种关系： 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合五三种运算： 交集： 并集： 补集：六运算性质： ， 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若，则， ， ， 集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为，所有非空真子集的个数为，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为简易逻辑一逻辑联结词：1命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题2逻辑联结词有“或”、“且”、“非”3不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题4真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二四种命题：1原命题：若则 逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论； 否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论； 逆否命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定2四个命题的关系： 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真三充分条件与必要条件1“若则”是真命题，记做， “若则”为假命题，记做，2若，则称是的充分条件，是的必要条件3若，且，则称是的充分非必要条件； 若，且，则称是的必要非充分条件； 若，且，则称是的充要条件； 若，且，则称是的既不充分也不必要条件4若的充分条件是，则； 若的必要条件是，则第二章 函数指数与对数运算一分数指数幂与根式：如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做负的次方根记做1负数没有偶次方根；2两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：； 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质： ； ； ； ； ，其中、均为有理数，均为正整数二对数及其运算1定义：若，且，则2两个对数： 常用对数：，； 自然对数：，3三条性质： 1的对数是0，即； 底数的对数是1，即； 负数和零没有对数4四条运算法则： ； ； ； 5其他运算性质： 对数恒等式：； 换底公式：； ； 函数的概念一映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域三函数是由非空数集到非空数集B的映射四函数的三要素：解析式；定义域；值域函数的解析式一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知，求函数的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知是一次函数，且，函数的解析式三由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式函数的定义域一根据给出函数的解析式求定义域： 整式： 分式：分母不等于0 偶次根式：被开方数大于或等于0 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二根据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知定义域为，求定义域； 已知定义域为，求定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数二次函数时，时，反比例函数，且指数函数对数函数三角函数二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等反函数一反函数：设函数的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成二函数存在反函数的条件是：、一一对应三求函数的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用表示，得 交换、，得 结论，表明定义域四函数与其反函数的关系： 函数与的定义域与值域互换 若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则 函数与的图像关于直线对称函数的奇偶性：一定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数二判断函数奇偶性的步骤：1判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称三已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五若奇函数的定义域包含，则六一次函数是奇函数的充要条件是； 二次函数是偶函数的充要条件是函数的周期性：一定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期2如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，当时满足： ，则称函数在该区间上是增函数； ，则称函数在该区间上是减函数二判断函数单调性的常用方法：1定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论：*2导数法： 求函数f(x)的导数； 解不等式，所得x的范围就是递增区间； 解不等式，所得x的范围就是递减区间3复合函数的单调性： 对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：增增减减 增减增减 增减减增4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同函数的图像一基本函数的图像二图像变换： 将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像 将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像 将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像 将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像 关于轴对称 关于轴对称 将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像 将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像三函数图像自身的对称关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为四两个函数图像的对称关系图像特征与关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与关于轴对称第三章 数列数列的基本概念一数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项二如果数列中的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式三数列的分类： 按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列四数列的前项和：与的关系：五如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法如：在数列中，其中即为数列的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明如上述数列，根据递推公式可以得到：，进一步可猜测等差数列一定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示二通项公式： 若已知、，则；若已知、，则三前项和公式： 若已知，则；若已知、，则注： 前项和公式的推导使用的是倒序相加法的方法 在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，在等差数列通项公式是关于的一次函数关系，前项和公式是关于的没有常数项的二次函数关系 在等差数列中包含、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量四如果、成等差数列，则称为与的等差中项，且五证明数列是等差数列的方法：1利用定义证明：2利用等差中项证明：3利用通项公式证明：4利用前项和公式证明：六性质：在等差数列中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若若，则2若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，即：若，则3依次相邻每项的和仍成等差数列，即：，成等差数列4，仍成等差数列，其公差为三等比数列一定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母表示二通项公式： 若已知、，则；若已知、，则三前项和公式： 当公比时， 当公比时，若已知、，则 若已知、，则注： 等比数列前项和公式的推导使用的是错位相减的方法 在等比数列中包含、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量四若、成等比数列，则称为与的等比中项，且、 满足关系式五证明数列是等比数列的方法：1利用定义证明：2利用等比中项证明：3利用通项公式证明：六性质：在等比数列中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若，则2若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若，则3若数列公比，则依次相邻每项的和仍成等比数列，即，成等比数列。4，仍成等比数列，其公比为数列求和1常见数列的前n项和： 自然数数列：1，2，3，n， 奇数列：1，3，5， 偶数列：2，4，6， 自然数平方数列：， 2等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式3数列满足：，其中、为等差或者等比数列方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）4数列满足：，其中是公差为的等差数列；是公比为的等比数列方法：错位相减 5若数列满足：，其中、均为常数方法：裂项法，设，其中为可确定的参数第四章 三角函数一角度与弧度制1弧度与角度的互化：2终边相同角：与角有相同终边的角的集合可以表示为：3特殊角的集合： 各个象限的角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 角的终边在各个坐标轴上的角的集合 终边在轴的角： 终边在轴的角： 终边在坐标轴上的角： 终边在第一三象限角平分线上： 终边在第二四象限角平分线上：4弧长公式和扇形面积公式 设扇形的半径为，圆心角为，则 弧长， 扇形的面积任意角三角函数的定义：一定义：以角顶点为原点，始边为轴的非负半轴建立直角坐标系。在角的终边上任取不同于原点的一点，设点与原点的距离为，则，则角的六个三角函数依次为： ， ， ， ， 二三角函数的定义域与值域：定义域值域RRR三三角函数值的符号： 四三角函数线正弦线、余弦线正切线以角的终边与单位圆的公共点作轴的垂线轴，垂足为，则过点作轴的垂线交的终边或终边的延长线于点，则：同角三角函数基本关系式：倒数关系：、商数关系：、平方关系：正弦、余弦的诱导公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； 诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不变”的含义为：当为奇数时，的三角函数值为的余函数，当为偶数时，的三角函数值为的原函数；“符号看象限”的含义为在的三角函数前加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号.两角和与差的三角函数：一基本公式： 二常见关系：1辅助角公式： 如：； ；2两角和与差的正切公式的变形： 二倍角公式一基本公式： 二常见关系式：1 2 三角函数的图像：一正弦、余弦、正切函数的图像：1正弦函数2余弦函数2正切函数二三角函数的图象变换：1：将图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍得到2：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍得到3：将的图象向右或向左平移个单位得到4函数的图象可以看作是由函数的图象分别经过下面的两种方法得到： 将的图象向左或向右平移个单位，可得到函数图象； 将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，得到函数图象； 将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数图象 将图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，可以得到函数图象； 将得到的图象向左或向右平移个单位就得到函数图象； 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数的图象三形如的函数图像的画法 五点法，即根据分别取、时对应的与的值描点作出的一个周期的图像三角函数的性质函 数名 称正弦函数余弦函数正切函数定义域RR值 域R最 值图 象分 布最小正周 期奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴对 称中 心单调性增减三角形中的边角关系一正弦定理： 在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，即： 二余弦定理： 三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即： 推论：；三相关结论：在中，角、所对的边分别为、， ， ， ， ， 根据正弦定理：， 三角形面积公式： 三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，即： 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一半，即：第五章 平面向量向量的基本概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示2向量的长度：向量的大小，也就是向量的长度（也称为的模），记作3零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的4单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量5平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量、平行，记作6相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量的加法与减法：1两个向量的和：已知向量、，平移向量，使的起点与的终点重合，那么以的起点为起点，的终点为终点的向量叫做向量与向量的和求两个向量和的运算叫做向量的加法2向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量的终点A为起点作第二个向量，则以的起点O为起点，以的终点B为终点的向量就是与的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 3向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则4向量加法运算律： 交换律： 结合律：5相反向量：与向量方向相反的向量叫做的相反向量，记作规定：零向量的相反向量仍是零向量性质： 6两个向量的差：加上的相反向量叫做与的差，即： 7向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。法则：如图所示，已知向量、，在平面内任取一点O，作，则，即表示从向量的终点指向的终点的向量实数与向量的积：1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： 当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反2实数与向量的积所满足的运算律：设、为实数，那么： ； 3向量共线的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得4平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使平面向量的坐标运算：1平面向量的坐标：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数、，使得，则称为向量的坐标，记做2向量的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即： 向量向量点3平面向量的坐标运算： 设，则： ； ； 若点，则4向量与共线的充要条件是平面向量的数量积及运算律：1两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，则（）叫做向量与的夹角当时，与同向；当时，与反向，如果与的夹角是时，则称与垂直，记作2两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即：规定：零向量与任一向量的数量积为0，即3向量数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影，其中当为锐角时，它是正值，当为钝角时，它是负值，当时，它是0，当时，它是的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则： （是与方向相同的单位向量） 当与同向时，； 当与反向时，；特殊的，或者 5向量的数量积的运算律： ； 6向量数量积的坐标运算： 设，则 若向量，垂直的充要条件是 若，则 设，则线段的定比分点与平移1点分所成的比：设，是直线上的两点，是上不同于，的任一点，存在实数，使，则叫做点分所成的比2定比分点坐标公式：设，若点分所成的比为，则点的坐标满足：3中点坐标公式：若点为，的中点，则4平移公式：若点沿向量平移至点，则第六章 不等式不等式的性质1两个实数比较大小的依据： 2反对称性：如果，那么；如果，则3传递性：如果，且，那么4加法性质：如果，那么 推论1：如果，那么 推论2：如果，那么 推论3：如果，那么5乘法性质：如果，那么； 如果，那么 推论1：如果，那么 推论2：如果，那么，且 推论3：如果，那么 *推论4：如果，那么6开方性质：如果，那么，且7； 注： 当且仅当时取到等号； ；8绝对值不等式的性质：不等式的解法：1一元一次不等式：RR2、一元二次不等式：两个不等的实根、两个相等的实根没有实数根RRR3.高次不等式：穿线法：例如：第1步：将的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即： 第2步：将方程的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线，且奇穿过，偶回头。 第3步：根据曲线显示的的值的符号的变化规律，写出不等式的解集。 或或4分式不等式：分式化整式： 1. ； 2. ； 3. 5含绝对值的不等式： 1. 2. 3. 或或