根与系数的关系(韦达定理)练习题.doc

一元二次方程根与系数的关系练习题一选择题（共14小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）Ax2x+2=0Bx22x+2=0Cx2x2=0D2x24x+1=02小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，3，而小华看错常数项，解错两根为2，5，那么原方程为（）Ax23x+6=0Bx23x6=0Cx2+3x6=0Dx2+3x+6=03（2011锦江区模拟）若方程x23x2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A4B6C8D124（2007泰安）若x1，x2是方程x22x4=0的两个不相等的实数根，则2x122x1+x22+3的值是（）A19B15C11D35（2006贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x3=0的两个实数根，则a2ab+4a的值是（）A6B0C7D16（1997天津）若一元二次方程x2ax2a=0的两根之和为4a3，则两根之积为（）A2B2C6或2D6或27已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍则（）A3n2=16m2B3m2=16nCm=3nDn=3m28a、b是方程x2+（m5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A365B245C210D1759在斜边AB为5的RtABC中，C=90，两条直角边a、b是关于x的方程x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A4B4C8或4D810设m、n是方程x2+x2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A2008B2009C2010D201111设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于（）A4B8C6D012m，n是方程x22008x+2009=0的两根，则（m22007m+2009）（n22007n+2009）的值是（）A2007B2008C2009D201013已知x1、x2是一元二次方程x2+x1=0两个实数根，则（x12x11）（x22x21）的值为（）A0B4C1D414设m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A1006B2011C2012D2013二填空题（共5小题）15若关于x的方程x2+2mx+m2+3m2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_16若关于x的一元二次方程x2+x3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_17已知关于x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_18一元二次方程2x2+3x1=0和x25x+7=0所有实数根的和为_19已知m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为_三解答题（共11小题）20已知关于x的一元二次方程x2+（2m3）x+m2=0的两个不相等的实数根、满足，求m的值21是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由22已知关于x的方程kx22x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2（2m1）x+4（m1）=0的两个根，求m的值24实数k为何值时，方程x2+（2k1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根25已知关于x的方程x2+（2k1）x2k=0的两个实数根x1、x2满足x1x2=2，试求k的值26已知x1、x2是方程x2kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x11）（x21）=，求k的值27关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值28已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值29已知一元二次方程x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值30已知x1、x2是一元二次方程2x22x+m+1=0的两个实根（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2x12+x22，且m为整数求m的值一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）Ax2x+2=0Bx22x+2=0Cx2x2=0D2x24x+1=0考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：方程思想分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=对以下选项进行一一验证并作出正确的选择解答：解：A、x1+x2=1；故本选项错误；B、=48=40，所以本方程无根；故本选项错误；C、x1+x2=1；故本选项错误；D、x1+x2=2；故本选项正确；故选D点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，3，而小华看错常数项，解错两根为2，5，那么原方程为（）Ax23x+6=0Bx23x6=0Cx2+3x6=0Dx2+3x+6=0考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：利用根与系数的关系求解即可解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是、，可得：=6，+=3，那么以、为两根的一元二次方程就是x23x6=0，故选：B点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=，x1x2=3（2011锦江区模拟）若方程x23x2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A4B6C8D12考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可解答：解：x1、x2是方程x23x2=0的两个实数根x1+x2=3，x1x2=2又（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4将x1+x2=3、x1x2=2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（2）+23+4=8故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法4（2007泰安）若x1，x2是方程x22x4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x122x1+x22+3的值是（）A19B15C11D3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：压轴题分析：欲求2x122x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：x1，x2是方程x22x4=0的两个不相等的实数根x122x1=4，x1x2=4，x1+x2=22x122x1+x22+3=x122x1+x12+x22+3=x122x1+（x1+x2）22x1x2+3=4+4+8+3=19故选A点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法5（2006贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x3=0的两个实数根，则a2ab+4a的值是（）A6B0C7D1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：压轴题分析：由a，b是一元二次方程x2+4x3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a3=0，b2+4b3=0，a+b=4，ab=3；再根据问题的需要，灵活变形解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=3a2ab+4a=a2+4aab=3（3）=6故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=6（1997天津）若一元二次方程x2ax2a=0的两根之和为4a3，则两根之积为（）A2B2C6或2D6或2考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：方程思想分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积解答：解；由题意知x1+x2=a=4a3，a=1，x1x2=2a=2故选B点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误7已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍则（）A3n2=16m2B3m2=16nCm=3nDn=3m2考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a3a=n，a+3a=m，整理得：3m2=16n，故选B点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大8a、b是方程x2+（m5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A365B245C210D175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：计算题分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m5）x+7=0，又由韦达定理知ab=7；所以，根据来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可解答：解：a、b是方程x2+（m5）x+7=0的两个根，a、b满足方程x2+（m5）x+7=0，a2+ma+75a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+75b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知ab=7；（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25ab=257=175故选D点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法9在斜边AB为5的RtABC中，C=90，两条直角边a、b是关于x的方程x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A4B4C8或4D8考点：根与系数的关系；勾股定理菁优网版权所有分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）22ab，然后根据根与系数的关系求的a+b=m1ab=m+4；最后由联立方程组，即可求得m的值解答：解：斜边AB为5的RtABC中，C=90，两条直角边a、b，a2+b2=25，又a2+b2=（a+b）22ab，（a+b）22ab=25，a、b是关于x的方程x2（m1）x+m+4=0的两个实数根，a+b=m1，ab=m+4，由，解得m=4，或m=8；当m=4时，ab=0，a=0或b=0，（不合题意）m=8；故选D点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件10设m、n是方程x2+x2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A2008B2009C2010D2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：计算题分析：由于m、n是方程x2+x2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=1，并且m2+m2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：m、n是方程x2+x2012=0的两个实数根，m+n=1，并且m2+m2012=0，m2+m=2011，m2+2m+n=m2+m+m+n=20121=2011故选D点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法11设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于（）A4B8C6D0考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算解答：解：由题意有x12+x13=0，x22+x23=0，即x12=3x1，x22=3x2，所以x134x22+19=x1（3x1）4（3x2）+19=3x1x12+4x2+7=3x1（3x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=1，所以原式=4（1）+4=0故选D点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3x1，x22=3x212m，n是方程x22008x+2009=0的两根，则代数式（m22007m+2009）（n22007n+2009）的值是（）A2007B2008C2009D2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：首先根据方程的解的定义，得m22008m+2009=0，n22008n+2009=0，则有m22007m=m2009，n22007n=n2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解解答：解：m，n是方程x22008x+2009=0的两根，m22008m+2009=0，n22008n+2009=0，mn=2009（m22007m+2009）（n22007n+2009）=（m2009+2009）（n2009+2009）=mn=2009故选C点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系13已知x1、x2是一元二次方程x2+x1=0两个实数根，则（x12x11）（x22x21）的值为（）A0B4C1D4考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=x1+1、x22=x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=1；最后将其代入所求的代数式求值即可解答：解：x1、x2是一元二次方程x2+x1=0两个实数根，x12+x11=0，即x12=x1+1；x22+x21=0，即x22=x2+1；又根据韦达定理知x1x2=1（x12x11）（x22x21）=2x1（2x2）=4x1x2=4；故选D点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14设m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A1006B2011C2012D2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可解答：解：m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，m2m2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键二填空题（共5小题）15（2014广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为考点：根与系数的关系；二次函数的最值菁优网版权所有专题：判别式法分析：由题意可得=b24ac0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m2=0有两个实数根，则=b24ac=4m24（m2+3m2）=812m0，m，x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2x1x2=（2m）2（m2+3m2）=3m23m+2=3（m2m+）+2=3（m）2 +；当m=时，有最小值；，m=成立；最小值为；故答案为：点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根16（2013江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=5考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1x2的值，再整体代入即可求解解答：解：根据根与系数的关系可得，x1x2=1，x1+x2=23则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=23=5故答案为：5点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=、x1x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义17已知关于x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a22a+2x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2a）22（a22a+2）=2a2+4a4=2解a2+2a3=0，得a1=3，a2=1又方程有两实数根，0即（2a）24（a22a+2）0解得a1a=3舍去a=1点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题18一元二次方程2x2+3x1=0和x25x+7=0所有实数根的和为考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值解答：解：由2x2+3x1=0，得到：a=2，b=3，c=1，b24ac=9+8=170，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=；由x25x+7=0，找出a=1，b=5，c=7，b24ac=2528=30，此方程没有实数根综上，两方程所有的实数根的和为故答案为：点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根19已知m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为4考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：由m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m1）（n1）=6，整体代入求得a的数值即可解答：解：m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，m+n=3，mn=a，（m1）（n1）=6，mn（m+n）+1=6即a3+1=6解得a=4故答案为：4点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=三解答题（共11小题）20（2004重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m3）x+m2=0的两个不相等的实数根、满足，求m的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式菁优网版权所有分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验解答：解：由判别式大于零，得（2m3）24m20，解得m即+=又+=（2m3），=m2代入上式得32m=m2解之得m1=3，m2=1m2=1，故舍去m=3点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用21（1998内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和即可确定m的取值情况解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，又，m220=29，解得m=7，=m2425=m240=（7）240=90存在实数7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式22已知关于x的方程kx22x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式=10，所以当k=时，方程两根之比为1：3点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于023已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2（2m1）x+4（m1）=0的两个根，求m的值考点：根与系数的关系；勾股定理菁优网版权所有分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（m1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）22ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m1，ab=4（m1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）22ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m1）28（m1）=25，整理可得：m23m4=0，解得m=4或m=1，当m=4或m=1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=1时，ab=8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误24实数k为何值时，方程x2+（2k1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y=（2k1）22（1+k2）=2k24k1=2（k1）23，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为=70，所以没有满足0的k的值，所以该题目无解点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根25已知关于x的方程x2+（2k1）x2k=0的两个实数根x1、x2满足x1x2=2，试求k的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式菁优网版权所有分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1x2的值，再结合x1x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值解答：解：根据题意得x1+x2=（2k1），x1x2=2k，又x1x2=2，（x1x2）2=22，（x1+x2）24x1x2=4，（2k1）24（2k）=4，（2k+1）2=4，k1=，k2=，又=（2k1）241（2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，（2k+1）20，k，k1=，k2=点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1x2=26已知x1、x2是方程x2kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x11）（x21）=，求k的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：（x11）（x21）=，即x1x2（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值解答：解：x1+x2=k，x1x2=k（k+4），（x11）（x21）=，x1x2（x1+x2）+1=，k（k+4）k+1=，解得k=3，当k=3时，方程为x23x+=0，=9210，不合题意舍去；当k=3时，方程为x2+3x=0，=9+30，符合题意故所求k的值为3点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式027（2011南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组菁优网版权所有专题：代数综合题；压轴题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入不等式x1+x2x1x21，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值解答：解：（1）方程有实数根，=224（k+1）0，（2分）解得k0故K的取值范围是k0（4分）（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1（5分）x1+x2x1x2=2（k+1）由已知，得2（k+1）1，解得k2（6分）又由（1）k0，2k0（7分）k为整数，k的值为1和0（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式028（2012怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值解答：解：x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0的两个实数根，由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=；一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0有两个实数根，=4a24（a6）a0，且a60，解得，a0，且a6；（1）x1+x1x2=4+x2，x1x2=4+（x1+x2），即=4，解得，a=240；存在实数a，使x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=+1=，当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a60，且a6是6的约数，a6=6，a6=3，a6=2，a6=1，a=12，9，8，7；使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a029（2010东莞）已知一元二次方程x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）一元二次方程x22x+m=0有两个实数根，0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m解答：解：（1）方程x22x+m=0有两个实数根，=（2）24m0，解得m1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组，解得，m=x1x2=点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握30（2005福州）已知x1、x2是一元二次方程2x22x+m+1=0的两个实根（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2x12+x22，且m为整数求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2x12+x22，即（x1+x2）26x1x270由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=代入整理后的不等式，即可求得m的值解答：解：（1）a=2，b=2，c=m+1=（2）242（m+1）=48m当48m0，即m时方程有两个实数根（2）整理不等式7+4x1x2x12+x22，得（x1+x2）26x1x270由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=代入整理后的不等式得13（m+1）70，解得m3又m，且m为整数m的值为2，1点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a0，b24ac0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2= 选择是难，更何况是心灵选择。高渐离为了荆轲，他选择了死；马本斋母亲为了革命，她选择了牺牲；祝英台为了真挚爱情，她选择了化蝶。在这友情、亲情与爱情之间选择，他们是这样做48