八年级反比例函数与一次函数综合题型含答案.doc

反比例函数与一次函数综合一选择题（共12小题）1已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3，Mn，则=_2如图，正比例函数y=kx（k0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC若ABC的面积为S，则（）AS=1BS=2CS=3DS的值不能确定3如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，ABx轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，AOB的面积为，则AC的长为（）ABCD44已知直线y1=x，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）A2BCD5如图，直线y=+3与双曲线y=（x0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）A1B2C3D46如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：CEF与DEF的面积相等；EFCD；DCECDF；AC=BD；CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A2B3C4D57函数的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；当x2时，y2y1；当x=1时，BC=3；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小其中正确结论的序号是（）ABCD8如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，ABx轴于B，AOB的面积为1，则AC的长为（）AB2C4D59正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A2mB2CmD110如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设AOD的面积为S1、POE的面积为S2、QOF的面积为S3，则有（）AS1S2S3BS3S1S2CS3S2S1DS1、S2、S3的大小无法确定11如图，点A是直线y=x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作OAB=AOX交x轴于B点，ACx轴，垂足为C，则ABC的周长为（）AB5CD12如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则BOC的面积为（）A8B6C4D2二解答题（共18小题）13如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（1，2）两点，与x轴交于点C（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求AOC的面积14如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BCx轴于C，求SABC15如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BCx轴于点C（4，0）（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且AOE的面积为10，求CD的长16如图，已知反比例函数（k10）与一次函数y2=k2x+1（k20）相交于A、B两点，ACx轴于点C若OAC的面积为1，且tanAOC=2（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？17如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若OBM的面积为2（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AMMP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由18如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标19如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M（2，1），N（1，t）两点（1）求k、t的值（2）求一次函数的解析式（3）在x轴上取点A（2，0），求AMN的面积20如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC的面积21已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由22如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，1）（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标23如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标24阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x0）和y=（x0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标25（如图，已知反比例函数（m是常数，m0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2）（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：PAx轴；PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上26如图已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的解析式（2）求ACO的度数（3）将OBC绕点O逆时针方向旋转角（为锐角），得到OBC，当为多少时，OCAB，并求此时线段AB的长27如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=的图象经过点（1，4），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积28如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x0）的图象经过点B（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、NABC设线段MC、NA分别与函数（x0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式29如图所示，直线y=kx+6与函数y=（x0，m0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点又AEx轴于E，BFx轴于F已知COD的面积是AOB面积的倍（1）求y1y2的值（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由30探究：（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F若A（1，0），B（3，0），则E点坐标为_；若C（2，2），D（2，1），则F点坐标为_；（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_，y=_（不必证明）运用：在图中，一次函数y=x2与反比例函数的图象交点为A，B求出交点A，B的坐标；若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标八年级反比例函数与一次函数综合参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2012内江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3，Mn，则=考点：反比例函数综合题2703432分析：延长MnPn1交M1P1于N，先根据反比例函数上点的坐标特点易求得M1的坐标为（1，1）；Mn的坐标为（n，）；然后根据三角形的面积公式得=P1M1P1M2+M2P2P2M3+Mn1Pn1Pn1Mn，而P1M2=P2M3=Pn1Mn=1，则=（M1P1+M2P2+Mn1Pn1），经过平移得到面积的和为M1N，于是面积和等于（1），然后通分即可解答：解：延长MnPn1交M1P1于N，如图，当x=1时，y=1，M1的坐标为（1，1）；当x=n时，y=，Mn的坐标为（n，）；=P1M1P1M2+M2P2P2M3+Mn1Pn1Pn1Mn=（M1P1+M2P2+Mn1Pn1）=M1N=（1）=故答案为点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足反比例函数的解析式；掌握三角形的面积公式2（2000天津）如图，正比例函数y=kx（k0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC若ABC的面积为S，则（）AS=1BS=2CS=3DS的值不能确定考点：反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积2703432专题：数形结合分析：根据正比例函数y=kx（k0）与反比例函数y=的图象均关于原点对称，可求出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标再根据三角形的面积公式即可解答解答：解：正比例函数y=kx（k0）与反比例函数y=的图象均关于原点对称，设A点坐标为（x，），则C点坐标为（x，），SAOB=OBAB=x=，SBOC=OB|=|x|=，SABC=SAOB+SBOC=+=1故选A点评：本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标即可3如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，ABx轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，AOB的面积为，则AC的长为（）ABCD4考点：反比例函数与一次函数的交点问题；两点间的距离公式；反比例函数系数k的几何意义2703432专题：代数几何综合题分析：先根据AOB的面积求出k的值进而求出反比例函数的解析式，根据正比例函数与反比例函数有交点可求出A点坐标，利用两点间的距离公式可求出OC的长，由OA=OC可求出C点的坐标，再利用两点间的距离公式即可解答解答：解：A点在反比例函数y=的图象上，设A点的横坐标为x，则纵坐标为，AOB的面积为，即x=，k=，此反比例函数的解析式为y=，一次函数的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，x=，x=1或x=1（舍去），A点坐标为（1，），OA=2，OA=OC，C点坐标为（2，0），AC=2故选B点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及两点之间的距离公式、用待定系数法求反比例函数的解析式、各象限内点的坐标特点，难度适中4已知直线y1=x，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）A2BCD考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：计算题分析：分别联立三个函数解析式，求交点坐标，再取最大值解答：解：联立，解得或，联立，解得，联立，解得或，当x时，y1最小，其最大值为，当x0时，y2最小，其最大值不存在，当0x3时，y1最小，其最大值为3，当3x时，y1最小，其最大值为，当x2时，y2最小，其最大值不存在，当2x3+时，y2最小，其最大值不存在，当x3+时，y3最小，其最大值不存在，故选B点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题关键是求各交点坐标，分段比较，确定最大值5如图，直线y=+3与双曲线y=（x0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）A1B2C3D4考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：综合题分析：首先根据直线y=+3可以求出 C的坐标，然后设B（x1，y1），D（x2，y2），由D是BC中点得到 2x2=x1+6 ，联立方程y=x+3，y=，然后消去y得x23x+k=0，接着利用韦达定理可以得到 x1+x2=6，x1x2=2k，联立它们即可求解解答：解：直线y=+3，当y=0时，x=6，C（6，0），设B（x1，y1），D（x2，y2），D是BC中点，那么 2x2=x1+6，x1=2x26，联立方程y=x+3，y=，然后消去y得x+3=，x23x+k=0，根据韦达定理 x1+x2=6，x1x2=2k，用代入3x26=6，x2=4，x1=246=2，由2k=x1x2=8，那么k=4故选D点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点坐标问题，同时也利用了中点坐标的公式，其中利用方程组和待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同学们要熟练掌握这种方法6如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：CEF与DEF的面积相等；EFCD；DCECDF；AC=BD；CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A2B3C4D5考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；平行线的判定；三角形的面积；全等三角形的判定与性质2703432专题：证明题分析：此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CDEF，可从问的面积相等入手；DFE中，以DF为底，OF为高，可得SDFE=|xD|yD|=k，同理可求得CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CDEF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误解答：解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）由函数的图象可知：x0，k0SDFE=DFOF=|xD|=k，同理可得SCEF=k，故正确；故SDEF=SCEF故正确；若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CDEF故正确；条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故错误；法一：CDEF，DFBE，四边形DBEF是平行四边形，SDEF=SBED，同理可得SACF=SECF；由得：SDBE=SACF又CDEF，BD、AC边上的高相等，BD=AC，故正确；法2：四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，而且EF是公共边，即AC=EF=BD，BD=AC，故正确；因此正确的结论有4个：故选C点评：本题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大7函数的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；当x2时，y2y1；当x=1时，BC=3；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小其中正确结论的序号是（）ABCD考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432分析：反比例函数与一次函数的交点问题运用一次函数和反比例函数的性质来解决的一道常见的数形结合的函数试题一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解根据k0确定一次函数和反比例函数在第一象限的图象特征来确定其增减性；根据x=1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；当x=2时两个函数的函数值相等时根据图象求得x2时y1y2解答：解：由一次函数与反比例函数的解析式，解得，A（2，2），故正确；由图象得x2时，y1y2；故错误；当x=1时，B（1，3），C（1，1），BC=3，故正确；一次函数是增函数，y随x的增大而增大，反比例函数k0，y随x的增大而减小故正确正确故选A点评：本题主要是考学生对两个函数图象性质的理解这是一道常见的一次函数与反比例函数结合的一道数形结合题目，需要学生充分掌握一次函数和反比例函数的图象特征理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解8如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，ABx轴于B，AOB的面积为1，则AC的长为（）AB2C4D5考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：计算题；数形结合；待定系数法分析：首先可以根据AOB的面积为1求出k的值，然后联立y=x+1可以求出A的坐标，也可以根据一次函数的解析式求出C的坐标，接着利用勾股定理即可求出AC的长解答：解：设A的坐标为（x，y），xy=k，又AOB的面积为1，xy=k，k=2，y=，当y=0时，y=x+1=0，x=1，C的坐标为（1，0），而A的坐标满足方程组，解之得x=2或x=1，而A在第一象限，A的横坐标为x=1，纵坐标为y=x+1=2，AC=2故选B点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义9正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A2mB2CmD1考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：计算题分析：先解方程组得到A（，），C（，），则OB=OD=，AB=CD=，得到四边形ABCD的面积=2SADB=22=2m解答：解：解方程组得，或，A（，），C（，），而ABx轴于B，CDx轴于D，OB=OD=，AB=CD=，四边形ABCD的面积=2SADB=22=2m故选A点评：本题考查了求直线与反比例函数图象的交点坐标：解两个解析式所组成的方程组即可；也考查了三角形的面积公式10如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设AOD的面积为S1、POE的面积为S2、QOF的面积为S3，则有（）AS1S2S3BS3S1S2CS3S2S1DS1、S2、S3的大小关系无法确定考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432分析：由于点A在y=上，可知SAOD=，又由于点P在双曲线的上方，可知SPOE，而Q在双曲线的下方，可得SQOF，进而可比较三个三角形面积的大小解答：解：如右图，点A在y=上，SAOD=，点P在双曲线的上方，SPOE，Q在双曲线的下方，SQOF，S3S1S2故选B11如图，点A是直线y=x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作OAB=AOX交x轴于B点，ACx轴，垂足为C，则ABC的周长为（）AB5CD考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：数形结合分析：易得点A的坐标，根据等角对等边可得AB=OB，那么ABC的周长为AC与OC之和解答：解：，解得或，由图可得点A坐标为（3，2），OAB=AOX，AB=OB，ABC的周长=AC+OC=5，故选B点评：考查一次函数与反比例函数交点问题；得到ABC的周长的关系式是解决本题的关键12如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则BOC的面积为（）A8B6C4D2考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：计算题分析：先求出A、B的坐标，即可利用三角形的面积公式求出BOC的面积解答：解：把y=x与y=组成方程组得，解得，A（2，2），B（2，2），SCOB=COBF=22=2故选D点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数图象的交点坐标是解题的关键二解答题（共18小题）13（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（1，2）两点，与x轴交于点C（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求AOC的面积考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积2703432分析：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k0）；反比例函数解析式为y2=（a0），将A（2，1）、B（1，2）代入y1得到方程组，求出即可；将A（2，1）代入y2得出关于a的方程，求出即可；（2）求出C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可解答：解：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k0）；反比例函数解析式为y2=（a0），将A（2，1）、B（1，2）代入y1得：，y1=x1；将A（2，1）代入y2得：a=2，；答：反比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x1（2）y1=x1，当y1=0时，x=1，C（1，0），OC=1，SAOC=11=答：AOC的面积为点评：本题考查了对一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应14（2012雅安）如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BCx轴于C，求SABC考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：计算题分析：（1）将A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）将反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，根据B所在的象限即可得到B的坐标；（3）三角形ABC的面积可以由BC为底边，A横坐标绝对值与B横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可解答：解：（1）将A点坐标代入反比例函数y=，得k=6，故反比例函数的解析式为y=；（2）由题意将两函数解析式联立方程组得：，消去y得：x（x+1）=6，即x2+x6=0，分解因式得：（x+3）（x2）=0，解得：x1=3，x2=2，B点坐标为（3，2）；在ABC中，以BC为底边，高为|2|+|（3）|=5，则SABC=25=5点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用15（2012贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BCx轴于点C（4，0）（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且AOE的面积为10，求CD的长考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432分析：（1）求出B的横坐标，代入y=x求出y，即可得出B的坐标，把B的坐标代入y=求出y=，解方程组即可得出A的坐标；（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得出xyy1=10，x4=10，求出x、y，即可得出OD=5，求出OC，相加即可解答：解：（1）BCx，C（4，0），B的横坐标是4，代入y=x得：y=1，B的坐标是（4，1），把B的坐标代入y=得：k=4，y=，解方程组得：，A的坐标是（4，1），即A（4，1），B（4，1），反比例函数的解析式是y=（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得：xyy1=10，x4=10，解得：x=5，y=5，即OD=5，OC=|4|=4，CD的值是4+5=916（2011烟台）如图，已知反比例函数（k10）与一次函数y2=k2x+1（k20）相交于A、B两点，ACx轴于点C若OAC的面积为1，且tanAOC=2（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432分析：（1）设OC=m根据已知条件得，AC=2，则得出A点的坐标，从而得出反比例函数的解析式和一次函数的表达式；（2）易得出点B的坐标，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方时，即y1大于y2解答：解：（1）在RtOAC中，设OC=mtanAOC=2，AC=2OC=2mSOAC=OCAC=m2m=1，m2=1m=1，m=1（舍去）m=1，A点的坐标为（1，2）把A点的坐标代入中，得k1=2反比例函数的表达式为把A点的坐标代入y2=k2x+1中，得k2+1=2，k2=1一次函数的表达式y2=x+1；（2）B点的坐标为（2，1）当0x1或x2时，y1y2点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求二次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握17（2011泰安）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若OBM的面积为2（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AMMP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：探究型分析：（1）根据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MDx轴于点D，由OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M（3，4）作MPAM交x轴于点P，由MDBP可求出PMD=MBD=ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论解答：解：（1）直线y=k1x+b过A（0，2），B（1，0）两点，一次函数的表达式为y=2x2（3分）设M（m，n），作MDx轴于点DSOBM=2，n=4（5分）将M（m，4）代入y=2x2得4=2m2，m=3M（3，4）在双曲线上，k2=12反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MPAM交x轴于点P，MDBP，PMD=MBD=ABOtanPMD=tanMBD=tanABO=2（8分）在RtPDM中，PD=2MD=8，OP=OD+PD=11在x轴上存在点P，使PMAM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）18（2011泸州）如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：函数思想分析：（1）将点A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得a值最后将a值代入其中，求得M的坐标即可解答：解：（1）点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上，解得，；一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点，解得，一次函数的解析式是y=2x+8；（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象的解析式是：y=2（x+a）+8根据题意，得，x2+（a4）x+3=0；这个新图象与函数的图象只有一个交点，=（a4）212=0，解得，a=42；当a=42时，解方程组，得，M（，2）；当a=4+2时，解方程组，得M（，2）M点在第一象限，故x0，x=不符合题意，舍去，综上所述，a=42，M（，2）点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同学们要熟练掌握这种方法19（2010雅安）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M（2，1），N（1，t）两点（1）求k、t的值（2）求一次函数的解析式（3）在x轴上取点A（2，0），求AMN的面积考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：数形结合分析：（1）把点M的坐标代入反比例函数表达式计算即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式，再把点N的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出t的值；（2）利用待定系数法求一次函数解析式列式计算即可得解；（3）设一次函数与x轴的交点为B，求出点B的坐标，然后求出AB的长度，然后根据SAMN=SABM+SABN，列式计算即可得解解答：解：（1）点M（2，1）在函数y=的图象上，=1，解得k=2，反比例函数解析式为y=，又点N（1，t）在函数y=的图象上，=t，解得t=2；（2）一次函数y=ax+b的图象经过点M（2，1），N（1，2），解得，一次函数解析式为y=x1；（3）如图，设一次函数图象与x轴的交点为B，当y=0时，x1=0，解得x=1，点B坐标为（1，0），AB=2（1）=2+1=3，SAMN=SABM+SABN，=31+32，=+3，=点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解方法，先求出反比例函数解析式然后求出点N的坐标是解题的关键，也是本题的突破口20（2009达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC的面积考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：数形结合；待定系数法分析：根据A的坐标为（2，4），先求出k=8，再根据反比例函数求出B点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为y=x+6，求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出SAOC=COyA=64=12解答：解：（1）点A（2，4）在反比例函数图象上4=k=8，（1分）反比例函数解析式为y=；（2分）（2）B点的横坐标为4，y=，y=2，B（4，2）（3分）点A（2，4）、点B（4，2）在直线y=kx+b上4=2k+b2=4k+b解得k=1b=6直线AB为y=x+6（4分）与x轴的交点坐标C（6，0）SAOC=COyA=64=12（6分）点评：主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|21已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：开放型分析：（1）因为反比例函数解析式已知，所以把A点的横坐标与B点的纵坐标代入即可求出A点的纵坐标与B点的横坐标，然后代入一次函数解析式中，用待定系数法解答（2）在（1）的基础上，可求出一次函数与x轴的交点，利用求和的方法解答（3）当OA为腰时，有三个点符合条件，当OA为底时，有一个点符合条件解答：解：（1）反比例函数的图象经过A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是2；当x=2时，把y=2代入解得：x=4A点的坐标为（2，4），B点的坐标为（4，2）；（2分）y=kx+b（k0）经过A，B两点；把A（2，4），B（4，2）代入y=kx+b（k0）得：解得：k=1，b=2；把k=1，b=2代入y=kx+b（k0）得：y=x2；（2分）（2）设直线AB交x轴于点C，把y=0代入y=x2解得：x=2；点C的坐标是C（2，0）；SAOB=SBOC+SOAC=6（3分）（3）如图，P1，P2，P3为所求，它们的坐标分别为：，P3（0，8），点评：此题主要考查了一次函数、反比例函数、待定系数法以及等腰三角形的性质等，难易程度适中22如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，1）（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：待定系数法分析：（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；（2）观察图象可得出一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围；（3）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再利用分割法将三角形的面积分为BOC和AOC的面积之和进行求解；（4）中求出的点要在反比例函数的图象上；解答：解：（1）点A（1，3）在反比例函数图象上k=3即反比例函数关系式为y=点B（n，1）在反比例函数图象上n=3点A（1，3）和B（3，1）在一次函数y=mx+b的图象上解得一次函数关系式为y=x+2；（2）根据图象当3x0，x1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）设一次函数与x轴交点为C，令一次函数值y=0，得x=2，C（2，0）SABO=SBOC+SAOC=|OC|yB|OC|yA|=21+23=4（4）当点P的坐标为（3，1），（3，1）等时，可使点A，O，P构成等腰三角形点评：用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和23如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标考点：反比例函数与一次函数的交点问题2703432专题：代数几何综合题分析：（1）由三角形面积和反比例函数经过的点可以求出k和m的值；（2）由（1）的结果，可得出AO的长度，再由线段与坐标轴的交点求出直线方程，从而得出C点坐标，得出AC的值；（3）根据等腰三角形的性质及点在坐标轴上进行分类讨论，得出正确的结果解答：解：（1）ABx轴，k0，m=2故k和m的值分别为（2）由（1）得m=2，由已知得，一次函数为，令，又AO=故（3）由（2）知，AO=，又D为坐标轴上一点，使AOD是以AO为一腰的等腰三角形，由分析可知：满足D点的坐标为：（0，），（0，4），（2，0），（，0）点评：本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想同时还加入了分类讨论的内容24（2012茂名）阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x0）和y=（x0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标考点：反比例函数综合题2703432分析：（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y=和y=+可以得到方程组，解方程组即可算出a、b的值，继而得到A、B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y=（x0）上，即可算出k值，再根据中点坐标公式算出C点坐标；（2）此题分三个情况：四边形OCDB是平行四边形，四边形OCBD是平行四边形，四边形BODC是平行四边形根据点的平移规律可得到D点坐标解答：解：（1）依题意得，解得，A（3，1），B（1，3），点B在双曲线y=（x0）上，k=13=3，点C为线段AB的中点，点C坐标为（，），即为（1，2）；（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；将线段OC平移，使点C（1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（1，2），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形BODC是平行四边形综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（2，1）点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式25（2011攀枝花）如图，已知反比例函数（m是常数，m0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2）（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：PAx轴；PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上考点：反比例函数综合题2703432专题：计算题分析：（1）用待定系数法求解函数解析式即可得出答案；（2）先求出P点的坐标，然后用待定系数法即可求出函数解析式；（3）先求出P关于原点对称的点Q的坐标，然后代入反比例函数验证即可解答：解：（1）一次函数y=ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2），4a+b=0，b=2，a=，一次函数的关系式为：y=x+2；（2）设P（4，n），=，解得：n=1，由题意知n=1，n=1（舍去），把P（4，1）代入反比例函数，m=4，反比例函数的关系式为：y=；（3）P（4，1），关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1），把Q（4，1）代入反比例函数关系式符合题意，Q在该反比例函数的图象上点评：本题考查了反比例函数的综合题，难度适中，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式26（2011衡阳）如图已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的解析式（2）求ACO的度数（3）将OBC绕点O逆时针方向旋转角（为锐角），得到OBC，当为多少时，OCAB，并求此时线段AB的长考点：反比例函数综合题2703432专题：综合题分析：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，），B（2，0）分别代入，得到a，b方程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值；（2