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新人教版八年级上册 期末总复习,第十一章 三角形 第十二章 全等三角形 地十三章 轴对称 地十四章 整式的乘法与因式分解 第十五章 分式,1,三角形,与三角形有关的线段,三角形内角和,三角形外角和,三角形知识结构图,三角形的边,高,中线,角平分线,与三角形有关的角,内角与外角关系,三角形的定义、分类,2,. 三角形的分类,锐角三角形,三角形,钝角三角形,(1) 按角分,直角三角形,(2) 按边分,底边和腰不等的等腰三角形,三角形,等腰三角形,等边三角形,三边都不相等的三角形,3,2三角形的三边关系,两边之差第三边两边之和,三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.,4,下列条件中能组成三角形的是（ ） A、 5cm, 13cm, 7cm B、 3cm, 5cm, 9cm C、 14cm, 9cm, 6cm D、 5cm, 6cm, 11cm,C,三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的 范围是_;,2cmX 12cm,练一练,5,4. 三角形的三条高(或高所在直线)交于一点.,锐角三角形三条高交于三角形内部一点；,直角三角形三条高交于直角顶点；,钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点.,5.三角形的三条中线交于三角形内部一点.,6. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.,（重心）,（内心）,（垂心）,6,中线把三角形分成两个面积相等的三角形,表示法： AD是ABC的BC上的中线. BD=DC=BC.,三角形的中线,7,考点：三角形的三线,例：下列说法错误的是（ ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。,例：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ） A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。,B,B,8,7、在ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大30，则C的外角为_度，这个三角形是_三角形,75,钝角,8、如图，已知：AD是ABC的中线，ABC的面积为50cm2,则ABD的面积是_.,25cm2,9,三角形外角和定理,三角形的外角和等于3600,三角形的外角与内角的关系,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.,三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.,10,考点：三角形内角和定理：,解：设B=x ，则A=3x，C=4x ， 从而:x+3x+4x=180，解得x=22.5 即：B=22.5，A=67.5，C=90,例3 ABC中，B= A= C，求 ABC的三个内角度数.,11,例4 如图，点O是ABC内一点，A=80，1=15，2=40，则BOC等于（ ） A. 95 B. 120 C. 135 D. 650,分析与解： O=180-（OBC+OCB） =180-（180-（1+2+A）=1+2+A=135,考点：三角形内角和定理：,12,三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性。,13,了解一下,内角,对角线,对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。,可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB,A,B,C,D,E,外角,1,14,n-3,n-2,31800,41800,(n-2)1800,1,2,3,2,3,4,21800,3600,3600,3600,3600,n边形内角和、外角和、对角线,15,第十二章 全等三角形,16,知识结构,17,知识回顾：,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,18,牛刀小试,如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：AEB ADC。,证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD。,19,牛刀小试,如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。,证明: 在ABC与BAD中,AC=BD CAB=DBA AB=BA,ABCDEF（SAS）,20,牛刀小试,如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB = AC，B = C. 求证：BD = CE,21,牛刀小试,已知，如图，1=2，C=D 求证：AC=AD,证明：,在ABD和ABC中 1=2 （已知） D=C（已知） AB=AB（公共边） ABDABC （AAS） AC=AD （全等三角形对应边相等）,22,已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC, ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC, 求证： BD=AC.,A,B,D,C,证明： ACBC, ADBD C=D=90 在RtABC和RtBAD中, RtABCRtBAD (HL),A,BD=AC,牛刀小试,23,三、方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),24,4.如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？,解：AE=CF(已知),A,D,B,C,F,E,AEFE=CFEF(等量减等量，差相等),即AF=CE,在AFD和CEB中，,AFDCEB,(SAS),25,解： CAE=BAD(已知), CAE+BAE=BAD+BAE (等量减等量，差相等),即BAC=DAE,在ABC和ADE中，,ABC ADE,(AAS),26,6.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,解: 连接AC,ADCABC(SSS), ABC=ADC (全等三角形的对应角相等),在ABC和ADC中，,27,练习： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,28,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法： QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法： QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线： 1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,29,3、如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC AO平分BAC吗？为什么？,答： AO平分BAC,30,4.如图，ABCD，A90，ABEC，BCDE，DE、BC交于点O. 求证：DEBC.,证明：ABCD DCA180A 1809090 在RtABC和RtCED中,RtABCRtCED（HL）,BDEC,又A90 ACBB90,ACBDEC90 COE90 DEBC,31,5.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF. 求证：DFEF.,（提示：分两步证明： 证明OPDOPE； 证明OFDOFE）,32,6.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF. 求证：DFEF.,证明：OC是AOB的平分线， PDOA，PEOB PDPB 在RtOPD和RtOPE中,RtOPDRtOPE（HL）,ODOE,又OC是AOB的平分线 DOFEOF,在OFD和OFE中,OFDOFE（SAS）,DFEF,33,7.如图，在ABC中，AB2AC，AD平分BAC且ADBD. 求证：CDAC.,（提示：过点D作DEAB于E 分两步证明： ADEBDE； ADEADC）,34,8.如图，在ABC中，AB2AC，AD平分BAC 且ADBD. 求证：CDAC.,证明：过点D作DEAB于E AEDBED90 在RtADE和RtBDE中,RtADERtBDE（HL）,AEBE,即 AB2AE 又AB2AC AEAC,AD平分BAC EADCAD,在ADE和ADC中,ADEADC（SAS）,CAED90,CDAC,35,第十三章 轴对称,小结与复习,36,轴对称,用坐标表示轴对称,归纳与整理,性质,轴对称图形,两个图形关于某条直线对称,性质,判定,等边三角形,特殊,37,3、轴对称图形和轴对称的区别与联系,轴对称图形,轴对称,区别,联系,图形,(1)轴对称图形是指( ) 具 有特殊形状的图形, 只对( ) 图形而言; (2)对称轴( ) 只有一条,(1)轴对称是指( )图形 的位置关系,必须涉及 ( )图形; (2)只有( )对称轴.,如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称.,如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.,一个,一个,不一定,两个,两个,一条,知识回顾：,38,4、轴对称的性质：,关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。,39,练习： 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ） A.加拿大,韩国,乌拉圭 B.加拿大,瑞典,澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士,加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士,C,40,2.哪一面镜子里是他的像？,41,3、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文 单词在镜子中呈现“ ”的样子， 请你判断这个英文单词是（ ）,(A),(B),(C),(D),A,42,1、什么叫线段垂直平分线？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。,2、线段垂直平分线有什么性质？,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 （纯粹性）。,你能画图说明吗？,二.线段的垂直平分线,43,3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）,4.线段垂直平分线的集合定义：,线段垂直平分线可以看作是 与线段两个端点距离相等的所 有点的集合。,44,三.用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_.,(x, y),( x, y),45,1、完成下表.,(-2, -3),(2, 3),(-1,-2),(1, 2),(6, -5),(-6, 5),(0, -1.6),(0,1.6),(-4,0),(4,0),2、已知点P(2a+b,-3a)与点P(8,b+2). 若点p与点p关于x轴对称，则a=_ b=_. 若点p与点p关于y轴对称，则a=_ b=_.,练 习,2,4,6,-20,(抢答),46,思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?,15,点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）,47,4.利用轴对称变换作图：,如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？,A,B,L,P,48,1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等,请你确定学校的位置。,A,B,C,利用轴对称变换作图及有关计算,P,49,三.（等腰三角形)知识点回顾,1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）,50,四.（等边三角形)知识点回顾,1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它 所对的直角边等于斜边的一半。,51,1、如图，在ABC中，AB=AC时， (1)ADBC _= _;_=_ (2) AD是中线 _; _= _ (3) AD是角平分线 _ _;_=_,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,练习：,52,第十四章 整式与因式分解复习,53,本章知识导引,整式,整式的概念,单项式 多项式,系数 次数 项 次数,整式的运算,整式乘法,互逆运算,整式除法,因式分解,概念 方法,同类项 合并同类项,整式加减,幂的运算 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 乘法公式,提公因式法 公式珐,互逆变形,54,知识要点: 一、幂的4个运算性质,二、整式的乘、除,三、乘法公式,四、因式分解,55,考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am an = am+n 2、同底数幂的除法：am an = am-n ； a0=1(a0) 3、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方: (ab)n = anbn,解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆,知识点一,56,2.若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.,3.计算：0.251000（-2）2000,注意点：,（1）指数：加减,乘除,转化,（2）指数：乘法,幂的乘方,转化,（3）底数：不同底数,同底数,转化,1.(x-3)x+2=1,x+2=0,x=-2,原式=102x103y10=(10x)2(10y)310, 0.5（-2）2000=,a0=1(a0),57,乘法公式复习,计算： (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4) (x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2,三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc,知识点三,58,(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2),=9x2-16-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6 =3x2-5x-10,59,=(1-x2)(1+x2)(1+x4) =(1-x4)(1+x4) =1-x8,(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4),60,(x+4y-6z)(x-4y+6z),=x+(4y-6z)x-(4y-6z) =x2-(4y-6z)2 =x2-(16y2-48yz+36z2) =x2-16y2+48yz-36z2,61,(x-2y+3z)2,=(x-2y)+3z2 =(x-2y)2 +6z(x-2y)+9z2 =x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2 =x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz,三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc,62,运用乘法公式进行简便计算,计算:(1)98102 (2)2992 (3) 20062-20052007,63,(1)98102 =(100-2)(100+2) =1002-22 =9996,64,(2)2992 =(300-1)2 =3002-23001+1 =90401,65,(3) 20062-20052007,=20062-(2006-1)(2006+1) =20062-(20062-12) =20062-20062 +1 =1,66,活用乘法公式求代数式的值,1 、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（1） a2+b2 （2）a-b,a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,2、已知a2-3a+1=0，求（1） （2）,3、已知 求x2-2x-3的值,67,1、因式分解意义：,因式分解问题归纳小结,和,积,2、因式分解方法：,一提,二套,三看,二项式：,套平方差,三项式：,套完全平方与十相乘法,看：,看是否分解完,3、因式分解应用：,提：,提公因式,提负号,套,知识点四,68,因式分解复习,1.从左到右变形是因式分解正确的是( ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D.,D,69,2.下列各式是完全平方式的有( ) ,A, B. C. D.,D,1,+,70,因式分解复习,把下列各式分解因式： 1. x 5 - 16x 2. 4a 2+4ab- b 2,3. m 2(m- 2) - 4m(2- m) 4. 4a 2- 16(a - 2) 2,（1）提公因式法 （2）套用公式法,二项式:平方差,三项式:完全平方,71,第十五章 分式的复习,72,分式,分式有意义,分式的值为0,同分母相加减,异分母相加减,概念,的形式,B中含有字母B0,分式的加减,分式的乘除,通分,约分,最简分式,解分式方程,去分母,解整式方程,验根,分式方程应用,同分母相加减,73,1.分式的定义:,2.分式有意义的条件:,B0,分式无意义的条件:,B = 0,3.分式值为 0 的条件:,A=0且 B 0,A0 ,B0 或 A0, B0,A0 ,B0,知识回顾一,74,3,B,x -2,x1,x1,x 为任意实数,练习,2.下列各式中x 取何值时,分式有意义.,75,B,A,76,整数指数幂有以下运算性质：,知识回顾三,77,分式方程,78,解分式方程的一般步骤,1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.,解分式方程的思路是：,分式方程,整式方程,去分母,一化二解三检验,79,列分式方程解应用题,80,例1： 某文具厂加工一种文具2500套，加工10天后，由于采用了新设备，每天的工作效率变为原来的1.5倍，结果提前5天完成了加工任务。求该文具厂原来每天加工多少套这种文具。,解:设该文具厂原来每天加工x套这种文具；根据题意列方程：,去分母得：2250-1500=7.5x,解之得：X=100，,经检验：x=100是原分式方程的根，,答：该文具厂原来每天加工100套这种文具,81,例2.某人骑自行车比步行每小时多走8千米， 如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?,解:设他步行1千米用x小时，根据题意列方程,82,例3.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.,甲：15 乙：20,解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+5)个零件，依题意得：,=,83,例4、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。,分析：本题把时间作为考虑的着眼点。 设甲的速度为 x 千米/时 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间,2)、乙用的时间=,3)、甲用的时间=,84,例4、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。,解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得,解之得， x1=16, x2= - 2, 都是原方程的根 但x= - 2 不合题意，舍去,所以x=16时， x+4=20,答：甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20千米/小时。,85,例5、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？,分析：设工作总量为1，工效 X 工时= 工作量,设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙,的工效分别为,(1)、相等关系：甲乙合做4天的量+乙单独做(x-4)天的量=总量1,列出方程：,(2)、相等关系：甲 做工作量+乙做工作量=1,列出方程得：,86,例5、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？,解：设规定日期为x天，根据题意得,解得 x=12, 经检验，x=12是原方程的解。 答：规定日期是12天。,87,
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