17.4直角三角形全等的判定

17.4直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单应用.2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.3.会利用基本作图完成:已知一直角边和斜边作直角三角形.【过程与方法】1.使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.2.培养学生观察、类比、猜测的思维能力.【情感态度价值观】1.充分调动学生的积极性、主动性,增强学生的自信心.2.培养团队协作的风格,养成独立思考、勇于探索真理、追求真理的习惯.3.培养学生动手、动脑,发现问题、解决问题的能力.教学重难点【教学重点】探究直角三角形全等的条件.【教学难点】 灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:师:三角形全等的判定方法有哪些?生甲:SSS(三边对应相等的两个三角形全等).生乙:ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等).生丙:SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等).生丁:AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等).师:有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗?学生讨论,教师举例.【课件1】如图所示,举反例说明SSA不能判定两个三角形全等. 师:SSA不能作为定理的根本原因是什么?生:是AC不能固定,能够左右摆动.师:要是我们能使AC只有一种情况,就能证明全等了,应如何办呢?生:过A作BC的垂线,则AC就只有一种情况.如图所示. 师:很好,本节课我们就学习两个直角三角形全等的判定.板书课题.设计意图巩固旧知识,有利于新知识的学习,通过抢答可以提高课堂气氛.导入二:【课件2】问题:1.判定两个三角形全等的方法:、.2.如图所示,RtABC中,直角边是、,斜边是.3.如图所示,ABBE于B,DEBE于E, (1)若A=D,AB=DE,则ABC与DEF(填“全等”或“不全等”),根据(用简写法);(2)若A=D,BC=EF,则ABC与DEF(填“全等”或“不全等”),根据(用简写法);(3)若AB=DE,BC=EF,则ABC与DEF(填“全等”或“不全等”),根据(用简写法);(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF则ABC与DEF(填“全等”或“不全等”),根据(用简写法).设计意图学生填空,回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫.导入三:【课件3】快来吧,本节将带我们一起探索判定直角三角形全等的方法,领略推理证明的数学奥秘,上面的问题就很容易解决了.设计意图通过生动的情境导入,让学生产生学习的兴趣,从而能积极地投入到本节课的学习之中.二、新知构建：活动一:“斜边、直角边”判定定理的探究思路一过渡语直角三角形是三角形中比较特殊的图形,那么两个直角三角形具备怎样的条件能够全等呢?【课件4】舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 方法一:测量斜边和一个对应的锐角(AAS);方法二:测量没被遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS).工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?设计意图在问题中总结三角形全等的判定方法,说明所有判定方法都适合直角三角形全等的判定.引出作为特殊三角形的直角三角形有特殊的判定方法.教师说明:我们已经知道三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知两边对应相等的两个直角三角形,其第三边一定相等.从而这两个直角三角形一定全等.因此斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.怎样利用勾股定理证明这个命题呢?指导学生画出图形,写出已知、求证.【课件5】已知:如图所示,在ABC和ABC中,C=C=90,AB=AB,AC=AC.求证:ABCABC.证明:在ABC和ABC中,C=90,C=90,BC2=AB2-AC2,BC2=AB2-AC2(勾股定理).AB=AB,AC=AC,BC=BC.ABCABC(SSS).归纳:直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.知识拓展对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了,如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.三角形全等的各个条件中,一个必要的条件是至少有一条边对应相等.思路二我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等,那么这两个三角形一定全等,如果有“角角角”分别对应相等,那么不能判定这两个三角形全等,这两个三角形的大小可以不同.如果有“边边角”分别相等,那么也不能保证这两个三角形全等.那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?【课件6】如图(1)所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形. 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较,所有的直角三角形都全等吗?换两条线段,试试看,是否有同样的结论?步:1.画一线段AB,使它等于4 cm;2.画EAB=90;3.以点B为圆心,以5 cm长为半径画弧,交射线AE于点C;4.连接BC.ABC即为所求,如图(2)所示.【课件7】如图所示,在RtABC和RtABC中,已知ACB=ACB=90,AB=AB,AC=AC. 由于直角边AC=AC,我们移动其中的RtABC,使点A与点A、点C与点C重合,且使点B与点B分别位于线段AC的两侧.因为ACB=ACB=90,所以BCB=ACB+ACB=180,因此点B,C,B在同一条直线上,于是在ABB中,由AB=AB(已知),得B=B.由“角角边”便可知这两个三角形全等,于是可得:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为HL(或斜边、直角边).活动二:例题讲解过渡语刚才通过同学们的探究,我们已经了解了“斜边、直角边”定理,下面我们就应用这一定理来解决一些问题.【课件8】已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形. 已知:如图所示,线段a,c.求作:ABC,使C=90,BC=a,AB=c.分析:首先作出边BC,由C为直角可以作出另一直角边所在的射线,由AB=c可以确定点A.作法:如图所示. (1)作线段CB=a.(2)过点C,作MCBC.(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.(4)连接AB.则ABC即为所求.与同桌所作的进行比较,是否重合.结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.【课件9】已知:如图(1)所示,点P在AOB的内部,PCOA,PDOB,垂足分别为C,D,且PC=PD. 求证:点P在AOB的平分线上.证明:如图(2)所示,作射线OP.PCOA,PDOB.PCO=PDO=90,在RtOPC和RtOPD中,PC=PD(已知),OP=OP(公共边),RtOPCRtOPD(HL).POA=POB.OP是AOB的平分线,即点P在AOB的平分线上.思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么区别?通过这道题,你能得到怎样的结论?归纳:角平分线性质定理的逆定理:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.设计意图利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理,理解知识间的必然联系.【课件10】(补充例题)如图所示,ACBC,BDAD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD. 解析欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有ABD和BAC,ADO和BCO(O为DB,AC的交点),经过分析,ABD和BAC具备全等的条件.证明:ACBC,BDAD.C与D都是直角.在RtABC和RtBAD中,AB=BA,AC=BD,RtABCRtBAD(HL).BC=AD.想一想:你能用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法“HL”.【课件11】练一练:1. 如图所示,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 学生独立思考完成,教师点评.2. 如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系? 下面是三名同学解决第2题的思考过程,你能明白他们的意思吗?(1)BC=EF,AC=DF,CAB=FDE=90RtABCRtDEFABC=DEFABC+DFE=90.(2)有一条直角边和斜边对应相等,所以RtABC与RtDEF全等.所以ABC=DEF,所以ABC+DFE=90.(3)在RtABC和RtDEF中,BC=EF,AC=DF,所以AB=DE,因此这两个直角三角形是全等的,所以ABC=DEF,所以ABC+DFE=90.说明:这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂这三位同学的思考过程就可以了.三、课堂小结：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法,所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.- 8 -