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,2.3,幂 函 数,枣庄三中 高超,1,(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _,w 元,(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _,(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _,(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=_,_是_的函数,a,a,V是a的函数,t km/s,v是t 的函数,我们先来看几个具体的问题:,(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_,a是S的函数,以上问题中的函数具有什么共同特征?,思考:,P,w,y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1,_是_的函数,S,a,2,他们有以下共同特点：,(1)都是函数；,(3) 均是以自变量为底的幂；,(2) 指数为常数.,(4) 只有一项；,3,定义:,一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量， 为常数。,注意: 1.幂函数的解析式必须是 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为，只有项”,4,判一判,5,指数函数：解析式 ，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量x；,幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数， R；,6,底数,指数,指数,底数,幂值,幂值,二、幂函数与指数函数的对比,判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点,看看未知数x是指数还是底数,幂函数,指数函数,7,（指数函数）,（幂函数）,（指数函数）,（幂函数）,快速反应,（指数函数）,（幂函数）,8,下面研究幂函数,在同一平面直角坐标系内作出这 六个幂函数的图象.,结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。,研究 y=x,9,y=x,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?,在第一象限内， 当0时，图象随x增大而上升。 当0时，图象随x增大而下降,20,不管指数是多少,图象都经过哪个定点?,在第一象限内， 当0时，图象随x增大而上升。 当0时，图象随x增大而下降。,图象都经过点（1，1）,0时,图象还都过点(0,0)点,21,奇,偶,奇,非奇 非偶,奇,(1,1),R,R,R,x|x0,0,+）,R,R,y|y0,0,+）,0,+）,在R上增,在（-，0)上减，,观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:,在R上增,在0，+）上增，,在（-，0上减,在0，+）上增，,在(0，+)上减,22,(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1);,(2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数；,(3) 如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+时，图象在X轴上方无限地逼近x轴；,(4) 当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数,幂函数的性质,23,说一说,判断正误,1.函数f(x)=x+ 为奇函数.,2.函数f(x)=x2,x-1,1)为偶函数.,3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0上是递增的,则f(x)在0,+ )上也是递增的.,4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0上是递减的,则f(x)在0,+ )上也是递减的.,24,例1 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。,解:依题意,得,解方程,得 m=2或m=-1,检验:当 m=2时,函数为,符合题意.当m=-1时,函数为,不合题意,舍去.所以m=2,25,解:(1)y= x0.8在(0,+)内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8,(2)y=x0.3在(0,+)内是增函数 0.20.3 0.20.3 0.30.3,(3)y=x-2/5在(0,+)内是减函数 2.52.7-2/5,26,练习2,27,练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:_,一般地，幂函数的图象在直线x=1 的右侧，大指数在上，小指数在下， 在Y轴与直线x =1之间正好相反。,C4,C2,C3,C1,1,28,证明幂函数 在0，+）上是增函数.,复习用定义证明函数的单调性的步骤:,(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1x2;,(2). 作差 f(x1)f(x2)，变形 ;,(3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号；,(4). 下结论.,例3,证明:任取,所以幂函数 在0，+）上是增函数.,29,证法二: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 ；,证明幂函数 在0，+）上是增函数.,(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出(x1)(x2)。,即,所以,30,幂函数,定义,五个特殊幂函数,图象,基本性质,本节知识结构:,31,
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