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选修2-2 1.7 定积分的简单应用 一、选择题1如图所示，阴影部分的面积为()A.f(x)dxB.g(x)dxC.f(x)g(x)dx D.g(x)f(x)dx答案C解析由题图易知，当xa，b时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为f(x)g(x)dx.2如图所示，阴影部分的面积是()A2 B2C. D.答案C解析S3(3x22x)dx即F(x)3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999.SF(1)F(3)9.故应选C.3由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x21)dxB|(x21)dx|C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx答案C解析y|x21|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.4设f(x)在a，b上连续，则曲线f(x)与直线xa，xb，y0围成图形的面积为()A.f(x)dx B|f(x)dx|C.|f(x)|dx D以上都不对答案C解析当f(x)在a，b上满足f(x)0时，f(x)dx0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为()Ayax ByaxCyax Dy5ax答案B解析设直线l的方程为ykx，由得交点坐标为(0,0)，(2ak,2akk2)图形面积Skx(x22ax)dxa3ka，l的方程为yax，故应选B.二、填空题11由曲线y22x，yx4所围图形的面积是_答案18解析如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，2)，(8,4)因此所求图形的面积S2(y4)dy取F(y)y24y，则F(y)y4，从而SF(4)F(2)18.12一物体沿直线以vm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是_13由两条曲线yx2，yx2与直线y1围成平面区域的面积是_答案解析如图，y1与yx2交点A(1,1)，y1与y交点B(2,1)，由对称性可知面积S2(x2dxdxx2dx).14一变速运动物体的运动速度v(t)则该物体在0te时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)_答案98ln2解析0t1时，v(t)2t，v(1)2；又1t2时，v(t)at，v(1)a2，v(2)a2224；又2te时，v(t)，v(2)4，b8.路程为S2tdt2tdtdt98ln2 .三、解答题15计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解析由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)dx(x22x3)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.16设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)若直线xt(0t1)把yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，又已知f(x)2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根判别式44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意有(x22x1)dxt(x22x1)dx，即t3t2tt3t2t.2t36t26t10，2(t1)31，t1 .17A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(241.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间解析(1)设A到C经过t1s，由1.2t24得t120(s)，所以AC1.2tdt0.6t2240(m)(2)设从DB经过t2s，由241.2t20得t220(s)，所以DB(241.2t)dt240(m)(3)CD720022406720(m)从C到D的时间为t3280(s)于是所求时间为2028020320(s)18在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程解析如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x，过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0得x，即C.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，SS曲边AOBSABC.S曲边AOBx00x2dxx，SABC|BC|AB|xx，即Sxxx.所以x01，从而切点A(1,1)，切线方程为y2x1.- 8 -
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