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第6讲 抛物线A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A. B1 C. D.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|BF|x1x23，p，x1x2，线段AB的中点的横坐标为.答案C2(2013东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ()A2 B18 C2或18 D4或16解析设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.答案C3(2011全国)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.故选D.答案D4(2012山东)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故C2：x216y，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为_解析依题意，有F，直线l为yx，所以A，OAF的面积为8.解得a16，依题意，只能取a16.答案166(2012陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py.由题意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案2三、解答题(共25分)7(12分)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.8(13分)(2012温州十校联考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解(1)由e ，得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长，得b，则a.(2)法一由c1，得F1(1,0)，F2(1,0)设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的M的轨迹方程为y24x，该曲线为抛物线法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则| ()A9 B6 C4 D3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，由0，可得x1x2x33，又由抛物线的定义可得|x1x2x336.答案B2(2013洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3(2012北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面积为12.答案4(2012重庆)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk，联立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|0，y1y24，则|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值6(13分)(2012新课标全国)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA| p.因为ABD的面积为4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
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