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2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程的一个根是A B C D考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：解析：根据复数求根公式：，所以方程的一个根为答案为A.2命题“，”的否定是A， B，C， D， 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.yxO第3题图 难易度： 解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选D3已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A B 俯视图侧视图2正视图第4题图4242C D 考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度： 解析：根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.5设，且，若能被13整除，则A0 B1 C11 D12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：解析：由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0a13,所以a=12选D.6设是正数，且，则 A B C D 考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：解析：由于 等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z ，所以由题知又，答案选C.7定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A B C D 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：解析：等比数列性质，； ；.选C8如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A BC D考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：第8题图解析：令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，。在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，扇形OAB面积，选A.9函数在区间上的零点个数为A4 B5 C6 D7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度：解析：，则或，又，所以共有6个解.选C.10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是A B C D考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：解析：二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114题）11设的内角，所对的边分别为，. 若，则角 考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：解析： 12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .第12题图考点分析：本题考查程序框图.难易度：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3. 第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7此时n=3，不再循环，所以解s=9 . 13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，33，993位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则（）4位回文数有 个；（）位回文数有 个考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度：解析：（）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（19）种情况，第二位有10（09）种情况，所以4位回文数有种。答案：90 （）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为. 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因此,则答案为.14如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算. 难易度： 解析：（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.CBADO.第15题图（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在的弦AB上移动，连接OD，过点D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 . 考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度：解析：（由于因此,线段长为定值，即需求解线段长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点重合，因此.16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：解析：在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.三、解答题17（本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。难易度：解析：（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故， 由，有，所以，得，故函数在上的取值范围为. 18（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。难易度：解析：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 19（本小题满分12分）如图1，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小DABCACDB图2图1ME.第19题图考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：解析：（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是 ，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时, 三棱锥的体积最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大 （）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系由（）知，当三棱锥的体积最大时，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即CADB图aEMxyz图bCADBEFMN 图cBDPCFNEBGMNEH图d第19题解答图N 故与平面所成角的大小为 解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长至P点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点）， 连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 20（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延误天数的均值与方差； （）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 考点分析：本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。难易度：解析：（）由已知条件和概率的加法公式有：，.所以的分布列为：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延误天数的均值为3，方差为. （）由概率的加法公式，又. 由条件概率，得.故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 21（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 考点分析：本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。难易度：解析：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 22（本小题满分14分）（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.考点分析：本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。难易程度：解析：（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而.故当时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. 说明：（）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况. 15
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