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,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,1,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,积和式” 极限,2,3,4,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数 ,方法:,5,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,6,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,7,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,8,例2. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,9,其中 为,例3. 计算三重积分,所,解: 在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,10,例4. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,原式 =,11,例5.计算三重积分,其中 是由,xOy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P181,12,1(1). 设,由,确定 ,由,所确定 , 则,提示:,C,右边为正 ,显然不对 , 故选 ( C ),利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,上半球,第一卦限部分,13,
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