高等数学同济七版第一章第四节ppt课件

一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,定义1 如果函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时的极限为,零，,那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷小.,例如，,所以函数 x1 为当x1时为无穷小.,所以函数,为当x时为无穷小.,所以函数,为当x-时为无穷小.,定义1 如果函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时的极限为,零，,那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷小.,几点说明,(1) 无穷小不是很小很小的数；,(2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关;,例如，f (x) = x 1 ，,当 x1 时是无穷小，,当 x2 时不,是无穷小.,(3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.,定理1(无穷小与函数极限的关系),变化过程 xx0 (或 x)中，,函数 f (x) 具有极限 A 的,充分必要条件是 f (x) = A + ，,其中 是无穷小.,在自变量的同一,二、无穷大,定义2 设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义,(或 | x | 大于某一正数时有定义).,如果对于任意给定的,正数 M (不论它多么大)，,总存在正数 (或正数 X)，,只,要 x 适合不等式 0 X)，,对应的函,数值 f (x) 总满足不等式,| f (x) | M，,那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷大.,几点说明,(1) 若当 xx0 (或 x)时，f (x) 是无穷大，,则可记为,或,(2) 无穷大不是很大很大的数；,(3) 若函数为无穷大，则它必无界，反之不成立.,例如, 函数,所以当x时， f (x) 不是无穷大.,；,例,证明,铅直(垂直)渐近线,定义 如果,或,或,则称直线 x = x0 是曲线 y = f (x) 的铅直,渐近线.,例如,铅直渐近线,水平渐近线,三、无穷小与无穷大的关系,定理2 在自变量的同一变化过程中，,如果 f (x) 为无,穷大，,则,为无穷小；,反之，如果 f (x) 为无穷小，,且 f (x) 0，,则,为无穷大,