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第一章,计数原理,高二一班某寝室有8名同学，他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片，他们一共要消费多少张卡片？2015年9月，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式，外军方队有17个方队，这些方队的出场顺序一共有多少种排法？某城市的电话号码有8位数字，一共能构成多少个电话号码？汽车牌照由26个英文字母和10个阿拉伯数字选出五个组成，一共能组成多少辆汽车的牌照号码？你知道是怎样计数的吗？本章将系统学习计数原理，学习本章要注意体会有序与无序在计数中的区别，体会建模在数学研究中的作用,11分类加法计数原理与分步乘法计数原理,第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理,自主预习学案,2017年3月3日政协十二届第5次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘问：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径可选？,1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法2分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法,mn,m1m2mn,3分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法4分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法,mn,m1m2mn,1某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()A3种B4种C7种D12种解析选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，共有不同选法347种,C,2已知x2,3,7，y31，24,4，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A1B3C6D9解析这件事可分为两步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合31，24，4中任取一个值y有3种方法根据分步乘法计数原理知，有339个不同的点,D,3(集宁一中2018学年高二)现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同选法是()A7B64C12D81解析选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条，有3种不同的穿衣方案，共有3412种不同的搭配方法，故选C,C,64,4将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_种解析第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法4364种,互动探究学案,命题方向1分类加法计数原理,典例1,思路分析(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事，因此应采用分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理解析(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有506055165种不同的选法,(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30302080种不同的选法,规律总结1.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2中不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法2能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方案，这些方案可以分成n类；(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数,3利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类，即将完成这件事情的方法分成若干类；(2)计数，求出每一类中的方法数；(3)结论，将各类的方法数相加得出结果,跟踪练习1满足a、b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D10,B,解析当a0时，2xb0总有实数根，(a，b)的取值有4个当a0时，需44ab0，ab1a1时，b的取值有4个，a1时，b的取值有3个，a2时，b的取值有2个(a，b)的取法有9个综合知，(a，b)的取法有4913个,命题方向2分步乘法计数原理,已知a3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示不同的圆的个数是多少？思路分析要想确定一个圆，需确定圆心的横坐标a，纵坐标b，圆的半径r，只有当三个量都确定时，这个圆才确定，故应该用分步乘法计数原理求解解析圆方程由三个量a、b、r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为34224(个),典例2,规律总结1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果,跟踪练习2(1)有5本书全部借给3名学生，有不同的借法_种(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有不同分配方案_种解析(1)中要完成的事情是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N3333335243(种)不同的借法(2)中要完成的事情是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N55553125(种)不同的分配方案,243,125,命题方向3两个基本原理的综合应用,现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？,典例3,思路分析(1)选一幅国画布置房间，这件事情可以完成，选一幅油画布置房间，这件事情也可以完成，因此完成“选一幅画布置房间”这件事情共分三类(2)选一幅国画布置房间，布置房间的任务没有完成，选一幅油画布置房间，布置房间的任务也没有完成，只有国画、油画、水彩画各选一幅都完成后，布置房间的任务才算完成，故完成这件事情需分三步(3)“选两种不同种类的画”，可以选国画、油画；也可以选国画、水彩画，如果选了国画、油画，则这件事情已经完成，故用分类加法计数原理，在每一类里选一种画，再选一种画，两种画都选出，这件事情才完成，故用分步乘法计数原理，因此本题应先分类，再分步解决,解析(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法根据分类加法计数原理共有52714种不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770种不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210种不同的选法第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735种不同的选法第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714种不同的选法，所以有10351459种不同的选法,规律总结应用两个计数原理解题时的策略(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两者要有机结合(3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏,跟踪练习3现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(2)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？,解析(1)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以，共有不同的选法N789105040(种)(2)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种),(1)枚举法：将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上就是将分类种数一一列举出来枚举法是一种解决问题的基本方法，当计数的种数不是很多时，都可以用此方法解决(2)间接法：若计数时分类较多，或无法直接计算时，可用间接法，先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数,解决计数问题的常用的方法,(3)字典排序法：字典排序法就是把所有的字母分为前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来(4)模型法：模型法就是通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法模型法是解决计数问题的重要方法,4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？思路分析可以把4个人编号，用一、二、三、四表示，各自的卡片用1,2,3,4表示，用表格的形式一一列举出来解析解法一：显然这个问题难用两个计数原理列式计算，但可以把各种方法一一列举出来，最后再数出方法种数把4个人编号为一、二、三、四，他们写的4张贺年卡依次为1,2,3,4号，则取一张不是自己写的贺年卡的各种方法全部列举出来为：,典例4,解法二：将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为339种,规律总结破解此类看似简单，实则繁难题的关键是选用“枚举法”，即可轻松破解用枚举法需要注意做到不重不漏,跟踪练习4某彩票购买规则规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想从01到10中选出3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21到30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要_元解析需分步：第1步，从01到10中选3个连续的号，有8种选法，第2步，从11到20中选2个连续的号，有9种选法，第3步，从21到30中选1个号，有10种选法，第4步，从31到36中选1个号，有6种选法，共有N891064320个号，共需要8910628640元,8640,下图中一共有多少个矩形(顶点不完全相同就视作不同的矩形),混淆分步、分类致误,典例5,错解按横行进行分类：第一类，由A行和B行组成的矩形有15个第二类，由B行和C行组成的矩形有15个第三类，由C行和D行组成的矩形有15个由分类加法原理知，不同的矩形共有15151545个辨析完成一个矩形，既要考虑横线由哪两条构成，也要考虑竖线由哪两条构成，只有当两条横线与两条竖线都确定时，这个矩形才算完成，故这是分步乘法计数原理,正解我们只要在A、B、C、D四条横线中选取2条，在1、2、3、4、5、6这6条竖线中选取两条，就能确定一个矩形，如图中矩形B2D2D5B5是由横线B2B5、D2D5和竖线B2D2、B5D5围成的,选取横线有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不同方法，选取竖线有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种不同方法，由分步乘计数原理知，共有不同的矩形61590个点评解答计数原理问题时，一定要分清完成“这件事”是分步，还是分类，每一步(类)的具体情形如何计算本例中任意两条横线与两条竖线都能围成一个矩形，而不是只有相邻的横线和竖线的情形,跟踪练习5从3，2，1,0,1,2,3中，任取3个不同的数作为抛物线方程yax2bxc的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？,由c0，解得a0，所以a3，2，1，b1,2,3，这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定：第一步：确定a的值，有3种方法；第二步：确定b的值，有3种方法；第三步：确定c的值，有1种方法由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N3319条,1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A182B14C48D91解析由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848，故选C,C,D,15,3用1、2、3这3个数字可以写出没有重复数字的整数_个解析分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,321,312,231,213，共6个，可写出没有重复数字的整数36615个,
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