古典概型与几何概型.ppt

1.3古典概型与几何概型,(),(),即样本空间,是个有限集;,各样本点出现的可能性相同,即每个基本事件,发生的概率相等.,是有限个,试验的全部可能的结果,每次试验中,例如,每一面出现的概率都是,一、古典概型：,()样本空间,是个有限集:,的概率相同.,()每个基本事件,1.有限性,试验的所有基本事件,总数有限.,2.等可能性,每次试验中,各个基本事件,出现的,都相同.,可能性,掷一枚均匀的骰子,基本事件总数,A中所含的基本事件数,古典概型：,()样本空间,是个有限集:,(),设A是任一事件，,并设A中,含有m个样本点,例,解,设,例,求出现偶数点的概率.,解,样本空间,A表示,B表示,求P(A),P(B),表示“出现偶数点”,掷一枚均匀的骰子,掷两颗均匀的骰子,“点数之和为8”,“第一次出奇数点”,样本空间为,一、两个基本原理,1.加法原理,例,从甲地到乙地,解,可以乘飞机,每天有飞机一班、,火车六班、,汽车三班,问一天中乘飞机,或不同班次的火车、汽车,有几种不同的选择方法?,种,汽车,或者乘火车,或,从甲地到乙地,共有,加法原理:,如果完成某件事,有种方式,第一种方式中有n1,第二种方式中有n2个方法,中有nk个方法,不论用哪一种方式中的哪一个方法,都能达到完成该事件的目的,那么完成这件事共有,种不同的方法.,个方法,第种方式,乘法原理:,2.乘法原理,例,解,必须经过乙地,甲地到乙地的,交通线路有铁路、,公路和水路;,从乙地到丙地的,交通线路,只有公路和水路.,一旅客从甲地经过乙地,有几种不同的途径?,种,如果完成某件事,分k个步骤,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,.,第k步有nk种方法,各个步骤,依次连续完成,该事件才算完成,则完成这件事共有,种不同的方法.,甲,乙,丙,到丙地,从甲地到丙地,有,二、排列,1.选排列和全排列,例,解,可写出多少个数码不重复,的三位数?,个,定义,任取k个元素,按照,一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中,取k个的,排列.,用1,2,3,4四个数码,从n个不同元素中,共有,如果,称上述定义的排列为选排列;,则称之为全排列.,如果k=n,从n个不同元素中,的选排列的个数为,全排列的个数为,取k个,定义,任取k个元素,按照,一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中,取k个的,排列.,从n个不同元素中,个,2.允许重复的排列,例,9,解,一共可以设多少?,种,取出允许重复使用的,定义,k个元素,按照一定顺序排成一列,称为n个不同元素,简称允许重复的排列.,元排列,个不同元素,允许重复的元排列,总共有,从n个不同元素中,允许重复的,以9为首位的六位电话号码,共有,三、组合,例,解,共有,任意取出两个相乘,可得到,多少个不同的积?,个,定义,从n个不同元素中任取k个,任取k个,每次取出k,不管怎样,的顺序,称为从n个不同元素中,的组合数记为,从n个不同元素中,并成一组,个元素的组合.,从7,8,9三个数里,(一)样本空间的点数,以排列计算,把,设A表示,解,共有个,所以,五个字母任意排列,相邻的概率.,求字母和,“字母和相邻”,与其余三个字母,进行全排列.,把看成一个元素,再把看成一个元素,与其余三个字母,进行全排列.,共有个,看作四个元素,看作四个,基本事件总数为,元素,例,例,解,*,*,*,五个字母任意排列,的右边的概率.,求字母在,“字母在右边”,五个字母任意排列,总共有,种排法.,所有这些排列分两类:,的右边,字母在,的左边.,和字母在,a在b的右边,a在b的左边,*,*,*,两类之间,有一一对应的关系.,从而这两类,所含排列数一样多,均为,个,的概率为,把,例,解法一,乙有n-1个,注:,等可能的,有利于事件A发生的,有2种可能,表示,“乙坐在甲左边第个位置上”,解法二,其中,甲、乙两人坐在一起,n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求A:,(座位相邻)的概率.,设甲先坐好,这里取样本空间,位置可坐,.,*,例,每个人以同样的概率,分配到N间,求(1),指定的n间房中,各有一人的概率.,(2)每个房间最多一人的概率.,解,“指定的n间房中,各有一人.”,“每个房间最多一人.”,房中,设有n个人,N个,n个,.,*,求(3),某指定的房间不空,的概率.,(4)某指定的房间,解,“某指定的房间不空”,“某指定的房间是空的.”,“某指定的房间恰有k个人”,例,每个人以同样的概率,分配到N间,房中,设有n个人,恰有k个人的概率.,N个,n个,(二)样本空间的点数以组合计算,例,解,其中有8件次品,其余为正品,从中任取5件,求(1),至多一件次品,至少二件次品,次品的数量,设表示取出的5件中,或,一只箱子里装有100件某产品，,的概率.,设A表示,解,例,n个黑球,从中任取个,求取到的球中,恰有个白球,个黑球,“取到的球中,个黑球”,基本事件总数为,的概率.,恰有个白球,箱中有m个白球,例,解,样本点总数为,随机地放入4个杯子中,问杯子中球,的概率各为多少?,的最大个数,分别为,“杯子中球的最大个数为”,设表示,将3个球,例,或者,从中任取4个,设A表示,“至少有两个次品”,B表示“最多有2个次品”,求,设表示,“取出的4个中有个次品”,则互不相容.,10个灯泡中有3个次品，,解,二、几何概型,计算机在区间0,1上,任意打一个数,求,小于的概率.,随机地在单位圆内任掷一点M,求点M到原点的距离,的概率.,1.,2.,小于,这两个随机试验,都是欧氏空间的,一个区域,样本点落在区域内的每一点的机会,均等.,都,设区域,如果样本点落在A中,就说事件A发生了.,“机会均等”,点落在A中的可能性的大小,与A的面积,成正比,而与A的位置形状无关.,由,的样本空间,的确切含义是:,定义,设为欧氏空间的一个区域，,用,表示,的度量,（一维为的长度，,二维为的面积,三维为的体积),A是中一个可以度量,的子集,定义,为事件A发生的概率,称为区域上的,几何概率.,例,设电台每到整点报时,某人午觉醒来,他打开,收音机,求他等待时间不超过10分钟,就听到报时,的概率.,解,以分钟为单位,设上一次报时时刻为0,下一次,报时时刻为60.,),例,某货运码头仅能容一船卸货,甲、乙两船卸货,时间分别为,1小时和2小时,设甲、乙两船在24,小时内随时可能到达,求它们中任何一船,都不需,等待码头空出的概率.,解,设分别为,甲、乙两船,为一个样本点,样本空间为,A为所求事件,或,到达的时刻,例,从区间0,1中,任取三个随机数,求三个数的和,不大于1的概率.,设,解,分别表示这三个数,样本空间为,设A表示“三个数的和不大于1”,且,