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第4讲导数的热点问题,板块三专题突破核心考点,专题五函数与导数,考情考向分析,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、不等式结合，证明不等式和求参数范围问题是热点题型，中高档难度,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一利用导数证明不等式,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力,例1已知函数f(x)2xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间；,解答,证明,所以1ln2f(x)成立,令t(x)e2x12x，x(0，)则t(x)2(e2x11)，,用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)0时，证明：存在x00，使得f(x0)a1.,证明,所以g(a)在(0,3)上单调递减，在(3，)上单调递增，所以g(a)ming(3)0，故g(a)0，,因此存在x00，使得f(x0)a1.,热点二利用导数讨论方程根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解,例2设函数f(x)ex2aln(xa)，aR，e为自然对数的底数(1)若a0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；,解答,解函数f(x)在0，)内单调递增，,即aexx在0，)内恒成立记g(x)exx，则g(x)ex10，f(x)单调递增,当且仅当x0a1时，取等号,f(x)minf(x0)0，即函数f(x)没有零点,(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势,跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；,证明,证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增,因为h(0)1，所以h(x)在(0，2)上有一个零点；由(1)知，当x0时，exx2，,故h(x)在(2，4a)上有一个零点因此h(x)在(0，)上有两个零点,真题押题精练,真题体验,(1)若f(x)在xx1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)f(x2)88ln2；,证明,因为x1x2，所以x1x2256.,当x变化时，g(x)和g(x)的变化如下表所示：,所以g(x)在(256，)上单调递增，故g(x1x2)g(256)88ln2，即f(x1)f(x2)88ln2.,(2)若a34ln2，证明：对于任意k0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点,证明,则f(m)kma|a|kka0，,所以存在x0(m，n)，使f(x0)kx0a，所以对于任意的aR及k(0，)，直线ykxa与曲线yf(x)有公共点,由(1)可知g(x)g(16)，又a34ln2，故g(x)1ag(16)1a34ln2a0，所以h(x)0，即函数h(x)在(0，)上单调递减，因此方程f(x)kxa0有唯一一个实根综上，当a34ln2时，对于任意k0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点,押题预测,押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查转化与化归的数学思想方法，本题的命制正是根据这个要求进行的,解答,押题依据,即xyln210.,解答,解存在理由如下：,令f(x)0，得x11，x2a1，当a1时，a1e1成立，,
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