数列专题,后附高考真题加解析.doc

数列专题，后附高考真题（2010-2017）加解析一.高考地位与考纲 全国卷会对数列部分的考查要求有所下降，只需要掌握基本的求和与通项关系，学会简单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。纵观全国新课标卷、卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2017年，全国新课标卷理科试题共考查了10道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了11道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。1从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。 2从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。3从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了普通高中数学课程标准（实验）的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。以全国新课标卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。设出基本量，根据知三求二，列方程求解。高考题在这方面尤其喜欢考查等差与等比彼此交汇的题目， 还有就是 与 的关系问题（考生容易忽视n=1的情况）也是考查的热点。2考查数列的基本性质，数列板块中有很多常用的基本性质，“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的客观题计算中非常重要。（二）全国新课标卷对数列基本思想方法的考查侧重点1分类讨论思想：等比数列的前n项和公比分类，或；数列的前n项和；等等.2函数思想：数列关于n的函数。，3数形结合 等差的通项及前n项和都可以视为关于n的直线和抛物线方程。4转化思想：非差、比数列转化为差、比数列。5特殊化思想 已知函数，可求某一项。6类比思想 等差、等比数列有相同的特征，有类似的性质。（三）全国新课标卷对数列内容的常考题型1.选择、填空题常考题型有知三求二，借助方程组求解基本量，有时也会用到“整体求解”的技巧；有些客观题如能灵活运用数列的性质求解则可以大大简化运算；此外数表、框图有时也是数列客观题考查的载体。 2解答题通常会涉及数列的求和，主要考查裂项相消法和错位相减法，难度中等。个别解答题有涉及数列不等式的证明，此类题难度较大，综合性较强，不过其难度要小于近年广东卷的数列压轴题。 二、高考趋势年份题号题型考查内容思想方法分值 2011年理：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12分文：6 选择题等差数列的基本公式方程组思想5分文：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10分 2012年 理：5选择题等比数列的性质方程组思想5分理：16填空题数列的周期性利用周期性求和5分文：12 选择题数列的周期性利用周期性求和5分文：14填空题等比数列前n项和方程思想5分2013年理：7选择题等差数列前n项和方程思想5分理：12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5分理：14填空题 由an与Sn 关系求an比差法5分文：6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文：17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分2014年 理：17解答题由an与Sn 关系判定及证明比差法12分文：17解答题等差数列通项 前n项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12分2015年理:17解答题由an与Sn 关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12分文:7选择题等差数列：基本量求某一项；方程思想5分文:13填空题等比数列：基本量求项数方程思想5分2016理：15填空题等比数列：求很多项相乘积的最大值列方程求解5分文：17解答题等差数列与等比数列综合，求等差数列通向公式与等比数列的前n项和12分2017理：14填空题等差数列：求公差方程思想5分文：17解答题等比数列：求通项公式与前n项和列方程组法12分从统计信息可以看出，近7年高考，每年都对数列问题进行了考查，因此一定要给予足够的重视。三同步解读 数列是按照一定次序排列的一列数，在函数的意义下，数列是定义域为自然数N+的函数，当自变量n从1从n开始取自然数时，所对应的一列函数值.，通常用代替，于是数列的一般形式为.，简记为，其中是的第n项第一部分：数列概念表示方法问题 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为.其中是数列的第项.要点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项.1在数列1，1，2，3，5，8，21，34，55，中，等于（ ）A11 B12 C13 D14【答案】C【解析】试题分析：观察所给数列的项，可知该数列从第三项起，后一项是前两项的和，设该数列为，则该数列的递推关系式为: ，所以，故选C.1在数列中，等于（ ）A11 B12 C13 D14【答案】C【解析】记第一个数为a，第二个数为b，此题的数列排列形式为a,b,a+b,b+(a+b),(a+b)+b+（a+b）.以此类推则得出x=5+8，即x=13.2.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为_.135715131191719212331292725【答案】312【解析】试题分析：前19行共有个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为. 考点：新定义，数列的项.根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列：的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 的通项公式为（）；要点诠释：并不是所有数列都能写出其通项公式；一个数列的通项公式有时是不唯一的。如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；与的关系 当时；当时，故求值2数列的前项和为，若，则【答案】1已知数列的通项公式为其前n项的和，则项数n_。【答案】6【解析】考点：数列的求和。分析：先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n。解答：数列an的通项公式是an=1-1/2n，Sn=（1-1/2）+（1-1/4）+（1-1/8）+（1-1/2n）=n-（1/2+1/4+1/8+1/2n）=n-1+1/2n由Sn=321/64= n-1+1/2n可得出n=6。点评：本题考查了数列的通项，考查数列的求和，解题时掌握公式是关键，属于基础题。求通向公式2数列3，5，9，17，33，的通项公式等于（ ）ABCD【答案】B【解析】解：因为数列3，5，9，17，33，前几项可知，每一项都是满足，因此带入答案验证可知，排除A,C,D选B3已知数列的前项和，其中，那么_；通项公式_。【答案】9；【解析】此题考察数列的通项思路分析：因为，故；当时，；当时，综上，通项公式.点评：对于数列，若是前项和时，则当时，.4已知数列2009，2010，1，-2009，-2010，,这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和等于_。【答案】0【解析】解：根据题意：2009，2010，1，-2009，-2010，-1每6个数为一周期，一周期内6个数的和为0而2010=6335则S2010=0335=05列三角形数表假设第行的第二个数为（1）依次写出第六行的所有数字；（2）归纳出的关系式并求出的通项公式；答案】（1）6，16，25，25，16，6（2）（3）见解析【解析】本试题主要是考查了杨辉三角中系数关系的运用。（1）利用前几行的数字得到第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16（2）依题意，利用数列的累加法的思想得到其通项公式的求解。，那么利用裂项求和得到结论。解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； 2分（2）依题意，4分6分，所以；7分当n=2时， ,也满足上述等式所以根据前n项和求通项公式3已知数列的前项和公式，求通项.（1）， (2).【思路点拨】先由时，求出；再由当时，求出，并验证是否符合所求出的.【解析】(1) 当时，当时，(2)当时，当时，()为所求.【总结升华】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.4 已知数列的前项和，其中，那么_；通项公式_。【答案】9；【解析】此题考察数列的通项思路分析：因为，故；当时，；当时，综上，通项公式.点评：对于数列，若是前项和时，则当时，.1.已知数列的前项和，求通项.【答案】当时，当时，2.已知数列的前项积，求通项【答案】当时，当时，.通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，用表示第项，依次写出得数列12图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如：数列：-3，1，5，9，13，可用递推公式：表示。数列：3，5，8，13，21，34，55，89，可用递推公式：表示。4 数列的一个通项公式是A B C D以上都不对【答案】B【解析】解：因为数列的每一项为分子为1，分母是项数与项数加一的积，因此通项公式即为1已知数列中，则( )A6 B C3 D【答案】B【解析】试题分析：依题意可知，从第三项起，后一项是前两项的差，所以有，从中可以看到，该数列是以6为周期的周期数列，从而，故选B.考点：1.数列的概念及其表示；2.数列的周期性.2写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:(1) , -, -,；(2) , , , ,;(3) 5, 55, 555, 5555, ;(4) 3,5,3,5,.答案(1); (2); (3); (4) an=4+(-1)n（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（4） 跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.5已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明.【思路点拨】选择数列中任意相邻两项作差比较即可.【解析】，（）数列是递增数列.【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.1数列中：,（）（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；（2）判断它的单调性.【答案】（1）, , , ；（2）方法一：， 数列是递减数列.方法二：函数在上单调递减，数列是递减数列.2数列中：（，且为常数），判断数列的单调性.【答案】，当时， 数列是递减数列； 当时， 数列是递增数列.3已知an是递增数列，且对任意nN*都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是( )A. B(0，) C(2，) D(3，)【答案】D【解析】由an1an知2n10，2n1(nN*)，3.【巩固练习】1、 选择题1.数列1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是A. B. C. D.2.已知数列，则0.96是该数列的（ ）A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项3已知数列的通项公式：则a2a3等于()A70B28C20 D84已知ann2n，那么()A0是数列中的项 B20是数列中的项C3是数列中的项 D930不是数列中的项5设数列，则是这个数列的()A第6项 B第7项C第8项 D第9项2、 填空题6.已知数列的前n项和Sn=3+2n, 则an=_.7.已知数列前n项和Sn=5n2-n, 则a6+a7+a8+a9+a10=_.8.已知数列中，, . 那么数列的前5项依次为_.9.数列an的通项公式an=n2+n+1; 则273是这个数列的第_项. 10写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:(1) , -, -,；(2) , , , ,;(3) 5, 55, 555, 5555, ;(4) 3,5,3,5,.3、 解答题11 已知数列an的通项公式为an=n2+ln, 若数列an为递增数列，试求最小的整数l.12 已知数列an的前n项和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n， 求an.13根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) ()；(2) 3, 32 ().14已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值15.已知数列的通项公式为且为递减数列，求m的取值范围. 8,16,32【答案与解析】1.答案：B解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，故，故选B.2.答案：C解析：易知数列的通项公式，把0.96化为通项的形式，故n=243. 答案：C解析：a22222a333110a2a320.故选C.4. 答案：B解析：令n2n0，得n0或n1，nN*，故A错令n2n20，即n2n200，n4或n5(舍)，a420.故B正确令n2n3，即n2n30.14(3)13，故无有理根，C错令n2n930，即(n31)(n30)0，n30或n31(舍)，a30930，故D错5. 答案：B解析：该数列通项公式为.令，得n7.6.答案： ; 解析：利用可求，另n=1时，7.答案： 370; 解析：a6+a7+a8+a9+a10=S10- S5,可求a6+a7+a8+a9+a10=3708.答1, ,; 解析：, .，同理可求其它项.9. 答案：16.解析：令；求得10答案(1); (2); (3); (4) an=4+(-1)n11解析:依题意有:an+1-an0, 即(n+1)2+l(n+1)-(n2+ln)0.解得 l-(2n+1), .-(2n+1)( )的最大值为-3， 满足条件的最小整数l=-2.12答案：解析： 时，所以13解析:(1) 0, 1, 4, 9, 16, ；(2), .14.解析：(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列有两项是负数(2)方法一：，可知对称轴方程为.又因nN*，故n2或3时，an有最小值，其最小值为225242.方法二：设第n项最小，由得解这个不等式组得2n3，n2,3，a2a3且最小，a2a3225242.15.解析：数列为递减数列，解得第二部分：等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。要点诠释：公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。等差中项如果,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.要点诠释：两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.三个数,成等差数列的充要条件是.等差数列的通项公式：首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，当n=1时，上式也成立归纳得出等差数列的通项公式为：（）。（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，.(3)迭代法：.要点诠释：通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。通项公式中共涉及、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：， 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。要点：等差数列的性质等差数列中，公差为，则若，且,则，特别地，当时.下标成公差为的等差数列的项,组成的新数列仍为等差数列，公差为.若数列也为等差数列，则，（k,b为非零常数）也是等差数列.仍是等差数列.数列（为非零常数）也是等差数列.1、等差数列an中，a2a54，an33，则n等于() A48B49C50 D51解析：a2a52a15d4 又， n50.故选C.2、已知an是等差数列，a3a1140，则a6a7a8等于() A20B48C60 D72答案：A 解析：a6a82a7， 又a3a112a740.a720. a6a7a82a7a7a720，故选A.3、 在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_. 解析：由已知得，解得， 所以a6a15d13.1、数列an的通项公式an2n5，则此数列() A是公差为2的递增等差数列B是公差为5的递增等差数列C是首项为7的递减等差数列D是公差为2的递减等差数列答案：A解析：anan1(2n5)2(n1)52(n2)，an是公差为2的递增等差数列2、已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m等于() A4 B6C8 D12答案：C解析：因为a3a6a10a134a832，所以a88，即m8.3、 已知数列an是等差数列，令，求证：bn也是等差数列.证明： 设an公差为d，则 =(an+2+an+1)d-(an+1+an)d =d(an+2+an+1)-(an+1+an) =d(an+2-an) =d2d =2d2 2d2是与n无关常数 bn是等差数列. 等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法 +：由此得：公式二： 证明：将代入可得：要点诠释：倒序相加是数列求和的重要方法之一。上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点：等差数列的前项和的有关性质等差数列中，公差为，则连续项的和依然成等差数列，即,，成等差数列，且公差为.若项数为2n，则，若项数为2n-1，则，1、已知等差数列,则它的前多少项和是54？【解析】设题中的等差数列为中，前n项和为，则设根据等差数列的前n项和公式，得求得（舍去）因此等差数列,的前9项和是54.2、 设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于() A.B.C. D.答案：A解析：设S3m， S63m，S6S32m，由等差数列依次每k项之和仍为等差数列， 得S3m，S6S32m，S9S63m，S12S94m，S63m，S1210m， ，故选A.1、等差数列中，若, 则=_.【答案】由，得.2、已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .【答案】.3、等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。由已知得，解得，.。方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。由已知得由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，令,则：（,是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。当时，一次函数单调增，为递增数列； 当0时，一次函数单调减，为递减数列。 等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，则：（,为常数）（1）当即时，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。当时有最小值当时，有最大值要点诠释： 1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.1、 已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？方法一：, 即, ， ， 又， 当, 有最大值为.方法二：要使最大，必须使且，即解得， ， 时，最大为设等差数列的前项和为, 已知,. （1）求公差的取值范围；（2）指出，中哪一个值最大，并说明理由.（1）依题意，有，即，解得.（2）法一:由，可知.设存在自然数,使得就是，中的最大值，只需,由，故是，中的最大值.法二:, 最小时，最大，, ，时，最小，故是，中的最大值.【巩固练习】4、 选择题1已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A5 B4C3 D22已知等差数列an的前三项依次为a1，,3，则该数列中第一次出现负值的项为()A第9项 B第10项C第11项 D第12项3.已知an是等差数列，a3a1140，则a6a7a8等于()A20B48C60 D724. 等差数列an中，a18，a52，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是()A. BC D15. 若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7()A12B13C14 D156. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3C4 D5答案：D 解析：因为.又因为，所以，要使为整数，则必为整数，于是n可取0,1,2,3,5,11，因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数故应选D.二、填空题7在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.8若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则_.9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为23，则这四个数从小到大依次为_.11. 在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.三、解答题12.在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.13 已知数列an是等差数列，令，求证：bn也是等差数列.14已知数列an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24，.(1)求公差d；(2)若a1，求数列bn中的最大项和最小项；(3)若对任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范围15 已知数列bn的前n项和Sn96n2.若bn2n1an，求数列an的通项公式16用Smn表示数列an从第m项到第n项(共nm1项)之和(1)在递增数列an中，an与an1是关于x的方程x24nx4n210(n为正整数)的两个根，求an的通项公式并证明an是等差数列；(2)对(1)中的数列an，判断数列S13，S46，S79，S3k23k是否为等差数列【答案与解析】1答案：C解析：S偶S奇5d，5d15，d3.2. 答案：B解析：因为a1，,3是等差数列an的前三项，所以，a5，a14，a2，. 令an9，故选B.3. 答案：A 解析：a6a82a7，又a3a112a740.a720.a6a7a82a7a7a720，故选A.4. 答案：B 解析：设数列an的公差为d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为.又由，得.5. 答案：B 解析：a1a510，又a1a52a3a35，a23，d2a7a3(73)d54213.故选B.6. 答案：D 解析：因为.又因为，所以，要使为整数，则必为整数，于是n可取0,1,2,3,5,11，因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数故应选D.7. 答案：13 解析：由已知得，解得，所以a6a15d13.8. 8. 答案： 解析：由于，则.9. 答案2，4，6，8；解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.10. 解析：由Snn29n，得此数列为等差数列，计算得an2n10，由52k108，得7.5k9，故k8.11. 答案：13 解析：由已知得，解得，所以a6a15d13.12. 解析：解法一：统一成关于a1，n，d的表达式.设an的首项和公差分别为a1和d，则a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450.解法二：am+an=ap+aqm+n=p+q由等差数列的性质可知a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.13证明：设an公差为d，则 =(an+2+an+1)d-(an+1+an)d =d(an+2+an+1)-(an+1+an) =d(an+2-an)=d2d=2d2 2d2是与n无关常数bn是等差数列.14解析：(1)S42S24，解得d1.所以公差d为1.(2)，数列an的通项公式为，.函数在和上分别是单调减函数，当1n3时，b3b2b11；当n4时，1bnb4.数列bn中的最大项是b43，最小项是b31，故数列bn中的最大项和最小项分别为3，1.(3)由，得.又函数在(，1a1)和(1a1，)上分别是单调减函数，当x1a1时，f(x)1a1时，f(x)1.对任意的nN*，都有bnb8，71a18，7a16，a1的取值范围是(7，6)15解析：当n2时，bnSnSn196n296(n1)212n6当n1时，b1S13不满足式，又bn2n1an，16解析：解析：(1)解方程x24nx4n210，得x12n1，x22n1.an是递增数列，an2n1，an12n1，an1an2，数列an是等差数列，其通项公式为an2n1.(2)当k为正整数时，S3k23ka3k2a3k1a3k18k9，S3(k1)23(k1)18(k1)918k9，S3(k1)23(k1)S3k23k18(常数)，数列S13，S46，S79，S3k23k是等差数列第三部分：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.要点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；证明一个数列为等比数列，其依据.利用这种形式来判定，就便于操作了.等比中项如果三个数、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中。要点诠释：只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项。任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一。当时，、成等比数列。是、成等比数列的必要不充分条件。1、设是公比为的等比数列，令 ，若数列有连续四项在集合中，则【解析】由题知有连续的四项在集合中，则必有-54，-24为相隔两项，又 ， 2、已知数列的首项为，证明：数列是等比数列.【解析】由得，又数列是首项为，公比为的等比数列.1、如果成等比数列，那么（ ） BA. B.C. D.2、已知数列中 判断数列是等比数列，并说明理由【答案】是等比数列 ，数列是首项为2，公比为-2的等比数列等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：；当n=1时，上式也成立归纳得出：（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即又a1也符合上式.(3)迭代法：.要点诠释：通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.通项公式中共涉及、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：， 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况。1、等比数列an中，a312，a2a430，则a10的值为()A3105 B329C128 D325或329【解析】，a4a3q， ，a412q.即2q25q20， 或q2. 或a101227329.故选D.2、已知等比数列，若，求.【解析】或；法一：，从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一1、 an为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。2、an为等比数列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。，又an0，a45=4。3.已知等比数列an满足a1=2，a1+a3+a5=14，则+=（）aABCD 等比数列的前项和公式推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有根据等比性质，有当时，或.（2）错位相减法等比数列的前n项和，当时，；当时，由得：或.即要点诠释： 错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.在求等比数列前项和时，要注意区分和.当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.1、求等比数列的前6项和。【解析】，1、设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.【解析】若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.【答案】因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。2、在等比数列中，求和。【答案】或2，；，解方程组，得 或将代入，得，由，解得；将代入，得，由，解得。或2，。设等比数列的公比为若，且,则，特别地，当时.下标成等差数列且公差为的项,组成的新数列仍为等比数列，公比为.若，是项数相同的等比数列，则、（是常数且）、(,是常数)、也是等比数列；连续项和（不为零）仍是等比数列.即,，成等比数列。1、在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【解析】法一：设这个等比数列为，其公比为，。法二：设这个等比数列为，公比为，则，加入的三项分别为，由题意，也成等比数列，故，2、 等比数列中Sn48，S2n60，则S3n等于_【解析】Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列又Sn48，S2n60，S3nS2nS3n6012248(S3n60)S3n63.1、等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=_.S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=172、等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比数列，b3=4,即a5+a6=4.3、等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.等比数列中，若设,则：（1）当时，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点.当且时，等比数列是递增数列；当且时，等比数列是递减数列；当且时，等比数列是递减数列；当且时，等比数列是递增数列。（3）当时，等比数列是摆动数列。要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.1已知等比数列an满足log2a3+log2a10=1，且a5a6a8a9=16，则数列an的公比为（）A2B4C2D42在等比数列an中，a3，a15是方程x26x+8=0的根，则的值为（）AB4CD4【巩固练习】一、选择题11和的等比中项是()A1 B1C1 D22已知an是等比数列，a22，a5，则公比q()A B2C2 D3等比数列an中，a312，a2a430，则a10的值为()A3105 B329C128 D325或3294等比数列an中，a2=9，a5=243，则an的前4项和为( )A81 B120 C168 D1925等比数列an的前n项和为Sn，已知S4=10，S8=110，则S16=( )A10000 B11110 C1110 D1111106设等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为()A.B.C. D.二、填空题7已知一个等比数列的第9项是，公比是，则它的第1项等于 .8在等比数列中，若，则公比= ；= .9.在等比数列an中，a11，公比|q|1，若ama1a2a3a4a5，则m_.10等比数列中Sn48，S2n60，则S3n等于_三、解答题11.在等比数列an中，已知：a1=2, S3=26,求q与a312. 已知：对任意自然数n都有a1+a2+an=2n-1，求+.13 有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.14 已知an为等比数列，若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+a3m-2+a3m-1+a3m.15一个等比数列an共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的，且S3