《空间解析几何》PPT课件.ppt

数量关系,第七章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动目录上页下页返回结束,向量及其线性运算,第七章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,机动目录上页下页返回结束,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.向量的减法,三角不等式,机动目录上页下页返回结束,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,机动目录上页下页返回结束,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,机动目录上页下页返回结束,则,例1.设M为,解:,机动目录上页下页返回结束,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,机动目录上页下页返回结束,坐标轴:,坐标面:,机动目录上页下页返回结束,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动目录上页下页返回结束,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,第二节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动目录上页下页返回结束,平面及其方程,第七章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动目录上页下页返回结束,例1.求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,机动目录上页下页返回结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动目录上页下页返回结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动目录上页下页返回结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动目录上页下页返回结束,特殊情形,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xoy面的平面;,平行于yoz面的平面；,平行于zox面的平面.,机动目录上页下页返回结束,例2.求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P327例4,自己练习),机动目录上页下页返回结束,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动目录上页下页返回结束,特别有下列结论：,机动目录上页下页返回结束,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动目录上页下页返回结束,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动目录上页下页返回结束,例6.,解:设球心为,求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,机动目录上页下页返回结束,第三节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动目录上页下页返回结束,空间直线及其方程,第七章,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动目录上页下页返回结束,2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动目录上页下页返回结束,3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动目录上页下页返回结束,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动目录上页下页返回结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动目录上页下页返回结束,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动目录上页下页返回结束,特别有:,机动目录上页下页返回结束,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角的余弦为,(参考P332例2),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动目录上页下页返回结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面夹角满足,直线和它在平面上的投影直,机动目录上页下页返回结束,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,机动目录上页下页返回结束,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动目录上页下页返回结束,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动目录上页下页返回结束,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线L:,机动目录上页下页返回结束,