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初一数学上册知识点与测试题第一章 基本的几何图形1.1-2 我们身边的图形世界几何图形一、知识归纳（一）几何图形1、从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形我们观察分析周围的物体时，如果只注意它们的形状、大小（如长度、面积、体积等）以及相对位置（如垂直、平行、相交等），而不考虑它们的颜色、材料和质量、用途等等，就从中抽象出了几何图形几何图形包括立体图形和平面图形有些图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形；有些图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形像长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等，它们都是立体图形；像线段、射线、直线、三角形、长方形、梯形、圆、扇形等等，它们都是平面图形2、 像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称为体包围着体的是面面有平的面和曲的面两种观察上面几何体的表面特点将它们分类：圆柱、圆锥和球为一类，因为它们的面有的为曲面棱柱和棱锥的面都是平的为一类，像这一类几何体也叫多面体.（二）点、线、面、体1、从图形运动的观点来看：点动成线、线动成面、面动成体如天空中喷气式飞机喷烟拉线的过程给我们点动成线的印象；用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象；在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体，这说明面动成体2、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素面和面相交的地方形成线线和线相交的地方是点3、有些图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 二、典型例题：例1、（1）指出图中几何图形的名称（2）圆柱的侧面展开图是一个_，圆锥的侧面展开图是一个_（3）用一根长36cm长的铁丝，加工成一个正方体的框，则这个正方体的棱长是_（4）一个长为10、宽为5的长方形，若绕它的长所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为_；若绕它的宽边所在直线旋转一周，所得的圆柱的曲面面积为_例2、如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来例3、用平面截一个正方体，截面的形状有哪几种可能？例4、把立方体六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456现将上述大小相同、颜色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体如图所示，问长方体的下底面共有多少朵花？例5、下图（2）（5）是图（1）的正方体切去一块，得到的几何体，它们各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f+v-e应满足什么关系？例6、如下图，在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁，要从侧面爬一圈后，再回到A点，请你结合圆锥的侧面展开图，设计一条最短路线1.3 线段、射线和直线一、知识归纳1、线段绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看作线段线段有三个特征：线段是直的，线段有两个端点，有长短，线段没有粗细线段用它的两个端点来表示在几何中，通常用一个大写英文字母表示一个点，用 A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA，字母是无序的线段还可以用一个小写英文字母表示，如线段 a2、射线将线段向一个方向无限延伸就形成了射线射线只有一个端点，向一方无限延伸射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示，且端点在前，字母是有序的射线AB与射线BA是不同的射线也可以用一个小写字母来表示，如射线l等 3、直线将线段向两个方向无限延伸就形成了直线直线没有端点，向两方无限延伸线段和射线也可以看作是直线的一部分线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分；射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分直线用直线上任意两个点来表示，如 A、B是直线上任意两点，则这条直线可表示为直线AB或直线BA，字母是无序的直线还可以用一个小写字母来表示，如直线l4、经过两点有且只有一条直线这条性质包含两层含义：一是说经过两点有一条直线，肯定有，不是没有，即存在性；二是说经过两点只有一条直线，不会多，即惟一性这个性质可简单叙述为：两点确定一条直线，通常称为直线公理 .如果两条直线经过同一点，称这两条直线相交，有惟一的公共点，这个公共点叫交点二、典型例题：例1、（1）如图所示的两条直线交于P点，用两种方法表示这两条直线是_（2）如图所示，在下列语句中，能正确表示出图形特点的有（）直线l经过点A、B；点A和点B都在直线l上；直线l是A、B两点所确定的直线；l是一条直线，A、B是直线l上任意两点A1句B2句C3句D4句（3）如图所表示的含义，下列说法正确的是（）A延长射线ABB延长线段ABC反向延长线段BAD反向延长线段AB（4）如图，直线上有A、B、C三点，下列说法正确的有（）射线AB与射线BC是同一条射线；直线AB经过点C；射线AB与射线AC是同一条射线；直线AB与直线BC是同一条直线A1个B2个C3个D4个（5）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（）例2、如图中，能用字母表示的直线、射线、线段各有几条，分别是哪几条？例3、已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线，可以画出几条？例4、（1）如图，线段AB上有C，D两点，则图中共有线段（）A3条B4条C5条D6条（2）乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站(如图)，那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票1.4 线段的比较与做法一、知识归纳1、两点之间的所有连线中，线段最短简单说成两点之间线段最短.2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离线段的长度可用有刻度的直尺测量3、线段大小的比较方法 (1)叠合法如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系 (2)度量法先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的表示方法：用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果若两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：ABCD4、线段的中点如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等如图所示，若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB或AB=2AM=2BM二、典型例题：例1、（1）如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，若在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由（2）一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？例2、（1）C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则下列说法不正确的是（）ACD=ACBDB CCD=ADBCD（2）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：，AB=BC，AC=2AB，ABBC=AC能表示B是线段AC的中点的有（）A1个B2个C3个D4个（3）已知线段AB=10cm，PAPB=20cm，下列说法正确的是（）A点P不能在直线AB上 B点P只能在直线AB上C点P只能在线段AB的延长线上 D点P不能在线段AB上例3、如图所示，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD2cm，求AD的长例4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.第二章 有理数2.1 有理数 正数与负数（1）一、知识归纳：1、正数：像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数2、负数：像3，2，2.7%这样在正数前面加上负号“”的数叫做负数3、0：0既不是正数，也不是负数一般地“”号往往省略不写，但负数前面的“”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数.学会用正、负数表示具有相反意义的量相反意义的量包含两个要素：一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出二是他们都是数量数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准二、典型例题：例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（）4，1，0.32，3，01，0.1，2009，2，0ABCD例2、将下列各数填入相应的括号内：2.5，3.14，2，72，0.6，0，例3、下列说法中不正确的是（）A0是自然数B0是正数 C0是整数 D0表示没有例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动20米记作_，向北运动50米记作_；（2）25表示向_运动_米，26表示向_运动_米；（3）原地不动记作_例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为6cm，4cm，1cm，2cm，7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm180cm，那么上述五人中有几人可入选？例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：4，3，10，10，16，17，0，7.5（1）分别写出这八名同学的实际成绩； （2）求出这八名同学的平均分例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：5，3，10，8，6，12，10（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？例8、观察下列一列数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2011和2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明理由2.1有理数（2）一、知识归纳：有理数的分类：整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数和负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数；二、典型例题：例1、下列说法正确的是（）A有理数是正数 B有理数包括正数和负数C零不是有理数 D有理数包括正有理数、0和负有理数例2、下列关于有理数分类正确的是（）A有理数分为正有理数和负有理数； B有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；C有理数分为正有理数，0，分数； D有理数分为自然数，负整数，分数例3、把下列各数填在相应的大括号里：负数 ；整数 ；自然数 ；分数 5，2，2，0，2008，25，6.3，3.7例4、在数6.4，0.6，10.1，2010中（）A有理数有6个B是负数C非正数有3个D以上都不对例5、下列各数：3，5，0.2，0.97，0.21，6，3009，1其中正数有_个，负数_个，正分数有_个，负分数有_个，非负整数有_个例6、按规律填空：（1）1，2，3，4，5，6，_，_，_；（2）_，_，_；（3）1，3，5，7，_，_，_例7、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数？（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？（3）第2010个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在下图圈内的相应位置A=2，3，8，6，7； B=3，5，1，2，6； C=1，3，8，2，52.2 数轴一、知识归纳：（一）数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线。三要素：原点、正方向、单位长度（二）包含三个内容：第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；第二是数轴的三要素原点、正方向、单位长度，缺一不可；第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是规定的，通常取向右为正方向所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数（三）数轴的画法（1）画直线（一般画水平的）；（2）在直线上取一点定为原点“0”（在原点下方标上“0”）；（3）取原点向右的方向为正方向，并用箭头表示出来；（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，4，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为1，2，3，零用原点表示如图：二、典型例题：例1、下列各图中，是数轴的是（）AB C D例2、数轴上原点及原点左边的点表示_例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数A点表示_；B点表示_；C点表示_；D点表示_；E点表示_例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是（）A2010B2010 C2010或2010D以上都不对例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）A伦敦时间2008年8月8日11时 B巴黎时间2008年8月8日13时C纽约时间2008年8月8日5时 D首尔时间2008年8月8日19时例6、数轴上点A和点B表示的数分别是1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是（）A1B0.5 C0.6D0.8例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是_，点C表示的数是_例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C（1）写出A、B、C三点表示的数；（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？例10、（1）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，若C表示的数为3，则点A所表示的数为_（2）若蝈蝈第一步从P0向左跳1个单位长度到P1，第二步从P1向右跳2个单位长度到P2，第三步由P2向左跳3个单位长度到P3，第四步由P3向右跳4个单位长度到P4，按以上规律跳了100步，蝈蛔落在数轴上的点P100所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P0所表示的数是_2.3 相反数与绝对值（1）一、知识归纳：（一）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数零的相反数是零（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.（3）性质：互为相反数的和为0，即ab0a、b两数互为相反数.（4）符号：在一个数前面加“”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是a.强调：“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数（二）除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0二、典型例题：例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是（）AA和CBA和D CB和CDB和D例2、化简下列各数的符号：（1）（5）（2）（3） （3）（6） （4）（8）例3、下列各对数中，互为相反数的有（） 1）与（1） （2）与2 （3）与（3） （4）与（4） （2）与（2）A1对B2对C3对D4对例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示2的相反数的点是_例5、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（）A1，2，0B0，2，1 C2，0，1D2，1，0例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A，若A与A表示的数恰好互为相反数，那么点A表示的数是（）A2.5B2.5 C5D5例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴上表示出a、b； （2）比较a、b、a、b的大小（用“”连接）例8、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为_；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为_；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求xyz的值2.3 相反数与绝对值（2）一、知识归纳：（一）绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a|.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“|”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.（二）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若|a|b|c|0，则a0，b0，c0.任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如5符号是负号，绝对值是5. 非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数二、典型例题：例1、一个数的绝对值是2010，则这个数是_；绝对值小于6的整数有_个，它们是_例2、如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么ab_例3、如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是_例4、绝对值不大于4的非负整数有（）A4个B5个C7个D9个例5、下列各对数中，互为相反数的是（）A（20）和|20| B|3|和|3| C（12）和|12| D|a|和|a|例6、|3.14|的值为（ ）A0B3.14C3.14D0.14例7、如果|a|=a，下列成立的是（）Aa0Ba0Ca0Da0例8、下列各题正确的是（）若m=n，则|m|=|n| 若m=n，|m|=|n| 若|m|=|n|，则m=n 若|m|=|n|，则m=nABCD例9、当x_时，|x|5取最小值，这个最小值是_；当a_时，36|a2|取最_值，这个值为_例10、已知|a|2，|b|3，|c|3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图，计算a（b）c的值例11、已知|a2|b1|=0，求a、b的值例12、按规定，食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克，下表是几种饼干的检验结果，“”“”号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断哪一种食品最符合标准威化咸味甜味酥脆10（g）8.5（g）5（g）3（g）2.3 利用绝对值比较有理数的大小（3）一、知识归纳：正数0负数（1）一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上表示的点离原点越远（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小有理数大小比较小结： 能化简的先化简,然后按照有理数大小比较法则进行比较：异号两数比较大小，负数总是小于正数；两正数比较大小：绝对值大的数大于绝对值小的数；两负数比较大小：绝对值大的反而小；负数小于零；零小于正数.二、典型例题：例1、（1）两个正数，绝对值大的_；两个负数，绝对值大的_（填“大”或“小”）（2）用“”或“”填空：5_7；（5）_|7|例2、如图的数轴，填空：（1）|a|_|b|； （2）|a|_|c|； （3）a_b；（4）|a|_|b|；（5）b_c； （6）a_|c|例3、如果m0，n0，m|n|，那么m，n，m，n的大小关系是（）AnmmnBmnmnCnmnmDnmnm例4、如图所示，已知有理数a，b，c在数轴上的对应点，试比较a，a，b，b，c，c，0的大小例5、绝对值小于5且大于1的负整数有_个，分别是_例6、用不等号连接：4，|（2）|，|（2）|，（3），（5），|（1.2）|例7、下列说法中正确的是（）A若a和b都是负数，且|a|b|，则abB若a和b都是负数，且有|a|b|，则abC若a0，b0，且|a|b|，则abD若a和b都是正数，且有|a|b|，则ab例8、正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定下面是8个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）25，10，11，30，16，14，11，39请指出哪个排球质量好一些，并用绝对值的知识进行说明例9、已知，且ab，求a、b的值第三章 有理数的运算一、知识归纳：（一）有理数的加法法则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3、互为相反数的两个数的和为0；4、任何数同零相加都等于它本身（二）有理数加法运算律1、交换律：abba；2、结合律：（ab）ca（bc）.二、典型例题：例1、计算：（1）（18）（22）； （3）（3）（3）； （4）（2010）0例2、列式计算：（1）比18的相反数大30的数； （2）75的相反数与24的绝对值的和例3、已知|a|=15，|b|=14，且ab，则ab的值等于（）A29或1 B29或1 C29或1D29或1例4、若|a2|与|b5|互为相反数，求ab的值例5、已知ac=2009，b（d）=2010，则abc（d）=_例6、如果|a1.2|b1|=0，那么a（1）（1.8）b=_例7、用适当的方法计算：（1）（51）（12）（7）（11）（36）（2）（3.45）（12.5）（19.9）（3.45）（7.5） 例8、在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，规定向东为正，当天航行记录如下：（单位：千米）16，8，13，9，12，6，10（1）B在A的哪一侧？相距多远？（2）若冲锋舟每千米耗油0.45升，则这一天共消耗了多少升汽油？3.1 有理数加减与减法运算（2）一、知识归纳：（一）有理数的减法法则1、交换律：ab=ba2、结合律：（ab）c=a(bc)3、有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即ab=a（b）（二）小结：1有理数的加减法可统一成加法 加减法统一成加法算式，按减法法则减去一个数可写成加上它们的相反数，这样便把加减法统一成加法算式几个正数或负数的和称为代数和2因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 3、有理数加减混合运算的方法和步骤（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则、加法运算律进行简便运算4、有理数加减混合运算的技巧方法（1）把正数、负数分别相加（2）把和为零或整数的分别相加（3）把整数、分数分别相加（4）把同分母的、易通分的分数分别相加二、典型例题：例1、将下列括号内填上适当的数（1）（7）（3）=（7）_； （2）（5）4=（5）_；（3）0（2.5）=0_； （4）8（2010）=8_例2、已知：|x|=5，y=3，则xy=_例3、当时，x，xy，xy，y中最大的是（）AxBxy CxyDy例4、已知|m|=5，|n|=27，且|mn|=mn，则mn=_例5、如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数，结果是（）A8B8C2D2例6、把18（33）（21）（42）写成省略括号的和是（）A18（33）（21）42 B18332142C18332142 D18332142例7、计算：（1）（5）（10）（32）（7）（2）（3）12345699100例8、一只蚂蚁在一张棋盘的一条直线上爬行，规定向右为正方向，第一次它从A点向右爬了1个单位，第二次向左爬了2个单位到B点，第三次又向右爬了3个单位后到了C点，第四次再向左爬了4个单位到达D点，这样它一直爬了20次，爬到了A0点已知A0点表示18，那么A点表示什么数呢？例9、阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题以上这种解题的方法叫做拆项法例10、先阅读下面的解题过程，然后解答后面的题目3.2 有理数的乘法与除法（1）一、知识归纳：（一）有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘，积仍得0；（2）n个数相乘,当负因数的个数为奇数个时,积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；（3）互为倒数的两个数乘积为1(二)有理数乘法的运算律(1)乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即：abba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变. 即：(ab)ca(bc).(3)分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即：a(bc)abac.二、典型例题：例1、计算：（3）5=_； （2）（3）=_； （3.125）0=_例2、的倒数与的相反数的积是_例3、（1）下列说法正确的是（）A若ab0，则a0，b0 B若ab=0，则a=0，b=0C若ab0，且ab0，则a0，b0 Da为任一有理数，则a（a）0（2）若ab|ab|，则一定有（）Aa0，b0Ba0，b0 Ca0，b0 Dab0（3）比较a与3a的大小，正确的是（） A3aa B3aa C3a=a D上述情况都有可能（4）若a、b满足ab0，ab0，则下列结论正确的是（）A|a|b| Ba0，b0时，|a|b| Ca0，b0时，|a|b| D|a|b|（5）x、y、z是三个有理数，若xy，xy=0，且xyz0判断x、y、z的正负性； 试判断（xz）（xy）的符号例4、已知a=2，b=4，ab，ab0求2ab2a2b的值例5、（12）（23）（20072008）（20082009）=_例6、计算：例7、用简便方法计算：（1）（8）（5）（0.125）； ； 3.2 有理数的乘法与除法（2）一、知识归纳：有理数的除法法则除法是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算.1、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，可以表示成：ab=a，其中b02、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何不等于0的数都得03、0不能作除数乘积为1的两个有理数互为倒数.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.注意：(1)0没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号.二、典型例题：例1、计算：例2、（1）若a、b、c均为负数，则_0（填“”或“”）；（2）若=0，则一定有（）Aa=0Bb=0且a0 Ca=b=0Da=0或b=0（3）当x=_时，式子没有意义；（4）如果，那么a是（）A正数B负数 C非正数D非负数例3、化简下列分数：例4、计算：例5、当a=2，b=4，c=7，d=3.5时，计算下列各式的值：（1）abcd； （2）（dc）（ba）例6、设a=1234，b=1（234），c=1（23）4，d=12（34）计算（ba）（cd）的值.例7、（1）若ab0，求的值（2）三个有理数a、b、c为不等于0的有理数，其积为负数，其和为正数求的值（3）a、b、c均为不等于零的有理数，求的值3.2 有理数的加减乘除混合运算（3）一、知识归纳：1、在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号2、在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律3、合理运用运算律：合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证，在运用时，首先要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法. (1)加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将容易计算的数进行结合. (2)乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般将能约分的数结合. (3)分配律是乘法对加法的分配，它既可以正用(即a(bc)abac)，也可以逆用(即abaca(bc)，要特别注意除法对加法没有分配律，不要出现12(43)124123347的错误.4、含多重括号时，要注意灵活去括号，没必要墨守成规，总是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可以先去大括号，再去小括号有理数的加减乘除混合运算，应按照“先乘除，后加减”的顺序进行若有括号，则应先计算括号内的数二、典型例题：例1、（1）若x（4）=，则x=_；（2）已知a=3，b=2，c=5，则=_；（3）等式（8）（2）=4中，表示的数是_例2、当ab0时，则_0例3、下列计算正确的是（）A（1）（7）=17=11=1 B12（34）=123124=43=7C（）3=6633= D0（5236）=00=0例4、阅读下面解题过程：计算解：原式=回答：（1）上面解题过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错了，第二处是第三步，错误的原因是结果错了2）求出正确的结果解：原式=例5、计算：例6、在如图所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x=_例7、小强在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数为1，那么执行程序后输出的数是多少？例8、计算：例9、某市质量监督局从某食品厂生产的罐头中，随意抽取20听进行检查，超过标准质量的用正数表示，不足标准质量的用负数表示，抽查的结果如下表：与标准质量的偏差（单位：克）105051015听数254621试问：这批样品的平均质量比标准质量多或者少多少克？3.3 有理数的乘方(1)一、知识归纳：（一）定义有理数的乘方：一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作a的n次方求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.幂的读法，关键是分清底数和指数如24读作“2的四次方的相反数”或“2的四次幂的相反数”，不能读作“2的四次方”或“2的四次幂”.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写（二）乘方的性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数0 的任何正整数次幂都是 0.注意：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来，分数的乘方，在书写时，也应加小括号如不加括号则表达的是另外一个意义. 二、典型例题：例1、在（6）2中，底数是_，指数是_，运算结果是_；在62中，底数是_，指数是_，运算结果是_.例2、（3）2的意义是_；32的意义是_.例3、计算：（1）（4）3；（2）（2）4；（3）；（4）23例4、下列各对数中，数值相等的是（ ）A32和23B23和（2）3 C32和（3）2D（32）2与322例5、已知ab=0，且a0，则当n是自然数时，下列各式一定成立的是（）Aa2n=b2nBa4nb4n=0 Ca2n1=b2n1Danbn=0例6、在（1）2009，（1）2010，22，（3）2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（）A6B8C5D5例7、（1）如果一个有理数的平方等于（2）2，那么这个有理数等于_；（2）若|a3|=27，则a的值为（） A9 B3 C3或3 D3（3）若a3=8，则a=_.例8、一根长1m的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次剪后剩下的绳子长度为（）ABCD例9、已知|x2|(y3)2=0，则（xy）2=_.例10、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，通过观察，用你发现的规律写出22010的末位数字是_.例11、（1）看一看下面的算式：（25）2与2252，每组两个算式的结果是否相同，请算出结果来.（2）想一想：（ab）3等于什么？（3）猜一猜：当n是整数时，（ab）n等于什么？说明你的结论正确性.3.3科学记数法(2)一、知识归纳1、科学记数法5把一个绝对值大于10的数记作a10n的形式，其中a是整数位只有一位的数，n是正整数这种记数方法叫做科学记数法把一个数写成a10n的形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1，而a的整数数位只能有一位，即1a102、将用科学记数法表示的数还原成原数 (1)把科学记数法a10n中的指数n加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数； (2)科学记数法a10n中的n是多少，就把a中的小数点向右移动多少位，不够的添0，从而确定原数3、准确数与近似数近似数是与实际接近，但与实际有差别的数准确数是与实际情况完全符合的数近似数和准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位二、典型例题：例1、用科学记数法表示下列各数：(1)53687.08；(2)100000000；(3)690000； (4)12300；(5)851340；(6)723.5万析：例2、把下列用科学记数法表示的数写成原数：(1)1104；(2)6.25105；(3)7.05104答案：例3、宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为( )A0.8451010元 B84.5108元 C8.45109元 D8.451010元例4、比较下列数的大小：(1)1.5104_1.2105； (2)1.49104_2.58103例5、下列近似数各精确到哪一位？(1)2.33万；(2)1.20106例6、甲、乙两个城市在人口统计中同是34万人，想一想，这两个城市的人口数一定相等吗？如果不相等，最大差额可能达到多少？例7、一个正常人的平均心跳速率为每分钟70次，一年大约跳多少次(一年按365天计算)？用科学记数法表示这个结果一个正常人一年心跳次数能达到1亿次吗？：3.4 有理数的混合运算一、知识归纳：（一）有理数的混合运算的运算顺序1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便（二）有理数的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(ab)ca(bc)；乘法交换律：abba；乘法结合律：(ab)ca(bc)；乘法分配律：a(bc)abac有理数的混合运算的关键是运算的顺序，运算法则和性质，为此，必须进一步对加、减、乘、除、乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，在此基础上对其运算顺序也应熟知，在运算过程中，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算.为了提高运算适度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜劵二、典型例题：例1、（1）若x、y互为倒数，则（2） （3）（n为自然数）的值为_.例2、设a=342，b=（34）2，c=(34)2，则a、b、c的大小关系为（）AacbBcabCcbaDabc例3、下列各式计算正确的是（）AB CD例4、观察下列按顺序排列的等式01=12，212=22，323=32，434=42请你猜想第10个等式应为_.例5、计算：例6、已知（x3）2|xy|=0，求（x）3（y）3的值.例7、（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=4，求2a(cd)20102b3m的值.（2）当x=1，y=2时，求的值.例8、如图，某计时装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果.A12345B1271423（1）按照这个计算装置的计算规律，请你设计出它的运算程序；（2）若输入10，则输出的数是多少？例9、观察下面三行数：2，4，8，161，2，4，83，3，9，15（1）第行数按什么规律排列？ （2）第行数与第行数分别有什么关系？（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和.第四章数据的收集、整理与描述一、知识归纳1、收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程2、普查：为了特定目的对全部考察对象进行的全面调查叫做普查被考察的对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察的对象叫做个体。3、抽样调查：从总体中抽取一部分个体的调查估计被考察对象的整体情况，这种调查叫做抽样调查从总体中抽取一部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本容量4、简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相同的被抽到机会的原则抽取样本，这种抽样抽取样本的方法叫做简单随机抽样5、为了更清楚地了解调查结果，需要对数据进行整理，一般可以用表格整理数据，还可以画出条形图或扇形图或折线图来描述数据二、典型例题：例1、（1）下列调查适合用全面调查方式的是（）A某工厂制造一种刻度尺，需要检查一批刻度尺的长度是否合适B某市有2万名学生参加了中考，要了解这些学生的数学成绩C了解本班学生的体重情况 D了解一台冰箱每小时的用电量（2）下列调查中，适宜采用抽样调查的个数是（）调查某种奶粉的质量 检测某城市的空气质量状况调查血型与性格的关系 了解某班学生的视力状况A4B3 C2 D1例2、为了估计一个池塘中有多少条鱼，先捕100条做上标记，然后放回池中，过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有10条，则该池塘中大约有鱼（）A2000条B1000条 C800条 D500条例3、为了考察九年级524名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查，这个问题中的总体是_，个体是_，样本是_，样本容量是_例4、如图反映了某班学生在课外活动中参加各种兴趣小组的情况，在这个统计图中，整个图表示全班学生的人数，从图中可以看出： (1)参加篮球小组的学生占全班人数的_ (2)如果全班有100人，那么没有打乒乓球的有_人例5、如图，是某公司员工爱好的调查数据，