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第四章期权合约的定价,第一节美国期权交易的规定一、主要的期权交易所芝加哥期权交易所CBOE、费城交易所（PHLX）、NYSE（纽约股交所等）。CBOE交易主要的股票期权指数期权及其他期权，而最主要的外汇期权交易所是PHLX。股票期权合约是美式期权合约，每一合约的标的物数量为100股，而S&P500指数期权是欧式期权，每一合约的金额为指数（执行价格）的100倍，可直接利用盯市来现金结算。,二、失效日股票期权的到期时间是到期日第三个星期五之后星期六，因此最后交易日是到期日的第三个星期五。三、股票期权执行价的变动间隔通常的间隔为$2.5，$5，$10。大多数执行价的初始值为10的倍数，如IBM公司的股价为$99.7/8，则期权的执行价取为$95、$100、$105、$110、$115等。而花旗集团的股价为$12，则期权的执行价分别为$10，$12.5，$15，$17.5等。如果股价的波动超过了最高执行价和最低执行价的范围，交易所就会引入新的执行价的期权。,当股票分红股时，执行价也会对应变化，但当股票分现金红利时，期权合约不调整，从而会影响价格。保证金：出售无保护期权时，如果期权是实值的，则初始保证金为期权标的股票价值的30%减去期权的实值部分。如果期权是虚值的？例：某投资者出售4份无保护的Call，期权费为$5，执行价为$40，股价$42，则所要求的保证金为$42100（股）4（份）30%=5040；实值$2400=$800；减去期权费$5400=2000；则为$3840注：有保护的期权出售无保证金要求,第二节股票期权价格的特征,一、影响因素股价S、执行价X、到期期限、波动率、无风险利率、红利对于欧式与美式影响不同。二、期权价格的上、下限1上限。无论是美式还是欧式，看涨期权持有者（买方）的权利就是以执行价获得一股股票，故股票价格是看涨期权的上限2下限。不付红利的欧式看涨期权的下限不付红利的欧式看跌期限的下限,不付红利的美式看涨期权的下限不付红利的美式看跌期权的下限注：由于在一些情况下，投资者迫切地希望提前执行美式看跌期权。因此，美式看跌期权的价值通常高于相应的欧式看跌期权的价值。,三、看涨期权与看跌期权之间平价关系,欧式把上面的组合A与组合C拿出来两组合均是有保护的期权头寸例如某股价$31，执行价$30，r=10%，3个月期的欧式看涨、看涨期权分别为$3与$2.25，则是否有套利机会呢？,例：设股票S=$19，r=10%，对于执行价X=$20的欧式看涨期权为$1.5（不付红利）。到期期限为5个月，则由欧式期权平价关系，可得欧式看跌期权?那么美式put的价格为多少？四、有红利的股票期权一般投资者能够预计某股票在其期权有效期的现金红利（可能在财务报表中或公告中暗示）。现用字母D表示红利的现值。付红利的看涨期权，看跌期权的下限。付红利的欧式callput平价关系上述讨论无需关于股价的变化规律而得到的结果，上述结果大多可以实证分析。,第三节股价行为的假设,一、马式性与弱有效马式性指将来任一特定时刻股价的概率分布仅仅取决于当前的价格。弱有效：过去的信息乃至股价走势是无价值，搜集这些信息不会带来任何收益。二、布朗运动或wiener过程三、常见的股价行为ITO定理,对数正态分布，即取对数后为正态分布,考虑一只股票，价格为$40，预期收益率为每年10%，波动率为每年20%，则6个月后股票价格ST的概率分布?一只股票，当前价格为$20，预期收益率为每年20%，波动率为每年40%，一年后的期望股价,股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未来的价格只需知道现在价格即可，不需要知道股票的历史价格。股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例如考虑$10股价与$100股价的两支股票，其下一期的涨幅显然是不一样的。当前股价越高，以金钱为单位的涨跌幅度越大。股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互独立。,准备知识之Markov性质,随机变量随机过程：一族随机变量。（变量的值以某种不确定的方式随时间变化，如股票价格）随机过程分连续时间和离散时间，一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定时间点上变化。一个连续时间变量随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生。,马尔可夫（Markov,AndreiAndreevich）（18561922）是俄国数学家。马尔可夫研究的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树.马尔可夫共发表论著70多种，其中概率演算、有限差分学堪称经典著作.,马尔可夫为人正直，关心热爱学生，多次抗议沙皇政府和警察对大学生的迫害，为了伸张正义，他不惜放弃教授的职位.例如，针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔可夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权利.”马尔可夫将自己的一生奉献给了数学事业，当有人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说：“数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业.”在数学中以他的姓氏命名的有：马尔可夫准则、马尔可夫策略、马尔可夫正规算法、马尔可夫时、马尔可夫性质、马尔可夫过程、马尔可夫决策过程、马尔可夫链等.他的儿子（小）马尔可夫也是数学家.,Markov过程是随机过程的一种，它满足时间无记忆性（无后效性），是指要对随机过程进行预测，则预测值只与当前值有关，而与变量的历史值无关，并且与变量过去到现在的演变过程无关。股票价格是Markov过程，即股票将来价格只与现在有关，一个星期前，一个月前，或一年前的股价并不影响对股票价格的预测。,为什么股票价格具有马尔科夫性？是因为我们经常假定市场是有效的，也就是说股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了过去的价格记录。市场竞争保证了市场有效性成立。有许多投资者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种情况导致了在任何时刻的股票价格包含了以往价格的信息。,布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物学家布朗发现的。1905年，Einstein给出了布朗运动的热运动方程。从此布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。,金融学中的布朗运动：1900年法国学者Bachelier在其博士论文投机理论中，首次用布朗运动来描述股票的价格变化。这比Einstein的工作还要早五年。但可惜的是，Barchelier的工作直到他去世之后才被发现。,布朗运动也被成为Weiner过程，这是因为数学家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓越的贡献。布朗运动的数学定义布朗运动是满足如下性质的随机过程独立增量性增量服从正态分布路径连续,布朗运动的路径性质处处连续，处处不可微无限变差有限二次变差40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就是，取左端点，求和，取极限。,如下过程称为Ito过程,当参数为常数时为广义Weiner过程。,假定股票价格过程为广义Weiner过程是非常具有诱惑力的，即它具有不变的期望漂移率和方差率，但是，这个模型不能抓住股价的关键特性，即投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。如果投资者在股价为$10时要求预期收益为每年14%，那么他在股价为$50时仍然要求每年14%的收益。,股价期望漂移率是常数的假设是不恰当的，需要假设。通常我们要求，股价的期望漂移率要与股票价格有关。即，假设以股价的比例表示的期望收益为常数。如果股价为S，S的期望漂移率为uS，u为恒定参数。如果股票价格的波动率为0，则这个模型应为dS=uSdt,事实上股票价格总是存在波动率的。合理的假设是无论股票价格如何，短时间后百分比收益率的方差保持不变。假设股票价格比例变化的方差率不变，则股票价格应满足,应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到几何布朗运动的表示：,通过上述讨论，股票价格服从对数正太分布，即取对数之后为正态分布,利用股票价格模型可对无红利情形下，远期合约进行定价：远期合约与股票价格的关系为：,根据Ito定理，F满足的方程为,可以看出F的变化过程仍为一个几何布朗运动，但是其变化期望增长率为u-r,但不是u。,股票价格收益率的分布：记t到T时间内连续复利年利率为由股票价格的对数正态分布性质知：,注：股票价格的期望收益率到底是多少？,上述方程结果表明在时间Tt后的期望连续复利收益率并不是u。这似乎令人奇怪，因为在第三章中，是在任何短时间段后的收益率的期望值。这和较长时间段后的连续复利收益率的期望值有什么不同呢？为理解这两者之间的不同，我们来看一个数值的例子。假设如下某个股票随后5年的年收益率，用年复利计：15，20，30，20，25。,这些收益的算术平均值等于5个值的总和再除以5，结果为14。然而，如果一个投资者将其资金投入该股票长达5年，那么实际上他或她每年的收益将少于14。$100的价值5年后将为：1001.151.201.300.801.25179.40与之不同，年复利为14的收益应该给出：100*1.14=192.54,这个例子说明了一个一般性的结论：几年内收益的平均值并不等于几年内按年复利计算的每年平均收益。假设计算收益的时间长度逐渐缩短，而观察的次数增加，我们可以计算如下两个估计值：1.在很短时间后的预期收益率（可以通过计算许多很短时间间隔的收益的算术平均值得到）。2.在较长时间后的预期连续复利收益率（可以通过在数据覆盖的整个时期上用连续复利计算总收益得到）。,1的估计将大于状况2的估计。我们早些的结果表明事实就是如此。无限短时间的预期收益率为，预期连续复利收益率为,Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本的牛顿-莱布尼兹公式：Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则,第四节BS微分方程与期权定价,一、一个简单的二叉树模型设股票现价为$20，一个月后价格有两种可能，即$22，$18。现考虑一个月期，执行价为$21的看涨期权，则易知到期时的价值为1或0（分别对应$22，$18）,则该期权价格？问题：如果是一份看跌期权的多头又如何定价？注意：这里看涨期权与看跌期权的价值与上涨、下跌的概率无关。,二、BS微分方程与定价公式,BS微分方程这微分方程的解依整于使用的边界条件风险中性定价性质,三、指数期权与货币期权的定价及期货期权的定价,上述BS公式也可应用于指数期权：一般假设股票指数也服从几何布朗运动。货币期权的定价：假设即期汇率S也遵循几何布朗运动期货期权的定价例一投资者拥有一份执行价为每磅70美分的25000磅黄铜九月份期货看涨期权。当前九月份交割的黄铜期货价格为80美分。如果执行该期权，投资者将获利为(8070)0.0125000=$2500而期货多头头寸是零值，因为期货价格与期货执行价一样。,例：考虑一个原油的欧式看跌期货期权。距到期目还有4个月，当前期货价格为$20，而期权的执行价也为$20，无风险利率为每年9%，期货价格的波动率是每年25%，则该看跌期权的价格为多少？欧式期货看涨期权和看跌期权之间的平价关系。例：一份6个月后交割，执行价格为$8.5的欧式白银期货看涨期权的价格为每盎司56美分，而6个月后交割的白银期货价格是$8.0，6个月的无风险利率为年率10%，则C=0.56，F=8，X=8.5，r=0.1，Tt=0.5。可得该种期货看跌期权的价格,第五节保值策略,一、Delta套期保值Delta定义为衍生证券的价格变动对其标的资产价格变化的比率或对标的资产价格变化的敏感。1欧式看涨期权与看跌期权的Delta值2其他欧式期权的Delta值对于支付红利率为q的股票指数的欧式call；对于欧式外汇call；对于欧式期货call,例：某银行出售了一个6个月期按$1.6执行价出售支1,000,000（英磅）的欧式看跌期权。假设英磅兑美元的当前即期汇率为$1.62，英国的无风险利率为年率13%。美国的无风险利率为年率10%，英磅汇率波动率为每年15%（英磅为标的资产），则由欧式外汇看跌期权的计算公式知，该货币看跌期权的Delta值为3有价证券组合的Delta值例：某金融机构有如下三个买卖德国马克的期权的头寸。一个100,000call多头，执行价为0.55，3个月后到期，每份期权的值为0.533一个200,000call空头，执行价为0.56，5个月后到期，每份期权的值为0.468一个50,000put空头，执行价为0.56，2个月后到期，每份期权的值为0.508则整个有价证券组合总的Delta值为,二、Theta与Gamma欧式（无红利）例：考虑一个4个月期的股指看跌期权，指数的现值为305，执行价格是300，红利率是每年3%，无风险年利是8%，指数价格波动率为每年25%。这意味着，当0.01年（或2.5个交易日）过去了，即使指数数值或波动率未发生任何变化，期权的价值也会减少0.1815。三、Delta,Theta和Gamma之间的关系,四、单个股票的风险管理,1牛市中采取的策略买进看涨期权（可以是平价期权，也可以是无利可图或有利可图）。例某公司股票现价是100元，2个月的平价call期权费是4.5元，而2个月虚值期权执行价为110元，期权费为1元，投资者可采取的策略为：直接买进股票；买进平价期权；买进虚值期权。三种策略的奖金量差异很大，回报差别也很大。买进牛市价差，这种期权组合成本会比一般看涨期权的成本低（因为买一个call，又卖一个执行价更高的call，从而节约期权费，但利润受到限制）。,2收益增加策略如果某投资者已经拥有某种股票或准备持有，他可以持股待涨或买但股票有可能下跌而带来损失，故须采取一些办法来增加收益或减少损失。出售所持股票的看涨期权。按比例出售所持有股票的call（思路类似，期权费收入要少一些，但股票上涨后获利更多）出售未持有股票的看跌期权按比例出售看跌期权,3止损策略前面收益增加策略事实上未限制住损失，现实世界中，大多数投资者都希望能止损，下面是三种止损策略买进看跌期权，最简单的止损策略清偿股票并买入看涨期权，卖出股票所得可投资于债券，再以少量奖金购买回等数量的call。买进对冲：这一种期权组合即卖出无利可图的（虚值）的call为买进put进行融资，这样投资者持有股票多头，call的空头，put的多头。,例：某投资者持有1000股E股票，他买进一平介看跌期权，每股100元，期权费3元/股，同时卖出执行价为105元的看涨期权，期权费为2元/股，则可能的三种情形：1）股价105元，则相当于把1000股股票以104元价卖出（卖出105元/股+期权费净值）；2）股价100元，则相当于把1000股股票以99元价卖出（卖出100元/股1元/股）；3）100股价105元时，两期权均不会执行，则继续持有股票，另外损失期权费1000元。,4“向上流动价差”（RollingVpintoASpread）及“向下滚动价差”（RollingDownintoASpread），设E股票现价100元，某投资者认为它还会继续上涨，他就可以买进期限为4个月的无利可图的看涨期权，执行价为110元，期权费为3元，一个月以后，股票果然上涨，已达到110元/股。这时投资者第二个操作是卖出期限为3个月的虚值期权，执行价为120元/股，期权费为3元/股，现在投资者期权费收支相抵，并持有向上滚动而形成的110120元牛市看涨价差期权,如股票走势与投资者预期相反，则投资者可采用向下滚动价差策略例设E股票现价100元，某投资者买了平价看涨期权，期限为4个月，期权费为7元/股，现在可以卖出2个月两份执行价为100元/股的call，期权费为2元/股。同时买进一份执行价为90元/股的call，期权费（假定）为5.5元/股，于是投资者持有向下滚动而形成的90100元的熊市价差期权，投资者为形成这个价差期权结构所付的净期权费为7元+5.5元22元/股即8.5元/股。现在，只要E股票的价格上涨到98.5元/股，则投资者达到盈亏平衡,
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