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概率论与数理统计B一单项选择题（每小题3分，共15分）1设事件A和B的概率为 1 2( ) , ( )2 3P A P B 则 ( )P AB 可能为(D）(A)0; (B)1; (C)0.6; (D)1/62.从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（D）(A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（A ） (A) 518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为 ( ) 3 xxa beF x e ，(a=0,b=1)则F(0)的值为（C）(A)0.1; (B)0.5; (C)0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（C）(A)2.5; (B)3.5; (C)3.8; (D)以上都不对二填空题（每小题3分，共15分） 1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.7, 则 ( )P A B =0.85.（A和B至少有一个发生）2设随机变量 ( , ), ( ) 3, ( ) 1.2B n p E D ，则n=_5_.EX=np=3。DX=np(1-p)=1.2，所以n=5 p=0.63随机变量的期望为 ( ) 5E ，标准差为 ( ) 2 ，则 2( )E =_29 （D(X)=标准差的平方=EX2-(EX）2_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_0.94_.5设连续型随机变量的概率分布密度为 2( ) 2 2af x x x ，a为常数，则P(0)=_3/4_.三(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; p=5/54 (2)恰有一个盒子有2个球. 302415 CC 12572625360)( BP四(本题10分)设随机变量的分布密度为, 0 3( ) 10, x3A xf x x 当当 或(1) 求常数A; (2)求P(1)； (3)求的数学期望.解：（1） 30 4ln1,4ln1)( AAdxxAdxxf -3分（ 2 ） 10 212ln1)1( AdxxAP -6分（3） 3 300( ) ( ) ln(1 )1AxE xf x dx dx A x xx 1 3(3 ln 4) 1ln 4 ln 4 五(本题10分)设二维随机变量(,)的联合分布是 1 =2 4 50 0.05 0.12 0.15 0.071 0.03 0.10 0.08 0.112 0.07 0.01 0.11 0.10(1) 与是否相互独立? (2)求 的分布及 ( )E ；六(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90，其他9盒为20.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 解：由全概率公式及Bayes公式P( 该 种 子 能 发 芽 ) 0.1 0.9+0.9 0.2 0.27-5分P(该种子来自发芽率高的一盒)(0.10.9)/0.271/3-10分七(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 解： 令Ak=在第k次射击时击中目标，A0=4次都未击中目标。于是P(A1)=0.3;P(A2)=0.70.3=0.21;P(A3)=0.720.3=0.147P(A4)= 0.73 0.3=0.1029;P(A0)=0.74=0.2401-6分 在这5种情行下，他的收益分别为90元，80元，70元，60元，-140 元 。-8分因此， 65.26)140(2401.0 601029.070147.08021.0903.0)( E-12分八(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5，某人要采购一批 零件，他希望以95的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注： (1.28) 0.90 , (1.65) 0.95 )解：设他至少应购买n个零件，则n2000，设该批零件中合格零件数服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq)-4分由条件有 2000( 2000) 1 ( ) 0.95npP npq - -8分因 (1.65) 0.95 ，故200 1.65npnpq ，解得n=2123,即 至 少 要 购 买 2123 个 零 件 .-12分 九(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明A B 与C相互独立.证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),P(AB)=P(A)P(B),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P AC BC P AC P BC P ABC -2分( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P C P B P C P A P B P C -4分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B P C P A B P C 故A B 与C相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为_.十测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度 2 ( , )N .估计 10 ，求总体温度真值的0.95的置信区间.(注： (1.96) 0.975 , (1.65) 0.95 ) 概率论与数理统计B答案一1（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二10.85、2.n=5、3. 2( )E =29、4.0.94、5. 3/4三把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果-3分（1）A=4个球全在一个盒子里共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-5分(2)5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有30 2415 CC 种 方 法-7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B=恰有一个盒子有2个球共有43X12=360种等可能结果.故 12572625360)( BP -10分 四解：（1） 30 4ln1,4ln1)( AAdxxAdxxf -3分（ 2 ） 10 212ln1)1( AdxxAP -6分（3） 3 300( ) ( ) ln(1 )1AxE xf x dx dx A x xx 1 3(3 ln 4) 1ln 4 ln 4 -10分 五解：（1）的边缘分布为 29.032.039.0 2 1 0 -2分的边缘分布为 28.034.023.015.0 5 4 2 1 -4分因 )1()0(05.0)1,0( PPP ,故与不相互独立-5分（2） 的分布列为 0 1 2 4 5 8 10P 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10因此， 16.310.01011.0811.05 09.0417.0203.0139.00)( E -10分另解：若与相互独立,则应有P(0,1)P(0)P(1); P(0,2)P(0)P(2);P(1,1)P(1)P(1); P(1,2)P(1)P(2);因此， )1( )0()2,1( )2,0()1,1( )1,0( PPPPPP 但 10.0 12.003.0 05.0 ，故与不相互独立。六解： 七八 九-6分
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