高观点下的初等数学.ppt

1,小学数学教学数学思想方法的渗透,2,德国数学家菲利克斯.克莱因在高观点下的初等数学中指出:“基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题,只有观点高了,事物才能显得更明了更简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、思想方法及其发展与完善的过程及数学教育演化的经过。”,3,数学家张景中先生在感受小学数学思想的力量中指出:“小学生学的数学很初等,很简单。但尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”简言之,我们需要站在更高的视角来审视小学教材,才能把其中的内容及其背后的思想看清,才能进一步完善自身的数学思想方法体系。,4,新课标指出总体目标:“通过义务教育阶段的教学、学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学知识(包括数学事实、数学生活经验)以及基本数学思想方法和必要的应用技能”数学思想方法是新课标要求的教学目标之一。,5,首先,要全面学习掌握各种初等数学思想方法的本体知识。例如,数学思想方法有哪些?各种思想方法的具体涵义是什么?各种思想方法是如何形成与发展的?只有清晰全面掌握初等数学思想方法的本体知识,才能更好地发现和理解小学教材中哪些素材蕴藏着数学思想方法,更好选择“渗透点”。,6,其次,深入钻研全套教材,系统把握教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,一是要明确哪些知识点中可进行什么数学思想方法的渗透;二是这种思想方法可在哪些知识点中渗透;三是怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。这样才能整理出比较清晰的数学思想教学的序列,从而形成自身数学思想方法系统。,7,最后,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标中。数学思想方法的形成也必须经过循序渐进的过程,经过反复训练,才能使学生真正领会到。教师要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,坚持把数学思想方法教学的要求融入备课环节。,8,一、符号化思想,符号思想是指用符号以及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和命题的数学思想。包括字母、数字、图形和各种特定的符号来描述数学内容。符号思想是导致数学脱离其实际内容形成抽象化形式系统的关键思想。当远古时代的人类采用小石头,小木棍或打绳结来表示打猎成果的只数时,就意味着这种抽象的产生;而当他们第一次试图使用记号将猎获物的只数记录下来时,就意味着符号思想的出现。,9,小学数学中存在着大量的可以体现符号化思想的数学内容。如:数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。当学生认识到可以将两个加数的位置交换和相等之后,学生用自己喜欢的方式将这个发现表达出来,于是学生就会想到用来表示加法交换律。,10,五年级，学生开始正式学习用字母表示数，从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，引导他们经历用字母表示数的抽象与概括过程，初步学习并理解用含有字母的式子表示数量关系，体会符号化的简洁与准确，不仅为列方程解决实际问题作好准备，更为进入中学后学习代数等知识打好基础。,11,二、函数思想,1.函数思想函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律(关系)”。小学不要求形式化的认识函数，强调函数思想的渗透。,12,2、教材中函数思想的体现（1）探索规律第一学段要求:发现给定的事物(事物、图形、简单的数列)中隐含的简单规律。第二学段要求:探求给定的事物中隐含的简单规律或变化趋势，同时还要求探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。,13,（2）对运算规律的探索随着数域的扩大，学习了小数乘法的计算，学生第一次遇到了“越乘越小”的情况，学生对乘法运算中的规律有了一个新的认识，即“一个因数不变时，另一个因数大于1时，积大于这个因数;另一个因数小于1，积小于这个因数;另一个数越接近1，积就越接近这个因数”。,14,小学阶段学生在探索规律的过程中可以感受到多种变化：正变化和逆变化1、当一个变量增加时，另一个变量也类似地增加(或减少)。2、当一个变量增加时，另一个变量也类似的比率增加(或减少)。如，圆的半径变化引起周长变化的规律、原数变化引起其倒数变化的规律。3、当一个变量均匀增加时，另一个变量以增加的比率增加。如，正方形的边长变化引起面积变化的规律，圆的半径变化引起面积变化的规律。,15,（3）对“关系”的体验比较典型的是正方形、圆和正方体的相关内容。学生感受到同样是周长20厘米，正方形是唯一确定的，长方形却是多种多样的，主要原因是正方形仅由边长一个因素决定，而长方形要由长、宽两个因素决定。由两个数确定一个数，可以看成是一个二元函数。从三年级学习长、正方形的周长公式开始，学生先后又学习了长、正方形面积公式;平行四边形、三角形、梯形面积公式;长、正方体表面积和体积公式;圆的面积周长公式;圆柱的表面积体积公式;圆锥的体积公式;另外，还掌握了其它一些三个量关系:速度、时间、路程;单价、数量、总价等。这些给了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。,16,3.表格语言函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示。表格的方法在小学数学教材中的地位是十分突出的。首先，表格作为学生发现规律的重要工具出现在运算规律探索、公式的推导、图形的变化规律的探索等内容中。,17,徐利治先生认为，所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。,三、数学模型思想,18,小学阶段，数学模型是数学学习内容中的重要部分。小学生学习数学的过程，实际上就是对一系列数学模型的建立、理解、运用的过程。从现实世界中抽象出数(或形)，进而探讨数(或形)之间的关系，归纳概括出比较稳定和有用的数量关系，用抽象的形式(数、式、形等)表达出来。这个过程中所建立的数、形、数数关系、形形关系、数形关系等均是数学模型的具体表现形式，而这些数学模型又是构建出新的数学模型的基础，使数学知识的深度和广度不断丰富。上述过程可以概括为“问题情境一一建立模型一一解释、应用与拓展”，人教版小学数学教材自始至终采用这种叙述模式渗透数学模型思想。,19,学习数学首先从数开始，而小学生的数感尚未形成或比较肤浅，“数”是小学生学习的第一个数学模型，接下来才学习式(加法和减法)，再后来学习图形、公式、数量关系等，逐步深入。教材从一年级到六年级在“数与代数”、“空间与图形”、“概率与统计”三个领域交互出现、由浅入深地渗透着数学建模思想。其编排特点是:从建立简单模型开始，引出新的模型，用已有模型建立的稍复杂的模型，螺旋上升。下面以“数与代数”为例加以说明。,20,“数与代数”的主要内容有:数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计;计量单位与进率;字母表示数，运算律，方程等。课标的要求是，通过“数与代数”的教学，帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，树立数学模型思想。,21,教材是按以下几条线索编排渗透数学建立思想的(以下括号中的说明为数学模型):1.自然数的认识(建立自然数的概念)一自然数的组成(认识数与数的关系)一加减法运算(数数运算)一比较大小(数的顺序关系)一乘除法运算(数数运算)一四则运算(数数运算)一运算律(关系式)。2.自然数的除法(数数运算)一分数的认识(建立分数的概念)一比较大小(数数关系)一比一与比例(新的概念)一分数的通分(比的性质的应用)一分数的运算(自然数运算关系的推广)。,22,3.计量单位的进率关系(进率关系)一小数的认识(建立小数的概念)一比较大小(数数关系)一小数的运算(自然数运算关系的推广)一百分数的认识(建立百分数的概念)一分数、小数、百分数的互化(数数关系)4.文字归纳的运算律(运算律的含义)一字母表示数(代数模型)一运算律的字母表达式(代数式)一等量关系(等量关系模型)一方程的认识(建立方程概念)一解方程(运算方法)一正、反比例(比例与方程建立新的模型),23,四、数形结合思想,1、数形结合思想的涵义。数形结合就是根据数量与图形之间的关系,借助“形”的直观来表达数量关系,运用“数”来刻画、研究形,把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑,通过“以形助数”或“以数解形”使抽象思维与形象思维结合起来,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到解决问题的目的。根据知识的特点和小学生的思维发展水平,我们主要通过线段图、长方形面积图、树形图等,把一定的数量关系形象直观地表达出来,帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系,以形助数来化隐为显、化难为易。,24,2、数形结合思想在小学数学中的体现。我们常用画线段图的方法来解答应用题,这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们引导学生画线段图帮助理解题意,研究数量之间的关系。通过正比例图像的教学,让学生体会正比例关系的图像是一条直线,同时,利用图像根据其中一个量的值估计另一个量的值,既将抽象的数学概念、数量关系直观化和形象化,又借助形象的图像来理解抽象的正比例关系问题,努力使学生抽象思维和形象思维的发展结合起来我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等,这些都体现了数形结合的思想。,25,五、极限思想,1、极限思想极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限思想为建立微积分学提供了严格的理论基础，为数学的发展提供了有力的思想武器。,26,2、教材中的极限思想：说不完的数：在“自然数”“奇数”“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，一个数的倍数个数是无限的；在循环小数这一部分内容中，循环节部分的数字不断重复出现，也是写不完的，是无限的；学习了小数的性质、分数的基本性质及比的基本性质等内容后，让学生知道了：和0.5相等的小数有无数个，大于25小于45的分数有无数个等等。一系列的数概念教学中，我们有必要让学生初步感知无限。,想不尽的长：小学数学的很多知识点具有无限性如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的，要让学生看到它们可以“无限延长”，让学生在有限的空间里去感知“无限”的含义，成了教学中的一个难点。,27,画不完的线几何图形抽象，无限思想更抽象。如何让学生感知无限，体验无限，理解无限？实践证明：让学生动手按要求画一画，学生的思维有了实践操作的支撑、凭借，能通过想象得以接受。并在画不完的矛盾冲突中进一步感悟它的无限思想。如在学习圆的认识这课，教师为了让学生体验圆的半径、直径有无数条，在学生知道了半径、直径的含义后，就组织学生开展画半径、画直径比赛。同学们边画边思考，接着在学生交流条数的过程中，通过思维的碰撞，得出“画不完”的结论。让学生在想象线越来越细时，条数越来越多，多到数不清，很好地渗透了“极限”思想。,28,六、集合思想,1、集合思想的简单介绍集合思想创建者是德国数学家G康托尔于1874年提出的，我国在1978年以后编的小学数学教材中也渗透了集合思想。在数学中，集合是一个原始的概念，这如同几何学中的“点”、“线”一样，不能用别的概念加以定义。集合一般的描述是：在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素。例如：一个班级的学生组成一个集合其中该班级中的每个学生是该集合的一个元素；直线上所有的点构成一个集合，其中的每个点是该集合的一个元素；所有自然数组成的集合一般用N表示。一个集合可以通过列举其元素a,b,c来表示，并记为a,b,c,29,2、教材中的集合思想在小学数学教学中，往往不直接出现集合的概念、名称、符号和运算，而是结合数学基础知识内容，采用直观手段，利用形式多样、生动活泼的集合图画来渗透集合的思想。如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念，让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。教师应首先感知到这些内容中存在集合的思想，在适当的时候有意点拨，让集合思想在小学生的头脑中逐渐扎根。,30,交集交集的概念渗透在求最大公约数间题中尤为直观，如讲12的约数，18的约数，12和18的公约数，12和18的最大公约数，这几个概念，用集合的观点来讲就更清楚，更形象。,31,子集的运用正方形、长方形、平行四边形及四边形之间的关系，是一串包含关系，可用韦恩图表示这种关系(如图4)。这种直观的表示方法便于学生加深理解，同时渗透了子集、真子集的含义.,32,七、化归思想,在解决各类数学问题时，化归思想是一种普遍适用的思想方法。假设一个数学问题甲，我们一下不能直接求解，于是将甲问题化为乙问题，通过求解乙问题来达到解决甲问题的目的，这就是化归思想的基本思路。化归思想的熟悉化，简单化和和谐化原则在数学解题中具有思维导向作用。,33,学生学习平行四边形面积的计算公式时，教材中就引导学生将平行四边形转化成学生已经学过的长方形，从而推导出平行四边形的面积积计算公式。这种转化的方法，还运用在推导三角形、梯形的面积计算公式中。在学习计算方法时也多处运用了这种数学思想方法，如学生在学习小数乘除法时，就要将小数乘除法转化成整数的乘除法之后再进行计算。,34,八、统计的思想,统计与概率是研究随机现象的数学规律的科学，是数理统计的理论依据，它的指导思想就是随机思想或概率和统计的思想。随机现象是一种客观现象，随机事件在自然界和人类社会中广泛存在。例如，投掷一枚硬币，可能出现正面朝上或反面朝上;在相同的工艺条件下生产一批零件，它们的尺寸总有不同的误差。随机现象的发生都具有偶然性，但人们通过研究发现，在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对一象的整体特征，这就是统计的思想和方法。,35,例如，三年级求平均数就是是一种的统计方法，四年级、五年级的统计图、统计表就体现出数据处理的统计思想方法，再比如摸球的游戏，以及设计公平的游戏规则，可能性的大小等都是概率与统计思想在小学教材中的体现。,36,数学思想方法渗透教学的建议,小学数学的教学内容贯穿着两条主线。一是数学基础知识和基本技能,这是一条明线,直接用文字、图形的形式写在教材里,反映着知识间的纵向联系;二是数学思想方法和思维能力,这是条暗线,反映着知识间的横向联系,隐含在基础知识和基本技能形成的过程中。数学思想方法是数学的灵魂,又是促进学习迁移的内部主要条件,决定了课堂教学既要教学数学知识,更要渗透数学思想方法。,37,从儿童思维的特点来看,小学生的思维是以具体形象思维为主,并逐步向抽象逻辑思维过渡。这时学生的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的,需要直观手段的支持。因此,小学阶段对于数学思想方法的要求规定是“渗透”而不是“诊释”。在教学过程中渗透,就是要求教师密切关注学生的形象思维能力,把握渗透的可行性,渗透的时机及技巧,提高渗透的水平,在探索知识的发生与形成过程中渗透,在解题思路的探索过程中渗透,在解决实际问题的过程中渗透,在常态化的小结反思中渗透。这样才能不加重学生负担,而又能提高学生学习数学的能力。,