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1,第一篇复变函数论,复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科学最和谐的理论之一。,复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用，而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题。,由于复变函数是定义在复数集上的，为此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念。,2,一.复变函数的内容：、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；、解除了实数领域中若干禁令：,实函,复函,不存在,不存在,3,复变函数的内容：、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；、解除了实数领域中若干禁令：,、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系,shx为双曲正弦,chx为双曲余弦,4,二.复变函数的应用：,1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、复变函数法；,2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、行波法；,3、计算实积分，如：留数定理。,5,1.1复数与复数运算,一.复数的基本概念,虚数单位,复数,实部、虚部,纯虚数,两个复数相等,实部和虚部分别相等,第一章复变函数,代数式,复数平面实轴虚轴,复数还可以用复平面上的矢量来表示！,复数不能比较大小！,6,复数的三角表示式：,复数的指数表示式：,r称为z的模：,z的辐角：,辐角没有意义.,结论,欧拉公式,7,设,共轭复数,定义,8,二.无限远点,N为北极，,S为南极,除去北极N，球面上的点与复平面内,的点一一对应.,除去北极N，球面上的点与,复数一一对应.这种对应叫做,即,因当z点无限地远离原点时,或者说，当复数z的模无限地变大时，,点P就无限地接近于N.,所以，规定：,复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应.,相应地，规定：,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点N相对应.,记为,测地投影，球叫做复数球,9,三.复数的运算,和差,积,交换律结合律,交换律、结合律、分配律,商,除法是乘法的逆运算,10,有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：,辐角不能唯一确定，可以相差的整数倍,11,定义,棣莫弗(DeMoivre)公式：,12,下面求出w,由棣莫弗公式得：,13,14,解:,15,(在第三象限),解:,三角式:,指数式:,16,例4,解,17,|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2,解：,例5：求下列方程所表示的曲线,(1)|z+i|=2(2)|z-2i|=|z+2|(3)Im(i+=4,（1）|z+i|=2,即是,表示圆心在（0，-1）半径2的圆,表示点2i和到-2两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线,（2）|z-2i|=|z+2|,18,(3)、Im(i+,所以1-y=4,是y=-3的直线,19,若z不在负实轴和原点上，则,复数的加减与向量的加减一致,20,扩充复平面：,复平面（有限复平面）：,包含无穷远点在内的复平面,不包含无穷远点在内的复平面,复数：,实部、虚部、模、辐角的概念均无意义,规定：,如无特殊说明，所谓“平面”一般仍指有限平面，所谓“点”仍指有限平面上的点.,不规定其意义,仍不确定,
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