概率论与数理统计3.3条件分布.ppt

1,3.3条件分布,条件分布律,条件分布函数,条件概率密度,2,一、离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为：,PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,.,对于固定的j,若PY=yj0,则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,由条件概率公式,3,条件分布律的特性,10PX=xi|Y=yj0；,同样地,对于固定的i,若PX=xi0,则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,即条件分布律是分布律。,4,例1一射手进行射击，击中目标的概率为p，射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。,解：,Y的可能取值是2,3,4,;X的取值是1,2,3,4,n=2,3,4,;m=1,2,3,n-1,5,例2,求:1）在发车时有n个乘客的条件下,中途有m个人下车的概率；,2）二维随机变量（X,Y)的概率分布。,解,中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,设某班车起点站上车人数X服从参数为,的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且,2)X和Y的联合分布率,6,二、条件分布函数,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于,因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。,7,定义给定y，设对于任意固定的正数，,存在，,Py-0,若对于任意实数x，极限,则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，,写成PXx|Y=y，或记为FX|Y(x|y).,8,9,称为在条件Y=y下X的条件分布函数.,称为随机变量X在条件Y=y下条件密度函数.,称为随机变量Y在条件X=x下条件密度函数.,10,三.条件密度函数的性质,性质1对于任意的x,均有,性质2,换言之,对于条件密度函数也有类似的性质,11,例,解,12,13,14,例,设二维随机变量(X,Y)服从正态分布,即有,则(X,Y)的联合密度函数为,而随机变量Y的边缘密度函数为,15,结论二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即,16,例设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当0x1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1)上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.,解,随机变量X的密度函数为,当0x1时,随机变量Y在X=x的条件下条件密,度函数为,17,得,所以,由公式,所以,当0y1时,所以,随机变量Y的密度函数为,