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1,问题：已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y),求：Z的密度函数,方法：从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件建立一个新的二维随机变量(Z,X)或(Z,Y),求其边缘分布得Z的密度函数,3.4二维随机变量函数的分布,2,正态随机变量的情形,若X,Y相互独立,则,则,和的分布：Z=X+Y,3,另一种计算fZ(z)的方法:,先构造一个新的二维随机变量(Z,U),它们是(X,Y)的函数，而Z=aX+bY+c或（X,Y）的其他函数,求(Z,U)的联合密度函数f(z,u),求边缘密度fZ(z),4,h,s有连续的偏导数，记,则,已知(X,Y)的联合密度fXY(x,y),求(Z,U)的联合密度函数fZU(z,u)的方法：,5,利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度,例：商的分布：Z=X/Y,6,例4已知(X,Y)的联合分布函数为,求Z=X/Y的概率密度函数,解,7,8,但是,当反函数不唯一时,或不易求时，仍需用分布函数法,(3)平方和的分布：Z=X2+Y2,设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则,9,例如，XN(0,1),YN(0,1),X,Y相互独立，Z=X2+Y2,则,称为自由度为2的2分布,10,它的概率密度函数为,其中,称为函数,11,自由度为5的2分布的密度函数图形,12,自由度分别为1,2,5,8,10的2分布的密度函数图形,13,(4)极值分布：即极大值，极小值的分布,对于离散型随机变量的极值分布可直接计算,重点：相互独立的随机变量的极值分布,14,例5X,Y相互独立,X,Y参数为0.5的0-1分布,求M=maxX,Y的概率分布,解,对于连续型随机变量，设X,Y,XFX(x),YFY(y),M=maxX,Y,N=minX,Y,求M,N的分布函数.,特别地X,Y相互独立时,16,17,特别地X,Y相互独立时,18,推广至相互独立的n个随机变量的情形：,则,19,例6设系统L由相互独立的n个元件组成，连接方式为,串联；并联；冷贮备(起初由一个元件工作，其它n1个元件做冷贮备，当工作元件失效时，贮备的元件逐个地自动替换)；(4)L为n个取k个的表决系统(即n个元件中有k个或k个以上的元件正常工作时，系统L才正常工作),20,求在以上4种组成方式下，系统L的寿命X的密度函数.,解,21,(1),22,(2),23,(3),n=2时，,24,可以证明，X1+X2与X3也相互独立，故,25,归纳地可以证明，,26,(4),27,前n-1项和第n项,改变下标j+1mj,28,29,第五章随机变量的数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；,例如：,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,30,考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写,31,32,5.1随机变量的数学期望,加权平均,3:3:42:3:52:2:6,73.770.066.8,73.270.167.8,甲乙乙,引例1甲乙两学生参加数学竞赛,观察其胜负,33,引例2测量50个圆柱形零件直径（见下表）,则这50个零件的平均直径为,34,换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件，它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为,则这50个零件的平均直径为,称之为这5个数字的加权平均，数学期望的概念源于此,35,定义1设X为离散型随机变量，其概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记作E(X),36,定义2设X为连续型随机变量,其密度函数为,若广义积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望记作E(X),随机变量的数学期望的本质加权平均，它是一个数不再是随机变量,37,作业,习题四20，24，28，31,
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