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3.4基本不等式,2002年国际数学家大会会标,创设情境、体会感知：,三国时期吴国数学家赵爽,一、新课引入,A,D,C,B,H,G,F,E,“风车”中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？,探究,问：那么它们有相等的情况吗？,证明推导1：,问：何时相等？,探究2,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立,当a,b为任意实数时，还成立吗？,形,数,此不等式称为重要不等式,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:,3.几何意义：半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?,基本不等式,探究3,基本不等式：,当且仅当a=b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：,注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。,（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。,例1用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?,三、应用,解:(1)设矩形菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为.,由,(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,已知a,b都是正数，（1）若ab是定值P,则当a=b时,a+b有最小值；（2）若a+b是定值S,则当a=b时,ab有最大值；,利用基本不等式求最值,（均值不等式定理）,积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。,积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。,注意：一正二定三相等！,1、本节课主要内容？,你会了吗？,五、小结,2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。,构造条件,三、应用,例1、若,求的最小值.,变3:若,求的最小值.,变2:若,求的最小值.,发现运算结构，应用不等式,问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？,变1:若求的最小值,三、应用,例2、已知,求函数的最大值.,变式:已知,求函数的最大值.,发现运算结构，应用不等式,应用要点：一正数二定值三相等,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,结论2：两个正数和为定值，则积有最大值,3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？,四、巩固,大,9,3,3,小,证明:要证,只要证,(),要证，只要证,(),要证，只要证（),证明:当时,.,探究,作业,课本P100习题3.4A组第1,2题,再见!,o,a,b,A,B,P,Q,1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=_,半径AO=_,几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,2.PQ与AO的大小关系怎样?,
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