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. 第五章 定积分 教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, , DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i-1t i t i), 以t i时刻的速度v(t i)来代替t i-1, t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 当l0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 xn-1xn =b把区间a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 (i=1, 2, , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 . (3)记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲边梯形面积的精确值为 . 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个小时间段: t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值为 . (3)记l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精确值为 . 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x i xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1b时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 . 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式 成立. 例如, 当abc时, 由于 , 于是有 . 性质4 如果在区间a b上f (x)1 则 . 性质5 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 (ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x) g(x) 则 (ab). 这是因为g (x)-f (x)0, 从而 , 所以 . 推论2 (ab). 这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 (ab). 证明 因为 m f (x) M , 所以 , 从而 . 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x , 使下式成立: . 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以b-a 得 ,再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点x , 使 ,于是两端乘以b-a得中值公式 . 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论ab, 积分中值公式都成立. 5. 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为 及,即 . 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分 称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)在a, b上具有导数, 并且它的导数为 F(x)(ax0, 则同理可证F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 证明函数在(0, +)内为单调增加函数. 证明: , . 故.按假设, 当0t0, (x-t)f (t) 0 , 所以, , 从而F (x)0 (x0), 这就证明了F (x) 在(0, +)内为单调增加函数. 例7. 求. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, . 提示: 设, 则. . 5. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j(t)在区间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 计算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 或 . 例3 计算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 计算. 解 . 提示: , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 . 证明 因为,而 , 所以 . 讨论: 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则 . (2)令x=p-t, 则 , 所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-2=t, 则 . 提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2. 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程: . 例1 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则 . 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时, ; (2)当n为大于1的正奇数时, . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 设(n为正整数), 证明 , . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特别地 , .因此 , . 5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f(x)在区间a, +)上连续, 取ba . 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-, b 上连续, 如果极限(a0). 解 . 提示: . 例3 讨论反常积分(a0)的敛散性. 解 当p=1时, . 当p1时, . 因此, 当p1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b上的反常积分, 仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在a, b)上的反常积分, 仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 设函数f(x)在区间a, b上除点c(acb)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个反常积分与都收敛, 则定义. 否则, 就称反常积分发散. 瑕点: 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f(x)在a, b)(b为瑕点)上的反常积分定义为. 函数f(x)在a, c)(c, b (c为瑕点)上的反常积分定义为 . 反常积分的计算: 如果F(x)为f(x)的原函数, 则有 .可采用如下简记形式: . 类似地, 有 , 当a为瑕点时,; 当b为瑕点时,. 当c (ac1时, . 当q1时, . 因此, 当q1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当q1时, 此反常积分发散. .
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