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书书书 !#$%! #由 在同一直线上 ! ! 经验证 $当 2 为正整数时 ! 2 424! 的值一 定是质数 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! ! )! 不 一 定 ! 如 图 ! &+1&% ! %&1%& ! 1 !很明显这两个三角形不全等 ! (! 小莹的结论错误 ! 当 41) ! 51 ! 815! 时 ! 左边 1 4 548槡 # 1 ) 5!槡 # 1 ! 右边 1槡454槡48 槡 槡1.4 5) ! 因为左边 - 右边 !所以小莹的结论错误 ! 什么是几何证明 巩固训练 !6-!6-!6-!)6, (! ! # &! # (+ # (&! ) # %+( +! ! #如果两个角相等 !那么这两个角是同角 或等角的补角 ! 假命题 ! #一个三角形中 ! 如果有两个角是锐角 !那么第三个角一定是 钝角 ! 假命题 ! %! 已知 $ %1&+ ! &+ ( % 分别是边 % ( & 边上的中线 ! 求证 $ %1&+! .! 解 $ ! #命题 ! $如果 ! !那么 # )命题 $如 果 !# !那么 ! #命题 ! 的证明 $ 因为 !&+( !所以 1+! 因为 %1&+ !所以 %4%&1&+4%& ! 即 &1+%! 在 #& 和 #+(% 中 ! 因为 1( ! 1+ ! &1+% ! 所以 #&$#+(% 007 # ! 所以 &1%(# 全等三角形对应边相等 # ! 平行线的性质定理和判定定理 巩固训练 一 ( !6-!6-!6-!)6-!(6- 二 ( ! ! # %&+! 同位角相等 !两直线平行 ! # &! 同位角相等 !两直线平行 # !4!5! 同位角相等 !两直线平行 !.*&! 已知 ! 同角的补角相等 ! 同 位角相等 !两直线平行 !+!%&!%!+&!)!*(& (! +!&%! 两直线平行 !同位角相等 ! 已 知 !&%! 同位角相等 !两直线平行 %! 略 .!(& 三 ( ! ! #因 为 41!.* ! 4+1 !.* !所以 1+ !所以 %&+ 同位角 相等 !两直线平行 # ! #因为 !1 ! 1) !所以 !1 ) !所以 +&%& 同位角相等 !两直线平 行 # ! ! 证明 $把 的对顶角注为 (! 因为 1( 对顶角相等 #! !41!.*& 已知 #! 所以 (4!1!.*& 等量代换 # ! 所以 4&5 同旁内角互补 !两直线平行 # ! 所以 1) 两直线平行 !同位角相等 # ! !%&+! 同旁内角互补 !两直线平行 ! )! 解 $因为在平行四边形 %&+ 中 !过点 & 的直线 &% ! 所以 1$*& !因为 +1(& ! 所以 (1$*&5(&1%& ! 所以 +(&1%&! 因为四边形 %&+ 是平行四边形 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! ! 所以 +&%& ! 所以 %&1+(&1%&! (! ! # %&+! # &! +! 因 为 %&+ !所 以 $%1#+ 两直线平行 !同位角相等 # ! 因 为 $) ( #* 分 别 平 分 $% 和 #+ ! 所以 !1 ! $% ! 1 ! #+ ! 所以 !1 ! 所以 $)&#* 同 位 角 相 等 !两 直 线 平 行 # ! %!(&+! .! ! 1!(&! $! ! # +&% !# &1)*&! !*! 因为 +&% !所以 +(1%(+! 因为 +(& !所 以 %(+1 !所 以 +(1! 拓展提升 !)$%*$ ! 解 $ ! #不成立 !结论是 %,+1%4+! 延长 %, 交 &+ 于点 ! 因为 %&+ !所以 %1%+! 又 %,+1%+4+ ! 所以 %,+1%4+! 三角形内角和定理 巩固训练 一 ( !6,!6/!6,!)6-!(6/!+6-!%6- .60 二 ( !#%(&!%*&!#(*&!*& )#!*&!(#(*&!+#+&!%#(!& 三 ( !#(*&!#)(& ! 因 为 &+ 是 角 平 分 线 !所 以 &+1 +&! 因为 %&+& ! 所以 %&+&! 因为 +&+% ! 所以 %&+%! )! 因为 %+ ( & 是 % ( & 的平分线 !所以 .%&1 ! %& ! .&%1 ! &% 因为 .%&4.&%41!.*& ! 4%&4&%1!.*& !所以 %.&1 $*&4 ! ! (! 因为三角形的外角 +& 和 &( 的平分 线交于点 ! 所 以 &1 ! +& ! & 1 ! &( ) 又因为 %1)%& ! %4%&4%&1 !.*& 三角形内角和定理 #! 所以 ! +&4 ! &(1 ! %4 &% # 4 ! %4%& # 1 ! %4 %4%&4%& # 1 %& ! 所 以 &1!.*&5 ! +&4 ! &( # 1+!(&! 拓展提升 要分类讨论 $ %& 为底边 ! $*& )若 %& 为腰 !顶角 为锐角时为 %(& !顶角为直角时不合题意 !顶角 为钝角时为 !(&! 几何证明举例 巩固训练 一 ( !6/!6,!6,!)6/!(6-!+60!%6- .6/!$6-!*60 二 ( ! 底边上的高线 ! 底边的中点 ! 三条 #*&!*& !+1% 或 %1& 或 % * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 #! & 或 %+.1&.! )!%&1%1&1 (!(!+!)*&!* %!%+1%& 或 %1%& 或 &% 1+% .#!) 三 ( !#!( ! ( ! (! ! 解法一 $添加条件 $ 1(! 证明 $在 #+ 与 #(+ 中 ! 因为 1( ! +1(+ ! +1 + ! 所以 #+$#(+ 707 # ! 解法二 $添加条件 $ +1(+ ! 证明 $在 #+ 与 #(+ ! 因为 +1(+ ! +1+ ! + 1(+ ! 所以 #+$#(+ 070 # ! ! 因为 #%& 是等边三角形 ! 所以 1%1&1+*&! 又因为 +&%& !所以 +1%1+*& ! +1&1+*& ! 所以 1+1+1+*& !所 以 #+ 是等边三角形 )! 因为 %1+ ! &%1&+ ! & 为公共边 ! 所 以 #%&$ #&+ !所 以 %&1 &+ !所以 & 平分 %+! (! 略 +! 因为 + 平分 %& ! 所以 %+1&+ ! 又因为 %1& ! +1+ ! 所以 #%+$#&+ 707 # ! 因为 %+1&+ !所以 +%&1+&%! %! ! #在 #.% 和 #&.+ 中 ! 因为 %1& ! .%1+.& ! %1 +& ! 所以 #.%$#&.+ 007 # #因为 #.%$#&.+ !所以 .1+. ! 因为 是 + 的中点 !所以 .%+ ! 所以 .1$*&! 思维热身 !6-!6,!6-!)6/!(6-!+6/!%6- .60!$6,!*6/ !#.&!$!%&1*!)#%*& !(! 在 #%& 和 #+& 中 !若 %1+ ! %&1+& !求证 %&1+&! !+! 相等 !%#!(&!.#+*& !$! 证明 $因为 $+% ! 所以 $+1&1$*&! 所以 $&%& !所以 %1$+! 在 #%& 与 #$+ 中 !因 为 % 1 $+ ! &1+$ ! +$1+&! 所以 #%&$#$+ 007 # ! *! ! # #因为 + 是角平分线 ! +% ! +(% & ! 所以 +1+( ! 因为 %1& ! 所以 %+1+&! 在 BC#%+ 和 BC#&(+ 三角形中 ! +1+( ! %+1+& ! 所以 BC#%+$BC#&(+ ! 所以 %1&(! !*23 ! 会 !因为 )&%& !所以 &%1&) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! $! )&+1)&! 又因为 &%1& ! )&+1)& ! 所以 (1(& ! (&1(+ !所以 (1(+! 思维冲浪 一 ( !6-!6-!6-!)6-!(6- 二 ( +#( ! (!%#*&!.#(& $!% 的中点处 !*#( 三 ( ! 因 为 %(1 +(* ! $ 平 分 %( ! (# 平分 +(* !所以 $(1 #( !所以 (#&$! ! ! # %.1+&. ! .%1.&! #因为 .%1.& !所以 .%&1.&%! 又 %.1+&. !所以 .%&4%. 1.&%4+&. !即 %&1&% ! 所以 %1&! ! 作 )%. 于 ( ! 因为 (&.% ! 所以 .(1&.1!(&! 因为 .1!(& ! 所以 ()1!(&4!(&1*&! 因为 )1&1! !所以 (19!1! !)#+& !(! 此题可以分成三种情况 $ 情况一 $题设 $ !# )结论 $ %! 可以利用 707 证明 #%&$#+(! 情况二 $题设 $ !#% )结论 $ ! 可以利用 007 证明 #%&$#+(! 在 #%& 和 #+( 中 !因 为 %1+ ! %1 ! !1 ! 所以 #%&$#+( 007 # ! 所以 %&1( !所以 %&5(&1(5(& ! 即 %(1&! 情况三 $题设 $ #% )结论 $ ! 可以利用 070 证明 #%&$#+( !再根据全等三 角形的性质可推出结论 $ 因为 %(1& !所以 %(4&(1&4&( ! 即 %&1(! 在 #%& 和 #+( 中 !因为 %1 ! %&1( ! !1 ! 所以 #%&$#+( 070 # ! 所以 %1+! 检测站 !6/!60!6/!)6,!(60!+6/ %6/!.6-!$6- !*!%!&+! 同旁内角互补 !那么这两条直线 平行 !&! 两条直线平行 !内错角相等 ! 等式性质 ! 两个角是另两个相等角的补角 ! 这两个角 相等 ! 几个角是直角 ! 这些角都相等 !%& !)!(&!%(& !(!(&!(& !+!*&!%!.*& !.!)$&!.& !$! ! #假命题 ! 如两条直线平行 !内错角相等 ! #假命题 ! 如 41 ! 51! #假命题 ! 如 41( 和 51*! *!&%1!*& ! %1)&! ! 因为 %+1*& ! 1+(& ! 所以 %+&1%+41$(& ! 所以 %&1%+&4+&1$(&4*& 1!(&! !+%&! 因为 %1%& ! %+1+& ! +1+ ! 所以 #%+$#&+ 777 # ! 所以 +%1+& ! 因为 +%4+&1!.*& ! 所以 +%1+&1$*& ! 所以 +%& * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! %! !%&1+ 或 %+1&! 因为 %&1&+ ! 所以 %&4&+1+4&+ ! 所以 %+1& ! 因为 %1 ! %+1& ! +1& ( ) ! 所以 #%+$#& 707 #! 所以 &1%+! )!&1& 且 &%&! 因为 %+ ! +%+ ! 所以 %1+1$*& ! 因为 %1&+ ! %1+ ! %&1+ ( ) ! 所以 #%&$#&+ 707 # ! 所以 &1& ! 1&+ ! &%1 ! 因为 4&%1$*& ! 所以 &%4&+1$*& ! 所以 &1$*& !所以 &%&! (! ! # 4&+4+1+*&! 过 & 点作 &(&%! 因为 &(&% ! 所以 4&(1!.*& ! 因为 &(&% ! %&+ ! 所以 &(&+! 所以 +4(&+1!.*& ! 所以 4&(4(&+4+1!.*& 4!.*&1+*& ! 所以 4&+4+1+*&! #不符合 ! 应为 &14+ ! 作 &)&%! 因为 +&% ! 所以 &)&+ !所以 +1)&+! 因为 &)&% !所以 1&)! 所以 )&+4&)14+ !所 以 &+14+ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! &!
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