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高等数学上（复大版）习题六 99 习题六1.指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： ;2(1) 2, 5xy yy x = = 解：由得代入方程得25y x= 10y x = 2 210 25 10 x x x x = = 故是方程的解. ;(2) 0, 3sin 4cosy y y x x + = = 解：3cos 4sin ; 3sin 4cosy x x y x x = + = + 代入方程得.3sin 4cos 3sin 4cos 0 x x x x + + = 故是方程的解. ; 2(3) 2 0, exy y y y x + = = 解：2 2 22e e (2 )e, (2 4 )ex x x xy x x x x y x x = + = + = + + 代入方程得.2e 0 x 故不是方程的解. 1 21 2 1 2 1 2(4) ( ) 0, e e .x xy y y y C C + + = = + 解：1 2 1 22 21 1 2 2 1 1 2 2e e , e ex x x xy C C y C C = + = + 代入方程得 1 2 1 2 1 22 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2e e ( )( e e ) ( e e ) 0.x x x x x xC C C C C C + + + + + = 故是方程的解.3.在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 2 2(1)( 2) 2 , ;x yy x y x xy y C = + = 证：方程两端对x求导：2 2x xy y C + = 2 2 0 x y xy yy + = 得2 2x yy x y = 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)( ) 2 0, ln( ).xy xy xy yy y y xy + + = = 高等数学上（复大版）习题六 10 证：方程两端对x求导：ln( )y xy= (*)1 1y yx y = + 得.( 1)yy xy = (*)式两端对x再求导得 2 2 21 1( 1)1yy x x yy += 将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.,y y 4.从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 2 2 0(1) , 5;xx y C y= = = 解：当时，y=5.故C=-250 x=故所求曲线为： 2 2 25y x = 21 2 0 0(2) ( )e , 0, 1.x x xy C Cx y y= = + = = 解：22 1 2( 2 2 )exy C C Cx = + + 当x=0时，y=0故有.1 0C= 又当x=0时，.故有.1y = 2 1C= 故所求曲线为：.2exy x=5.求下列各微分方程的通解： ;(1) ln 0 xy y y = 解：分离变量,得d 1dlny xy y x= 积分得1 1dln dln y xy x= lnln ln lny x c= + lny cx= 得.ecxy= 高等数学上（复大版）习题六 101 1(2) ;1 yy x = 解：分离变量，得d d1 1y xy x= 积分得d d1 1y xy x= 得通解：21 21 .y x c = + ;(3)(e e)d (e e)d 0 x y x x y yx y+ + + + = 解：分离变量，得e ed d1 e 1 ey yy xy x= + 积分得ln(e 1) ln(e 1) lny x c = + 得通解为.(e 1)(e 1)x y c+ = ;(4)cos sin d sin cos d 0 x yx x yy+ = 解：分离变量，得cos cosd d 0sin sinx yx yx y+ = 积分得lnsin lnsin lny x c+ = 得通解为sin sin .y x c = ;(5)y xy = 解：分离变量，得d dy xxy = 积分得2 11ln 2y x c= + 得通解为2 112e ( e )x cy c c= = ;(6)2 1 0 x y+ = 解：2 1y x = 积分得( 2 1)dy x x= 得通解为.2y x x c= + 高等数学上（复大版）习题六 102 ;3 2(7)4 2 3 0 x x yy+ = 解：分离变量，得2 33 d (4 2)dy y x x x= + 积分得3 4 2y x x c= + +即为通解. .(8) ex yy + = 解：分离变量，得e d edy xy x = 积分得e d edy xy x = 得通解为：.e ey x c = +6.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： ;2 0(1) e , 0 x y xy y = = = 解：分离变量，得2ed e dy xy x= 积分得.21e e2y x c= + 以代入上式得0, 0 x y= = 12c= 故方程特解为.21e (e 1)2y x= + .2(2)sin ln , exy x y y y= = = 解：分离变量，得d dln siny xy y x= 积分得tan2e xcy = 将代入上式得, e2x y= = 1c= 故所求特解为.tan2e xy=7.求下列齐次方程的通解： ;2 2(1) 0 xy y y x = 解：2d 1dy y yx x x = + 令d dd dy y uu u xx x x= = + 高等数学上（复大版）习题六 103 原方程变为2d d1u xxu = 两端积分得2ln( 1) ln lnu u x c+ = + 2 211u u cxy y cxx x+ = + = 即通解为：2 2 2y y x cx+ = ;d(2) lndy yx yx x= 解：d lndy y yx x x= 令，则yu x= d dd dy uu xx x= + 原方程变为d d(ln 1)u xu u x= 积分得ln(ln 1) ln lnu x c = + ln 1ln 1u cxy cx x = = 即方程通解为1ecxy x += 2 2(3)( )d d 0 x y x xyx+ = 解： 22 2 1d d yy x y x yx xy x + + = = 令，则yu x= d dd dy uu xx x= + 原方程变为2d 1du uu x x u+ = 即d 1 d, ddu xx uux u x= = 积分得2 11 ln ln2u x c= + 2 12 2ln 2lny x cx = + 高等数学上（复大版）习题六 104 故方程通解为2 2 2 21ln( ) ( )y x cx c c= = ;3 3 2(4)( )d 3 d 0 x y x xy y+ = 解： 33 3 22 1dd 3 3 yy x y x x xy yx + + = = 令,则yu x= d dd dy uu xx x= + 原方程变为32d 1d 3u uu xx u+ = 即233 dd1 2u xuu x= 积分得3 11ln(2 1) ln ln2 u x c = + 以代替u，并整理得方程通解为.yx 3 32y x cx = ;d(5)dy x yx x y+= 解：1dd 1 yy xyx x+= 令，则yu x= d dd dy uu xx x= + 原方程变为d 1d 1u uu x x u+ = 分离变量,得21 1d d1 u u xu x =+ 积分得2 11arctan ln(1 ) ln ln2u u x c + = + 以代替u，并整理得方程通解为到yx 2arctan2 2 211e . ( )yxx y c c c+ = = 2 2(6) yy x x y = + + 高等数学上（复大版）习题六 105 解：2dd 1 1yy xx y x = + + 即2d 1d xx x yy y = + + 令，则,x vy= d d, d dx vx yv v yy y= = + 原方程可变为 2d 1dvv y v vy+ = + + 即2d 1dvy vy= + 分离变量，得2d d1v yyv =+ 积分得.2ln( 1) ln lnv v y c+ + = 即2 1 yv v c+ + = 2 2 2 2 12 1 y vvc y yvc c = + = 以代入上式，得yv x= 2 2 2cy c x = + 即方程通解为.2 22y cx c= +8.求下列各齐次方程满足所给初始条件的解： ;2 2 0(1)( 3 )d 2 d 0, 1xy x y xyx y= + = = 解：22dd 3yy xx yx= 令，则得y ux= 2d 2d 3u uu x x u+ = 高等数学上（复大版）习题六 106 分离变量，得2 33 ddu xuu u x = 积分得3ln ln( 1) ln( 1) lnu u u cx + + + = 即23 1ln lnu cux = 得方程通解为2 2 3y x cy =以x=0，y=1代入上式得c=1. 故所求特解为.2 2 3y x y = .1(2) , 2xx yy yy x = = + = 解：设，则y ux= d dd dy uu xx x= + 原方程可变为dd xuu x= 积分得.21 ln ln2u x c= + 得方程通解为2 22 (ln ln )y x x c= +以x=1，y=2代入上式得c=e 2. 故所求特解为.2 22 (ln 2)y x x= +9.利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解： (1)(2 5 3)d (2 4 6)d 0 x y x x y y + + = 解：设，则原方程化为1, 1x X y Y= + = + 2 5d 2 5d 2 4 2 4YY X Y XYX X Y X = =+ + 令d 2 5d 2 4Y u uu u XX X u= + = + 24 2 dd4 7 2 Xu Xuu u+ =+ 高等数学上（复大版）习题六 107 2 2 2 2 2 1 1 (8 7) 3ln d2 4 7 2 1 3 dln(4 7 2)2 2 4 7 2 1 1 1 4ln(4 7 2) d2 6 2 4 1 1 1 4 1ln(4 7 2) ln ln2 6 2 uX uu u uu u u u u u uu uu u u cu + = + = + + + = + + + + = + + 2 62 2 1 6 2 3 2 6 4 2 2 3 2 3 3 2 4 16ln 3ln(4 7 2) ln ln ( )2 4 1(4 7 2) 2 (4 1) ( 2)(4 1) ( 2) , ( ) uX u u c c cu uX u u cu X u u cX u u c c c + + + = =+ + =+ + = + = = 代回并整理得 .2 3(4 3) ( 2 3) , ( )y x y x c c c + = = (2)( 1)d (4 1)d 0;x y x y x y + + = 解：d 1d 4 1y x yx y x = + 作变量替换，令1, 0 x X y Y Y= + = + = 原方程化为1dd 4 1 4YY X Y XYX X Y X= =+ + 令,则得Y uX= 2d 1 d 1 4d 1 4 d 1 4u u u uu X XX u X u + = =+ + 分离变量，得21 4 dd1 4u Xuu x+ =+积分得 22 2 2 1 1 d(1 4 )ln d1 4 2 1 4 1 1arctan2 ln(1 4 )2 2 uX uu u u u c += + + = + + 即22ln ln(1 4 ) arctan2X u u c+ + + = 2 2ln (1 4 ) arctan2X u u c + + = 高等数学上（复大版）习题六 108 代回并整理得2 2 2ln4 ( 1) arctan .1yy x cx+ + = ;(3)( )d (3 3 4)d 0 x y x x y y+ + + = 解：作变量替换则,v x y= + d d 1d dy vx x= 原方程化为d 1d 3 4v vx v = 1 1 d 2( 2)d 3 4 3 4d d2( 2) 3 1d d d2 2 3 ln( 2)2 3 2ln( 2) 2 , ( 2 ) v vx v v v xv v v xv v v x cv v x c c c = = + = + = + = + = 代回并整理得3 2ln( 2) .x y x y c+ + + = .d 1(4) 1dyx x y= + 解：令则,u x y= d d1d du yx x= 原方程可化为d 1dux u=分离变量，得d duu x= 积分得2 112u x c=+ 2 12 2u x c= + 故原方程通解为2 1( ) 2 . ( 2 )x y x c c c = + = 10.求下列线性微分方程的通解： ;(1) exy y + =解：由通解公式 d de e e ed e ( )e e dx x x x x xxy x c x cx c = = + = + + ；2(2) 3 2xy y x x+ = + + 解：方程可化为1 23y y xx x+ = + +由通解公式得 高等数学上（复大版）习题六 109 1 1d d 2 2e ( 3 ) e d 1 2( 3 ) d 1 3 2 .3 2 x xx xy x x cx x xx cx x c x x x = + + + = + + + = + + + sin(3) cos e ;xy y x + = 解：cos d cos d sinsine e ( ).e e dxx xx xxy x cx c = = + + ;(4) 4 4y xy x = + 解：2 2( 4 )d ( 4 )d 2 2e e 4e d4e dx x x x x xy x x cx x c = = + .( )2 2 22 2 2e e e 1x x xc c= + = ;3(5)( 2) 2( 2)x y y x = + 解：方程可化为2d 1 2( )d 2y y x xx x = 1 1d d2 2 2 ln( 2) 2 ln( 2) 3 e 2( 2) e de 2( 2) e d ( 2) 2( 2)d( 2) ( 2) x xx x x x y x x cx x c x x x cx cx = + = + = + = + 2 2(6)( 1) 2 4 .x y xy x+ + = 解：方程可化为22 22 41 1x xy yx x+ =+ + 2 2 2 2 22d d1 1 2 3ln( 1) 2 2 4e e d1 4e 4 d 3( 1) x xx xx x x xy x cx x cx x c x + + + = + + + = + = + 11.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：; d 1 1(1) sin , 1d xy y x yx x x =+ = = 解：1 1d d 1 1sine sin d cos e dx xx xxy xx c c xx c x xx = = + = + 以代入上式得，, 1x y= = 1c= 高等数学上（复大版）习题六 110 故所求特解为.1( 1 cos )y xx= .23 11(2) (2 3 ) 1, 0 xy x y yx =+ = = 解：2 232 3 d 3lnx x x x cx = + 2 2 2 23 32 3 d 2 3 +3lnd 3lne e e de dx x x x xx x xx xy x cx c = = + 2 2 23 31 1e .e e2 2x x xx xc c = =+ + 以x=1,y=0代入上式，得.12ec= 故所求特解为.23 1 1e2 2e xy x = 12.求下列伯努利方程的通解： 2(1) (cos sin );y y y x x+ = 解：令，则有12 1z y y = = d d (1 2) (1 2)(cos sin ) sin cosd dz zz x x z x xx x+ = = ( 1)d ( 1)de (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x cx x x c c x = + = + = 1 e sinxc xy= 即为原方程通解. . 41 1(2) (1 2)3 3y y xy+ = 解：令.3 d 2 1dzz y z xx= = d de 2 1 e(2 1)e dx x xz x cx x c = = + + 3( e 2 1) 1xy c x = 即为原方程通解.13.求下列各微分方程的通解： ;(1) siny x x = +解：方程两边连续积分两次得 高等数学上（复大版）习题六 111 2 1 3 1 2 1 cos2 1 sin6y x x cy x x cx c = += + + ;(2) exy x = 解：积分得1ed e ex x xy x x x c = = + 1 1 2 21 2 1 2 3 ( e e )d e 2e 1( e 2e )d ( 3)e 2 x x x x x x x y x c x x cx cy x cx c x x cx cx c = + = + += + + = + + ;(3)y y x = + 解：令,则原方程变为p y= d d 11, , e e 1e dx xxp p x p p x p c xx x c = + = = = + 故.21 1 21( e 1)d e 2x xy c x x c x x c= = + ;3(4) ( )y y y = + 解：设，则y p = ddpy p y = 原方程可化为3ddpp p py= + 即2d (1 ) 0dp pp y + = 由p=0知y=c，这是原方程的一个解. 当时，0p 2 2d d1 dd 1p pp yy p= + =+ 1 1 21 arctan d lnsin( ) tan( ) p y cyx y c c y c = = = 22 1 2arcsin( e) ( e )cxy c c c = + = 1 (5) ;y x = 解：11d lny x cxx = = + 高等数学上（复大版）习题六 112 1 1 2 1 2 1 1 (ln )d lnln ( ( 1 )y c x x x cx cx xx cx c c cx = + = + += + + =+ ;21(6) 1y x = 解：121 d arcsin1y x x cx = = + 21 1 2(arcsin )d arcsin 1 .y x c x x x x cx c= + = + + + ;(7) 0 xy y + = 解：令,则得y p = 1 d d0 0p xp px p x+ = + = 1ln ln lnp x c + = 得1cp x= 故.1 1 2d lncy x c cxx= = + .3(8) 1 0yy = 解：令，则.p y= ddpy p y = 原方程可化为3 3d 1 0, d ddpyp pp y yy = = 2 2 2 21 1 2 21 1 21 1 2 2 2 21 1 2 1 1 2 1 12 2 2 d dd d1 2 1 2 21 1 ( ) . cp y p y c y yyx xc y cy cy cx ccy cx c cy cx c = + = + = = = + = + = + 14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：; 3 1 1(1) 1 0, 1, 0 x xyy y y= = += = = 解：令，则,y p = ddpy p y = 原方程可化为3 3d 11 d ddpy p pp yy y = = 高等数学上（复大版）习题六 113 2 2 1 2 12 1 1 12 2 2 1p y cp cy = + = + 由知，从而有1, 1, 0 x y y p= = = = 1 1c= 2 2 2 2 1 d d1 1 yy p y y y xy y x c = = = = + 由,得1, 1x y= = 2 1c = 故或.2 2 2x y x+ = 22y x x= ;2 1 1(2) 1, 0, 1x xxy xy y y= = + = = = 解：令，则.y p = y p = 原方程可化为21 1p px x+ = 1 1d d 1 12 11e (ln )e dx xx xp x cx c xx = = + 则11(ln )y x cx = + 以代入上式得1, 1x y= = 1 1c= 则1(ln 1)y xx = + 2 21ln ln2y x x c= + + 当x=1时，y=0代入得2 0c = 故所求特解为.21ln ln2y x x= + ;2 0 01(3) , 01 x xy y yx = = = = =+ 解：1arctany x c = + 当，得0, 0 x y= = 1 0c = 高等数学上（复大版）习题六 114 2 2 2 arctan d arctan d11 arctan ln(1 )2 xy xx x x xx x x x c = = + = + + 以x=0,y=0代入上式得2 0c = 故所求特解为.21arctan ln(1 )2y x x x= + ;2 0 0(4) 1, 1, 0 x xy y y y= = = + = = 解：令，则.p y= p y = 原方程可化为2 1p p = + 2 1 1 d d1 arctan tan( ) p xp p x cy p x c=+ = + = = + 以代入上式得.0, 0 x y= = 1 c k= 2tan( )d lncos( )y x k x cx k= + = + 以x=0,y=1代入上式得2 1c =故所求特解为 ln 1cos( )y x k= + ;2 0 0(5) e , 0y x xy y y= = = = = 解：令，则.y p = ddpy p y = 原方程可化为2d ed ypp y= 即2d e dypp y= 积分得2 2 11 1 1e2 2 2yp c= + 2 2 1eyp c= + 以代入上式得,0, 0 x y y= = = 1 1c= 高等数学上（复大版）习题六 115 则2e 1yp y= = 2 2 d de 1 arcsiney y y x x c = + 以x=0,y=0代入得，2 2c = 故所求特解为arcsine 2y x = + 即.即.e sin cos2y xx = = lnsecy x= .0 0(6) 3 , 1, 2x xy yy y= = = = = 解：令d, dpy py p y = = 原方程可化为12d 3dpp yy= 12 32 2 1d 3 d1 22pp y yp y c= + 以代入得0, 2, 1x y p y= = = = 1 0c = 故342y p y = = 由于.故，即3 0y y = 342y y = 34d 2dy xy = 积分得14 24 2y x c= + 以x=0,y=1代入得2 4c = 故所求特解为.41 12y x = + 15.求下列微分方程的通解：;(1) 2 0y y y + = 解：特征方程为2 2 0r r+ = 解得1 21, 2r r= = 高等数学上（复大版）习题六 116 故原方程通解为21 2e e .x xy c c = + ;(2) 0y y + = 解：特征方程为2 1 0r += 解得1,2r i= 故原方程通解为1 2cos siny c x c x= + ;22d d(3)4 20 25 0d dx x xt t + = 解：特征方程为24 20250r r + = 解得1 2 52r r= = 故原方程通解为.521 2( )etx c ct= + ;(4) 4 5 0y y y + = 解：特征方程为2 4 5 0r r + = 解得1,2 2r i= 故原方程通解为.2 1 2e ( cos sin )xy c x c x= + ;(5) 4 4 0y y y + + = 解：特征方程为2 4 4 0r r+ + = 解得1 2 2r r= = 故原方程通解为2 1 2e ( )xy c cx= + .(6) 3 2 0y y y + = 解：特征方程为2 3 2 0r r + = 解得1, 2r r= = 故原方程通解为.21 2e ex xy c c= +16.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ;0 0(1) 4 3 0, 6, 10 x xy y y y y= = + = = = 高等数学上（复大版）习题六 117 解：特征方程为2 4 3 0r r + = 解得1 21, 3r r= = 通解为31 2e ex xy c c= + 31 2e 3 ex xy c c = + 由初始条件得1 2 11 2 26 43 10 2c c cc c c+ = = + = = 故方程所求特解为.34e 2ex xy= + 0 0(2)4 4 0, 2, 0;x xy y y y y= = + + = = = 解：特征方程为24 4 1 0r r+ + = 解得1 2 12r r= = 通解为121 2( )e xy c cx = + 22 1 21 e2 2 xxy c c c = 由初始条件得1 122 12 21 102c ccc c= = = = 故方程所求特解为.12(2 )e xy x = + 0 0(3) 4 29 0, 0, 15;x xy y y y y= = + + = = = 解：特征方程为2 4 29 0r r+ + = 解得1,2 2 5r i= 通解为2 1 2e ( cos5 sin5)xy c x c x= + 2 2 1 1 2e (5 2 )cos5 ( 5 2 )sin5xy c c x c c x = + 由初始条件得1 12 1 20 05 2 15 3c cc c c= = = = 故方程所求特解为.23e sin5xy x= 高等数学上（复大版）习题六 118 .0 0(4) 25 0, 2, 5x xy y y y= = + = = = 解：特征方程为2 25 0r + = 解得1,2 5r i= 通解为1 2cos5 sin5y c x c x= + 1 25 sin5 5 cos5y c x c x = + 由初始条件得1 12 22 25 5 1c cc c= = = = 故方程所求特解为.2cos5 sin5y x x= +17.求下各微分方程的通解： ;(1)2 2exy y y + = 解：22 1 0r r+ = 1 2 11, 2r r= =得相应齐次方程的通解为 121 2e exxy c c= + 令特解为,代入原方程得* exy A= ,2 e e e 2ex x x xA A A+ = 解得,故,1A= * exy = 故原方程通解为.21 2e e exx xy c c= + + ;2(2)2 5 5 2 1y y x x + = 解：22 5 0r r+ = 1 2 50, 2r r= = 对应齐次方程通解为521 2e xy c c = + 令,代入原方程得* 2( )y xax bx c= + + 2 22(6 2) 5(3 2 ) 5 2 1ax b ax bx c x x+ + + + = 比较等式两边系数得 高等数学上（复大版）习题六 119 1 3 7, ,3 5 25a b c= = = 则* 3 21 3 73 5 25y x x x= + 故方程所求通解为.5 3 221 2 1 3 7e 3 5 25xy c c x x x = + + + ;(3) 3 2 3exy y y x + + = 解：2 3 2 0r r+ + = ,1 21, 2r r= = 对应齐次方程通解为21 2e ex xy c c = + 令代入原方程得* ( )exy xAx B= + (2 2 )e 3ex xAx B A x + + = 解得3, 32A B= = 则* 23 e32 xy x x = 故所求通解为.2 21 2 3e e e32x x xy c c x x = + + ;(4) 2 5 e sin2xy y y x + = 解：2 2 5 0r r + = 1,2 1 2r i= 相应齐次方程的通解为 1 2e( cos2 sin2)xy c x c x= + 令，代入原方程并整理得* e( cos2 sin2)xy x A x B x= + 4 cos2 4 sin2 sin2B x A x x = 得1, 04A B= = 则* 1 e cos24 xy x x= 故所求通解为.1 2 1e( cos2 sin2) e cos24x xy c x c x x x= + ;(5) 2y y y x + + = 高等数学上（复大版）习题六 120 解：2 2 1 0r r+ + = 1,2 1r = 相应齐次方程通解为1 2( )exy c cx = + 令代入原方程得*y Ax B= + 2A Ax B x+ + = 得1, 2A B= = 则* 2y x= 故所求通解为1 2( )e 2xy c cx x= + + .2(6) 4 4 exy y y + = 解：2 4 4 0r r + = 1,2 2r = 对应齐次方程通解为21 2( )exy c cx= + 令代入原方程得* 2 2exy Ax= 1 2 1, 2A A= = 故原方程通解为.2 2 21 2 1( )e e2x xy c cx x= + +18.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： ; (1) sin2 0, 1, 1x xy y x y y= = + + = = = 解：特征方程为2 1 0r + = 得1,2r i= 对应齐次方程通解为1 2cos siny c x c x= + 令代入原方程并整理得* cos2 sin2y A x B x= + 3 cos2 3 sin2 sin2A x B x x = 得10, 3A B= = 故通解为.1 2 1cos sin sin23y c x c x x= + + 高等数学上（复大版）习题六 121 将初始条件代入上式得1 12 21 12 113 3c cc c = = + = = 故所求特解为.1 1cos sin sin23 3y x x x= + .2 0 06 33(2) 10 9 e , ,7 7x x xy y y y y= = + = = = 解：2 10 9 0r r + = 1 21, 9r r= = 对应齐次方程通解为91 2e ex xy c c= + 令,代入原方程求得* 2exy A= 17A= 则原方程通解为2 91 21e e e7 x x xy c c= + + 由初始条件可求得1 21 1,2 2c c= = 故所求特解为.9 21 1(e e ) e2 7x x xy= + *19.求下列欧拉方程的通解： 2(1) 0 xy xy y + = 解：作变换，即t=lnx,etx= 原方程变为( 1) 0DD y Dy y + = 即22d 0dy yt = 特征方程为2 1 0r = 1 21, 1r r= = 故.1 2 1 21e et ty c c c cxx= + = + .2 3(2) 4xy xy y x + = 解：设，则原方程化为etx= 3( 1) 4 etDD y Dy y + = 2 32d 4 ed ty yt = 高等数学上（复大版）习题六 12 特征方程为2 4 0r = 1 22, 2r r= = 故所对应齐次方程的通解为 2 21 2e et ty c c= + 又设为的特解，代入化简得* 3ety A= 9 4 1A A = ,15A= * 31e5 ty = 故2 2 3 2 2 31 2 1 21 1e e e .5 5t t ty c c cx cx x = + + = + +
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