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第 十 章 部 分 课 后 习 题 参 考 答 案 4 判 断 下 列 集 合 对 所 给 的 二 元 运 算 是 否 封 闭 ： （ 1 ） 整 数 集 合 Z和 普 通 的 减 法 运 算 。 封 闭 ,不 满 足 交 换 律 和 结 合 律 ， 无 零 元 和 单 位 元 （ 2 ） 非 零 整 数 集 合 普 通 的 除 法 运 算 。 不 封 闭 （ 3 ） 全 体 实 矩 阵 集 合 （ R） 和 矩 阵 加 法 及 乘 法 运 算 ， 其 中 n 2 。 封 闭 均 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 ， 乘 法 对 加 法 满 足 分 配 律 ； 加 法 单 位 元 是 零 矩 阵 ， 无 零 元 ； 乘 法 单 位 元 是 单 位 矩 阵 ， 零 元 是 零 矩 阵 ； （ 4 ） 全 体 实 可 逆 矩 阵 集 合 关 于 矩 阵 加 法 及 乘 法 运 算 ， 其 中 n 2 。 不 封 闭 （ 5 ） 正 实 数 集 合 和 运 算 ， 其 中 运 算 定 义 为 ： 不 封 闭 因 为 （ 6 ） 关 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 运 算 。 封 闭 ， 均 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 ， 乘 法 对 加 法 满 足 分 配 律 加 法 单 位 元 是 0 ， 无 零 元 ； 乘 法 无 单 位 元 （ ） ， 零 元 是 0 ； 单 位 元 是 1 （ 7 ） A = n 运 算 定 义 如 下 ： 封 闭 不 满 足 交 换 律 ， 满 足 结 合 律 ， （ 8 ） S = 关 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 运 算 。 封 闭 均 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 ， 乘 法 对 加 法 满 足 分 配 律 （ 9 ） S = 0 ,1 ,S是 关 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 运 算 。 加 法 不 封 闭 ， 乘 法 封 闭 ； 乘 法 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 （ 1 0 ） S = ,S关 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 运 算 。 加 法 不 封 闭 ， 乘 法 封 闭 ， 乘 法 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 5 对 于 上 题 中 封 闭 的 二 元 运 算 判 断 是 否 适 合 交 换 律 ， 结 合 律 ， 分 配 律 。 见 上 题 7 设 * 为 上 的 二 元 运 算 ， X * Y = min ( x， y ),即 x和 y之 中 较 小 的 数 . (1) 求 4 * 6， 7 * 3。 4 , 3 (2)* 在 上 是 否 适 合 交 换 律 ， 结 合 律 ， 和 幂 等 律 ？ 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 ， 和 幂 等 律 (3)求 *运 算 的 单 位 元 ， 零 元 及 中 所 有 可 逆 元 素 的 逆 元 。 单 位 元 无 ， 零 元 1 , 所 有 元 素 无 逆 元 8 为 有 理 数 集 ， *为 S上 的 二 元 运 算 ， , S有 * = （ 1） *运 算 在 S上 是 否 可 交 换 ， 可 结 合 ？ 是 否 为 幂 等 的 ？ 不 可 交 换 ： * = * 可 结 合 ： (* )* =* = * (* )=* = (* )* =* (* ) 不 是 幂 等 的 （ 2） *运 算 是 否 有 单 位 元 ， 零 元 ？ 如 果 有 请 指 出 ， 并 求 S中 所 有 可 逆 元 素 的 逆 元 。 设 是 单 位 元 ， S ， * = * = 则 =， 解 的 =， 即 为 单 位 。 设 是 零 元 ， S ， * = * = 则 =， 无 解 。 即 无 零 元 。 S， 设 是 它 的 逆 元 * = * = = a =1 /x ,b=-y /x 所 以 当 x 0 时 ， 10 令 S=a， b， S上 有 四 个 运 算 ： *， 分 别 有 表 10.8确 定 。 (a) (b ) (c) (d ) (1)这 4个 运 算 中 哪 些 运 算 满 足 交 换 律 ， 结 合 律 ， 幂 等 律 ？ (a ) 交 换 律 ， 结 合 律 ， 幂 等 律 都 满 足 ， 零 元 为 a ,没 有 单 位 元 ； (b)满 足 交 换 律 和 结 合 律 ， 不 满 足 幂 等 律 ， 单 位 元 为 a ,没 有 零 元 (c)满 足 交 换 律 ,不 满 足 幂 等 律 ,不 满 足 结 合 律 没 有 单 位 元 , 没 有 零 元 (d) 不 满 足 交 换 律 ， 满 足 结 合 律 和 幂 等 律 没 有 单 位 元 , 没 有 零 元 (2) 求 每 个 运 算 的 单 位 元 ， 零 元 以 及 每 一 个 可 逆 元 素 的 逆 元 。 见 上 16 设 V= N， + ， ， 其 中 + ， 分 别 代 表 普 通 加 法 与 乘 法 ， 对 下 面 给 定 的 每 个 集 合 确 定 它 是 否 构 成 V的 子 代 数 ， 为 什 么 ？ （ 1） S1= 是 （ 2） S2= 不 是 加 法 不 封 闭 （ 3） S3 = -1， 0， 1 不 是 ， 加 法 不 封 闭 第 十 一 章 部 分 课 后 习 题 参 考 答 案 8.设 S=0， 1， 2， 3， 为 模 4乘 法 ， 即 x,y S, x y=(xy)mod 4 问 S， 是 否 构 成 群 ？ 为 什 么 ？ 解 ： (1) x,y S, x y=(xy)mod 4, 是 S上 的 代 数 运 算 。 (2) x,y,z S,设 xy=4k+r (x y) z =(xy)mod 4) z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同 理 x (y z) =(xyz)mod 4 所 以 ， (x y) z = x (y z)， 结 合 律 成 立 。 (3) x S, (x 1)=(1 x)=x,， 所 以 1是 单 位 元 。 (4) 0和 2没 有 逆 元 所 以 ， S， 不 构 成 群 9.设 Z为 整 数 集 合 ， 在 Z上 定 义 二 元 运 算 。 如 下 ： x,y Z,xoy= x+y-2 问 Z关 于 o运 算 能 否 构 成 群 ？ 为 什 么 ？ 解 ： (1) x,y Z, xoy= x+y-2,o是 Z上 的 代 数 运 算 。 (2) x,y,z Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同 理 (xoy)oz= xo(yoz)， 结 合 律 成 立 。 (3)设 是 单 位 元 ， x Z, xo= ox=x,即 x+-2= +x-2=x, e=2 (4) x Z , 设 x的 逆 元 是 y, xoy= yox=, 即 x+y-2=y+x-2=2, 所 以 ， 所 以 Z， o 构 成 群 11.设 G=， 证 明 G关 于 矩 阵 乘 法 构 成 一 个 群 解 ： (1) x,y G, 易 知 xy G,乘 法 是 Z上 的 代 数 运 算 。 (2) 矩 阵 乘 法 满 足 结 合 律 (3)设 是 单 位 元 ， (4)每 个 矩 阵 的 逆 元 都 是 自 己 。 所 以 G关 于 矩 阵 乘 法 构 成 一 个 群 14.设 G为 群 ， 且 存 在 a G,使 得 G=ak k Z 证 明 ： G是 交 换 群 。 证 明 :x,y G， 设 ， 则 所 以 ， G是 交 换 群 17.设 G为 群 ， 证 明 e为 G中 唯 一 的 幂 等 元 。 证 明 :设 也 是 幂 等 元 ， 则 ， 即 ， 由 消 去 律 知 18.设 G为 群 ， a,b,c G,证 明 abc = bca = cab 证 明 ： 先 证 设 设 则 ， 即 左 边 同 乘 ， 右 边 同 乘 得 反 过 来 ， 设 则 由 元 素 阶 的 定 义 知 ， abc = bca ， 同 理 bca = cab 19.证 明 ： 偶 数 阶 群 G必 含 2阶 元 。 证 明 ： 设 群 G不 含 2阶 元 ， ， 当 时 ， 是 一 阶 元 ， 当 时 ， 至 少 是 3阶 元 ,因 为 群 G时 有 限 阶 的 ， 所 以 是 有 限 阶 的 ， 设 是 k阶 的 ,则 也 是 k阶 的 ， 所 以 高 于 3阶 的 元 成 对 出 现 的 ， G不 含 2阶 元 ， G含 唯 一 的 1阶 元 ,这 与 群 G是 偶 数 阶 的 矛 盾 。 所 以 ， 偶 数 阶 群 G必 含 2阶 元 20.设 G为 非 Abel群 ， 证 明 G中 存 在 非 单 位 元 a和 b,a b,且 ab=ba. 证 明 ： 先 证 明 G含 至 少 含 3阶 元 。 若 G只 含 1阶 元 ,则 G=e,G为 Abel群 矛 盾 ； 若 G除 了 1阶 元 e外 ,其 余 元 均 为 2阶 元 ， 则 ， ， 与 G为 Abel群 矛 盾 ； 所 以 ， G含 至 少 含 一 个 3阶 元 ， 设 为 ， 则 ， 且 。 令 的 证 。 21.设 G是 Mn(R)上 的 加 法 群 ， n 2， 判 断 下 述 子 集 是 否 构 成 子 群 。 （ 1） 全 体 对 称 矩 阵 是 子 群 （ 2） 全 体 对 角 矩 阵 是 子 群 （ 3） 全 体 行 列 式 大 于 等 于 0的 矩 阵 . 不 是 子 群 （ 4） 全 体 上 （ 下 ） 三 角 矩 阵 。 是 子 群 22.设 G为 群 ， a是 G中 给 定 元 素 ， a的 正 规 化 子 N（ a） 表 示 G中 与 a可 交 换 的 元 素 构 成 的 集 合 ， 即 N（ a） =x x G xa=ax 证 明 N（ a） 构 成 G的 子 群 。 证 明 ： ea=ae, ,所 以 由 ， 得 ， 即 ， 所 以 所 以 N（ a） 构 成 G的 子 群 31.设 1是 群 G1到 G2的 同 态 ， 2是 G2到 G3的 同 态 ， 证 明 12是 G1到 G3的 同 态 。 证 明 ： 有 已 知 1是 G1到 G2的 函 数 ， 2是 G2到 G3的 函 数 ， 则 1 2是 G1到 G3的 函 数 。 所 以 :1 2是 G1到 G3的 同 态 。 33.证 明 循 环 群 一 定 是 阿 贝 尔 群 ， 说 明 阿 贝 尔 群 是 否 一 定 为 循 环 群 ， 并 证 明 你 的 结 论 。 证 明 ： 设 G是 循 环 群 ,令 G=,令 ,那 么 ,G是 阿 贝 尔 群 克 莱 因 四 元 群 , 是 交 换 群 ,但 不 是 循 环 群 ,因 为 e是 一 阶 元 ， a,b ,c是 二 阶 元 。 36.设 是 5元 置 换 ， 且 ， (1)计 算 ； (2)将 表 示 成 不 交 的 轮 换 之 积 。 (3)将 （ 2） 中 的 置 换 表 示 成 对 换 之 积 ， 并 说 明 哪 些 为 奇 置 换 ， 哪 些 为 偶 置 换 。 解 ： (1) (2) (3) 奇 置 换 ， 偶 置 换 奇 置 换