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机械波一章习题解答习题 13 1一平面简谐波的波动方程为 )3cos(1.0 += xty (SI)， t=0时的波形曲线如图所示，则 ： (A)O点的振幅为 0.1m。(B)波长为 3m。(C)a、 b两点间位相差为 2。(D)波速为 9m/s。 解 ： 首 先 ， 由 于 振 幅 是 非 负 数 ， 所 以答案 (A)可以被排除 ； 另一方面 ， 该波的波动方程可以写成 += )3(3cos1.0 xty与标准波动方程比较容易得到： rad/s3=，波速 m /s3=u，因此，波长m23322 = u所以 (B)和 (D)也可以被排除，所以最后应当选择答案 (C)。事实上，因 a、 b两点 相距为 4，故相应两点的位相差应当是 2。习 题 13 2已 知 一 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 为 )cos(bxatAy = (a、 b为 正 值 )，则 ： (A)波的频率为 a。 (B)波的传播速度为 b/a。(C)波长为 b/。 (D)波的周期为 a/2。解：该波的波动方程可以写成 = )(cosbaxtaAy与波动方程的标准形式比较可知 ， 圆频率为 a， 波速为 a/b， 波长为 b/2， 波的周期为 a/2，因此，应当选择答案 (D)。 u0 X(m )abY(m )0.1 .1 习题 13 1图 习 题 13 3一 平 面 简 谐 波 以 速 度 u沿 X轴 正 向 传 播 ， 在 tt=时 的 波 形 曲 线 如图所示 ， 则坐标原点 O的 振动方程为 ： (A) += 2)(costtbuay 。 (B) = 2)(2costtbuay 。(C) += 2)(costtbuay 。 (D) = 2)(costtbuay 。解： 另设一个时间系统 ttt = ；则 tt=时， 0=t . 设 坐标原点 O的 振动方程为 )cos(0 +=tAy由 波形曲线可知 aA=， b2=，因此 bubuu = 222 ，0=t 时， 原点处质元通过 平衡位置向 Y轴正向运动， 则 其位相为 2=，所以， )2cos( 0 = tbuay把 ttt = 代入， 故坐标原点 O的 振动方程为 = 2)(cos 0 ttbuay (SI)习题 13 4如图 ， 有一平面简谐波沿 X轴负方向传播 ， 坐标圆点 O的振动规律为 )cos( 0+=tAy ，则 B点的振动方程为 ： (A) 0)(cos+= uxtAy 。(B) )(cosuxtAy +=。 (C) 0)(cos+= uxtAy 。(D) 0)(cos+= uxtAy 。 XYuab0习 题 13 3图 X xBuY习题 13 4图 解；由题设条件可得该波的波动方程为 += += 00 )(cos)(cos uxtAuxtAy所以应当选择答案 (D)。 习题 13 5如图所示一简谐波在 t=0时刻的波形图 ， 波速 u=200m/s， 则图中 O点的振动加速度的表达式 (SI)为 ： (A) )2cos(4.02 += ta 。(B) )23cos(4.0 2 = ta 。(C) )2cos(4.02 = ta 。(D) )22cos(4.0 2 += ta 。解：由题给条件得： A=0.1m， m20= ， u=200m/s， 2200200222 = u 从波形图可以看出原点的初相为 2=，因此，原点的振动方程为 )22cos(1.0),0( += tty所以，原点的振动加速度为 )22cos(4.0),0( 222 += tdtydta故，应当选择答案 (D)。习题 13 6一平面简谐波 ， 波速 u=5m/s， t=3s时的波形曲线如图 ， 则 x=0处的 振动方程为 ： (A) )2121cos(1022 = ty 。(B) )cos(102 2 += ty 。(C) )2121cos(1022 += ty 。(D) )23cos(102 2 = ty 。 X(m )Y(m ) u0.1010 20习 题 13 5图 15 X(m )50 25Y(m )2102 1020u习 题 13 6图 解： 与 13-3相似， 另设一个时间系统 3=tt ；则 s 3=t 时， 0=t .设 坐标原点 O的 振动方程为 )cos( 0 +=tAy由 t=3s时的波形曲线可知 m1022=A , 20=m ，所以rad/s222 = u 0=t 时， 原点处质元 处于负的最大位移处，则 其位相为 =，所以，故 x=0处的 振动方程为 )21cos(1022 += ty把 3=tt 代入， 故 x=0处的 振动方程为 )2121cos(1022 = ty (SI)所以选择 (A)习题 13 7一平面简谐波沿 X轴正向传播， t=0时刻的波形图如右图所示， 则 P处介质质点的振动方程是 ： (A) )34cos(10.0 += tyP 。(B) )34cos(10.0 = ty P 。(C) )32cos(10.0 += tyP 。(D) )62cos(10.0 += ty P 。解：设 P点处的振动方程为 )cos(+=tAy P由所给的波形图容易得到： m10=， A=0.10m， u=20m/s，而振动的圆频率rad/s4102022 =u因为波是自左向右传播的 ， 由此可以判断出 P点在 t=0时刻正在最大位移一半处 且 向 Y轴 负 向 运 动 ， 所 以 ， P点 振 动 的 初 位 相 为 3=。 这 样 ， P处 介 质 质 点的振动方程为 X(m )u=20m /sY(m )5m0.1.5 P习题 13 7图0 )34cos(10.0 += tyP所以，应当选择答案 (A)。习题 13 8图 表示 t=0时的余弦波的波形图 ， 波沿 X轴正方向传播 ； 图 为 一余弦振动曲线，则图 中所表示的 x=0处振动的初位相与图 中所表示的振动初位相 ： (A)均为零。 (B)均为 2。 (C)均为 2。(D)依次分别为 2和 2。(E)依次分别为 2和 2。 解：对图 中的 O点此刻正通过平衡位置向 Y轴负方向运动，所以其初位相为 2； 对图 所表示的振动 ， 在 t=0时刻正通过平衡位置向 Y轴正方向运动 ，所以其初位相为 2。因此，只有答案 (D)是正确的。 习题 13 9一简谐波沿 X轴正方向传播 ，t=T/4时 的 波 形 曲 线 如 图 所 示 ， 若 振 动 以 余弦函数表示 ， 且此题各点振动的初相取 到 之间的值，则 ： (A)O点的初位相为 00=。(B)1点的初位相为 21=。(C)2点的初位相为 = 2 。(D)3点的初位相为 23=。解 ： 把 波 形 图 退 回 T/4， 此 时 为 t=0时 刻 波 形 图 看 出 ， 从 图 中 可 以 看 出 O点质元处于负的最大位移处，则 其 初 位相 =0 (或者 ) Y u Y0 cX图 Y tO图 习题 13 8图 u XY01234 习 题 13 9图 习 题 13 9解 图 43210 X 同理，可以得到 1、 2、 3各点的初位相分别为 21=， 02=， 23=由此可见，只有答案 (D)是正确的。 习题 13 10一平面简谐波沿 X轴正向传播，波动方程为 += 21)4121(2cos10.0 xty该波在 t=0.5s时刻的波形图是 ： 解：该波的波动方程可以写为 += 21)2(cos10.0 xty可以看出波的圆频率为 ， 波速为 2m/s， 波长为 m42=u ， 振幅为 0.10m。 此四项对四个图来说都一样 ， 无法区别 。 但是我们看 x=0处质点在此时刻 (t=0.5s)的位相应该是 = += 21)205.0()5.0,( 从所个的四个图可以看出，只有图 (B)符合该条件，因此应该选择答案 (B)。 X(m )Y(m )O20.1 (A) X(m )Y(m )O2 0.1 (C) X(m )Y(m )O20.10.1 (B) X(m )Y(m )O0.1 0.1 2(D)习题 13 10图 习 题 13 11如 图 所 示 ， 为 一 向 右 传播 的 简 谐 波 在 t时 刻 的 波 形 图 ， BC为波 密 介 质 的 反 射 面 ， 波 由 P点 反 射 。则 反 射 波 在 t时 刻 的 波 形 图 为 ： 解：因为 BC为波密介质的反射面，所以在反射时有 “ 半波损失 ” ，故反射波在 P点引起的振动与入射波 在 P点引的振动在位相上刚好相反，由 入 射 波 的 波 形 图 可 以 看 出 ， 入 射 波 使 P点 向 下 运 动 ， 因 而 反 射 波 应 使 P点 向上运动，观察给出的四个波形图可以看出只有图（ B）满足这个条件 。 习题 13 12S1是 S2波长均为 的两个相干波的波源，相距 43， S1位相比 S2超 前 2， 若 两 波 单 独 传 播 时 ， 在 过 S1和 S2的 直 线 上 各 点 的 强 度 相 同 ， 不 随 距离 变 化 ， 且 两 波 的 强 度 都 是 I， 则 在 S 1和 S2连 线 上 S1外 侧 和 S2外 侧 各 点 ， 合 成波的强度分别是 ： (A)4I， 4I。 (B)0， 0。 (C)0， 4I。 (D)4I， 0。 解：见图示，两波源在它们的连线上任一点的位相差为 )(22)(2)( 121212 rrrr = 在 S 1和 S2连线上 S1外侧的任一点 P有 XY0A P(A) Y PXA0 (B)XY PA0(C) XY PA0 (D) BCPXYA0 习题 13 1图 S1 S243r1 r2 r1 r2P Q题 解 13 12图 24322 =因此，点 P的振动是加强的，该点合成波的强度满足 41222 =AII PP所以 II P4=由于 P点是任取的，所以对 S1外侧所有的点的振动都是加强的，强度都是 4I。同样，在 S1和 S2连线上 S2外侧任一点 Q有 = 4322因此，点 Q的振动是减弱的，该点合成波的强度为 0= QI由于 Q点是任取的，所以对 S2外侧所有的点的振动都是减弱的，强度都是零。综合上述的计算与分析应当选择答案 (D)。 习题 13 13某时刻驻波波形曲线如图所示 ， 则 a、 b两点的位相差是 ： (A)。 (B)21。(C)45。 (D)0。解 ： 由图可见 ， a、 b两点分别处在 两相邻的 “ 振动段 ” 中，因此，两点的振动位相刚好相反 ， 相应的位相差为 ，故而应当选择答案 (A)。 习题 13 14一平面简谐波沿 OX轴传播 ， 波动方程 )(2cos += xtAy ，则 x1=L处介质质点振动的初位相是 ；与 x1处质点振动状态相同的其它质 点 的 位 置 是 ； 与 x 1处 质 点 速 度 大 小 相 同 ， 但 方 向 相 反 的 其 它 各 质 点的位置是 。 A A XYab21 习 题 13 13图 解： (1)把 x=L代入波动方程可得 x1=L处质点的振动方程 )22cos(),(1 += LtAtxy x 1=L处质点振动的处位相为 L2(2)与 x 1处质点振动状态相同的其它质点的位置满足 kLtxt 2)22()22( =+ kLx= 即 kLx= k=1， 2， 3， (3)与 x1处质点速度大小相同 、但方向相反 的其它质点的位置应满足 )12()22()22( +=+ kLtxt 2)12( +=kLx即 2)12( +=kLx k=0， 1， 2， 3， 注： (2)中 k不取零是因为若 k=0，则 x=L，是 x 1点本身 习 题 13 15如 果 入 射 波 方 程 式 是 )(2cos1 xTtAy += ， 在 x=0处 发 生 反 射后形成驻波，反射点为波腹，设反射后波的强度不变，则反射波方程式 y 2=；在 32=x 处质点合振动的振幅等于 。解：入射波在反射点 (x=0)处的振动方程为 tTAy 2cos 10=由于该处为波腹，反 射波在反射点 (x=0)处的振动方程为 tTAy 2cos 20=则反射波方程可以写为 = xTtAy 2cos2合成波方程为 tTxAyyy 2cos2cos2 21 =+=合把 32=x 代入合成波方程可得 tTAy 2cos322cos2 = 合 tTA 2cos34cos2= tTA2cos= 所以，在 32=x 处质点合振动的振幅等于 A。习题 13 16如图所示，一平面简谐波 沿X轴负向传播 ， 波长为 ， 若 P点处质点的 振动方程是 )212cos( += tAyP则该波的波动方程是 ； P处质点 时刻的振动状态与 O处质 点 t1时刻的振动状态相同 。解： (1)原点处比 P处 超前相位 2L， 原点处 振动方程是)2212cos( LtAy o +=该波的波动方程可以写为 )22212cos(),( xLtAtxy += (SI)(2)P点处的振动位相 22+t ，原点 O处的振动方程为 2)(2cos),0( += LtAty与原点 O处 t1时刻的振动状态相同的状态为 kLt 22)(2 1 + k=0， 1， 2， L XYPO习题 13 16图 u 令其与 P点振动位相相同 2222)(21 +=+ tkLt解得 kLtt +=1 k=0， 1， 2， 习题 13 17如图所示为一 平面简谐波在 t=2s时刻的波形图 ， 则该 简谐波的 波动方程是 ； P点处质点的振动方程是 。 (该波的振 幅A，波速 u与波长 均为已知量 )解 ： （ 1） 与 13-3、 13-6相似 ， 另设一个时间系统 2=tt ；则 2s=t 时， 0=t .设 坐标原点 O的 振动方程为 )cos(0 +=tAy由 t=2s时的波形曲线可知 振幅为 A， 又 u22=0=t 时 ， 原点处质元 处于平衡位置向 y轴正方向运动 ， 则 其位相为 2=，所以， 故 x=0处的 振动方程为 = 22cos 0 tuAy把 2=tt 代入， x=0处的 振动方程为 = 2)2(2cos 0 tuAy波动方程 为 += 22)2(2cos),( xtuAtxy (2)将 2=x代入上式可得 P点处质点的振动方程为 += 2)2(2cos tuayP X(m )PY(m )OA u习 题 13 17图 习题 13 19一简谐波沿 X轴正方向传播 ， x1与 x2两点处的振动曲线如图所示 。已知 x2x1且 x1且 =Lx处放一 如图所示的 反射面，且假设反射波 的 振 幅 为 A， 则 反 射 波 的 方 程为 。解： (1)反射 波 在原点的振动 方程应为 )cos( 1 +=tAyo该 平面简谐波方程可以写成 )2cos( 1 xtAy +=(2)入射波在反射点处的振动方程为 )2cos( 1 LtAyL += 由于有半波损失，反 射波在反射点处的振动方程为 )2cos( 2 LtAyL = 0 LX反射面波疏 媒质 波密 媒质习题 13 24图 反 射 波 在 原 点 处 的 振 动 比 反 射 点 处 的 振 动 落 后 2L相 位 ， 则 反 射 波 在 原 点处的振动 方程为 )4cos( 2 LtAyL = 反射波的方程 )24cos(),( xLtAtxy += 反习题 13 25S1、 S2为振动频率 ， 振动方向均相同的两个点波源 ， 振动方向垂直于纸面 ， 两者相 距 23(为 波 长 )， 如 图 ， 已 知 S1的 初 位 相 为2。 (1)若 使 射 线 S2C上 各 点 由 两 列 波 引 起 的振动均干涉相消，则 S 2的初位相应为 。(2)若 使 S12连 线 的 中 垂 线 MN上 各 点 由 两 波 引起 的 振 动 均 干 涉 相 消 ， 则 S2的 初 位 相 应为 。 解 ： (1)在 S2C上任取一点 P， 设 11rPS=， 22rPS=。 欲使 P点处干涉相消 ，两波在 P点的位相差应满足 )23(2)2()(2)( 21212 = rr )12(3)2(2 +=+= k ,3,2,1,0=k解得 222 +=k ,3,2,1,0=k(2)对 MN上任一点，由于 r2-1=0，则干涉相消的条件简化为 )12()2(2 += k解得 2322 +=k ,3,2,1,0=k CMNS1 S2习题 13 25图 习 题 13 26飞 机 在 空 中 以 速 度 vS=200m/s作 水 平 飞 行 ， 它 发 出 频 率 为Hz20000= 的声波，静止在地面上的观察者在飞机越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在 4秒钟内测出声波的频率由 Hz2400 1= 降为 Hz16002= ，已知声波在空气中的速度 v=330m/s， 由此可求出飞机的飞行高度 h= 。解 ： 如图所示 ， 飞机为声源 S， 其速度为 Sv，观察者为 e，其静止在地面上 。设声速大小为 u， 则当飞机 S分别处于 A点 和 B点 时 ， 观 察 者 e接 收 到 的 频 率 分别为 += 202 101 coscos SSuuuuvv解出 275.02400200)20002400(330)(cos 1011 =Suv所以 04.74275.0arcos 1 =同样可以解得 4125.01600200)16002000(330)(cos 2202 =Suv所以 64.654125.0arcos 2 =由几何关系可得 thh S=+ v21ctgctg 解得 m10083.164.65ctg04.74ctg 4200ctgctg 321 =+=+= thSv A BS eh 1 2 2Sv Sv 题 解 13 26图 习 题 13 27一 平 面 简 谐 波 在 介 质 中 以 速 度 c=20m/s自 左 向 右 传 播 ， 已 知 在 传播路径上的某一点 A的振动方程为 )4cos(3 =ty (SI)，另一点 D在点 A右 方9米处 ， (1)若取 X轴方向向左 ， 并以 A为坐标原点 ， 试写出波动方程 ， 并求 出D点 的 振 动 方 程 。 (2)若 取 X轴 方 向 向 右 ， 以 A点 左 方 5米 处 的 O点 为 X轴 原 点，重写出波动方程及 D点的振动方程。解 ： (1)由 已 知 可 知 4=， 则 频 率2=，波长 m 10=c以 A点为坐标原点建立波动方程 ， 注 意此时波向着 x轴负向传播， 波动方程为 += 24cos3),( xttxy即 += 54cos3),( xttxy把 D点坐标 x= 9m代入波动方程即得 D点的振动方程 = 594cos3ty D )544cos(3)5144cos(3 = tt(2)以 A点 左 方 5米 处 的 O点 为 坐 标 原 点 建 立 波 动 方 程 ， 原 点 O处 的 振 动比 A点超前 相位， 原点 处的振动方程为 )4cos(3tyo =注意此时波向着 x轴正向传播， 波动方程为 )24cos(3),( xttxy =即 () ) 54cos(3, xttxy =把 D点坐标 x=14m代入波动方程即得 D点的振动方程 )544cos(3)5144cos(3 = tty D A ADD CCO XXY Y习 题 13 27图 习 题 13 28如图所示是一平面简谐波 在 t=0时 刻 的 波 形 图 ， 此 简 谐 波 的频 率 为 250Hz， 且 此 时 质 点 P的 运 动方向向下，求： (1)该波 的 波动方程 ； (2)在距原 点 O为 100m 处质点的振动方程与振动速度表达式 。解 ： (1)由 波 形 图 可 知 200=m ； 从 P点 向 下 运 动 可 以 判 断 波 向 X轴 负 向传播 。 此刻 ， 原点处质点亦通过 22Ay=点向下运动 ， 因此原点处质点振动的 初位相 4=，故原点处质点的振动方程为 )450cos()42cos( +=+= tAtAyo该波 的 波动方程可以写成 += += 220450cos2450cos),( xtAxtAtxy(2)x=100m处质点的振动方程 )4550cos( 100 += tAyx=100m处质点的振动速度表达式为 )4550sin(50 += tAtyv 习题 13 29两列余弦波沿 OX轴传播，波动方程分别为 = )0.802.0(21cos06.01 txy ， += )0.802.0(21cos06.02 txy (SI)试确定 OX轴上合振幅为 0.06m的那些点的位置。 解：根据题给条件，可以写出合成波方程为 txyyy 4cos)01.0cos(12.021 =+=OX轴上合振幅为 0.06m的那些点的位置应满足 21)01.0cos( =x 10m PX(m )Y(m )A2AO习题 13 28图 即 )31(01.0 =kx k=0， 1， 2， 解得 m) 31(100=kx k=0， 1， 2， 习 题 13 30由 振动频率为 400Hz的 音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波。这个驻波共有三个波腹 ， 其振幅为 0.30cm ， 波在弦上的速度为 320m/s。 求 ： (1)此弦的长度； (2)若以弦线中点为坐标原点，写出驻波方程 。 解： (1) m8.040320=u故弦长 m2.18.02323 =L(2)设入 射 波 在原点的振动 方程应为 )cos(1 +=tAyo（由于没有明确初始条件， 为未知数 。 ）由于此处为波腹，所以反 射 波 在原点的振动 方程应为 )cos( 2 +=tAyo入射波、反射波波动方程分别为 )2cos( 1 xtAy += )2cos(2 xtAy +=（由于没有明确两波传播方向 ， 上述两波方程也可能互换 ， 但不影响结果 。 ）驻波方程为 )cos()2cos(221 +=+= txAyyy由 于 波 腹 处 振 幅 为 0.30cm ， 则 m100.32 3=A ， 又 8002= ，m8.0=，则 以弦线中点为坐标原点的驻波方程为 )80cos() 8.02cos(100.3),( 3 += txtxy 习 题 13 31相 干波源 S1和 S2， 相距 1m ， S1的 位相比 S2的 位相超前 2， 这两个相干波在 S1、 S2的连线上和延长线上传播时可看成两等幅的余弦波 ， 它们的频率都等于 100Hz， 波速都等于 400m/s。 求 ： 在 S 1、 S2的连线上和延长线上因干涉而静止不动的各点位置 。 解 ： 1） 设 S1为 X轴的坐标原点 ， 则这两个相干波在 S1、 S2之间 连线上任一点引起振动的位相差是 )1(22)(2 1212 xxrr = xxxu += 6)21(22)21(22令 )12(6 +=+= kx 因此在 S1、 S2的连线上的 x=1， 3， 5， 7， 9， 1m 各点因干涉而静止不动 。2） 在 x1m 的任一点有 5)1(22)1(22 = xxu这说明在 x1m 的所有各点都因干涉而静止不动 。 3） 在 x0m的任一点有 6122)1(22 =+= xxu这说明在 x11m的任一点 都 因干涉而静止不动 。习题 13 32如图所示，一圆频率为 、振幅为 A的 平面简谐波 沿 X轴正方向传 播 ， 设 在 t=0时 该 波 在 原 点 O处 引 起 的 振 动 使 媒 质 质 元 由 平 衡 位 置 向 Y轴 的 负方向运动 ， M是垂直于 X轴的波密媒质反射面 ， 47=O， 4=OP(为该 波 波 长 )； 设 反 射 波 不 衰 减 ， 求 ： (1)入 射 波 与 反 射 波 的 波 动 方 程 ； (2)P点 的振动方程 。 S2S1O x 解：因为 t=0时该，原点 O处质元由平衡位置向 Y轴的负方向运动 ， 所以原 点O处 质 元 的 初 位 相 2=， 因 而 其 振 动方程为 )2cos(1 +=tAyo故入射波的波动方程为 )22cos( 1 xtAy +=入射波在反射点处的振动方程为 )cos()272cos( 1 +=+= tAtAyo由于有半波损失，反 射波在反射点处的振动方程为 )cos( 2 tAyo =反 射 波 在 原 点 O处 的 振 动 比 反 射 点 O处 的 振 动 落 后 27相 位 ， 则 反 射 波 在原点处的振动 方程为 ) 2cos(2 +=tAyo反射波的方程 )22cos(2 xtAy +=(2)合成波 (驻波 )方程为 )2cos(2cos221 +=+= txAyyy合容易知道 P点的位置 23464147 =x把 23=x 代入合成波方程即得 P点的振动方程 )2cos(2)2cos()232cos(2 +=+= tAtAyP XMOPOY习题 13 32图