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第四章多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验,在常用的多元统计分析方法中,常常需要对总体的均值向量和协差阵进行检验,比如,对两个总体做判别分析时,事先需要对两个总体的均值作假设检验,看是否在统计上两个总体的均值有显著性的差异,否者作判别分析就无意义.假设检验的基本步骤为:,第一步:提出待检验的假设,第二步：给出检验用的统计量及统计量服从的分布第三步:给定检验水平，查统计量的分布表，得到临界值，从而得到否定域第四步：根据样本观测值计算统计量的值，看是否落入否定域。,第一节均值向量的检验,一、一元正态分布总体均值检验的回顾,（一）单个正态总体均值的检验设从总体一元正态总体中抽取样本容量为n的样本，每个样本只观察一个指标，用xi表示，现检验,1.当,已知时，检验用的统计量为,2、当,未知时，检验用的统计量为,（二）两个正态总体均值的比较检验,设从总体,中抽出一个样本,，从总体,中抽出一个样本,，要进行的假设检验为,1.两个正态分布总体方差,和,已知时，检验用的统计量,2.两个正态分布总体方差,和,未知，但,（三）多个正态总体均值的比较检验,设有k个正态总体分别为,从k个总体中各自独立的抽取一个样,本：各总体的样本如下：,现要检验,检验用的统计量为：,（在H0成立时）,其中：,总离差平方和,记：,组间平方和,组内平方和,（一）单个正态总体均值向量的检验,二、多元正态分布总体均值向量的检验,设元正态总体,从总体中抽取容量为n的样本,现欲检验,1.总体协差阵,已知时均值向量的检验,检验用的统计量为：,2.总体协差阵,未知时均值向量的检验,Hotelling,统计量,例题1：人的出汗多少与人体内部纳和钾的含量有一定的关系，今测20名健康成年女性的出汗多少X1、钠的含量X2和钾的含量X3，其数据如下表：,A=0.05,通过计算,认为样本均值向量与已知均值向量无显著差别。,（二）两个正态总体均值向量的检验,设,为来自元正态总体,容量为n的样本,为来自元正态总体,容量为m的样本,且两样本之间相互独立,假定两总体协方差矩阵相等，现对假设,1.有共同已知协方差时，检验用的统计量为,2.有共同未知协方差阵时，检验用的统计量为：,（在H0成立时）,调查某市15岁男女中学生若干名，测量其身体发育的三项指标：X1为身高，X2为体重，X3为胸围。检验该市中学15岁男女生身体发育状况有无显著性差别。,给定显著性水平a=0.05,设两组样本来自来自正态总体分别记为：,两组样本相互独立，共同未知协差阵为,拒绝原假设,（三）多个多元正态总体均值向量的检验,定义1：,若,，则称协差阵的行列式,为X的广义方差。称,为样本的广义方差。其中：,定义2：若,为Wilks统计量，其所服从的分布是维数为p，第一自由度为n1、第二自由度为n2,。显然，,为两个广义方差之比。,的Wilks分布，简记为,鉴于分布的重要性，关于它的近似分布和精确分布不断有人研究，当p和n2=k-1中的一个比较小时，分布可化为F分布。下表是常见的情况：n1=n-k,当p，n2不属于上表情况时，Bartlett指出可用,分布近似表示，即,近似服从,设有k个p元正态分布总体，它们的分布分别是：,从这k个总体中各自独立的抽取一个样本，样本个数分别为：,，对每个样品观测p个指标，则：,第一个样本总体为：,第k个样本总体为：,令,现要检验,检验用的统计量为：,，（在H0成立时）,为了研究销售方式对商品销售额的影响，选取四种商品（甲、乙、丙、丁）按不同的销售方式（、）进行销售，这四种商品的销售额分别为,其数据见表,检验,在检验时假定这三个总体均为多元正态总体，并且它们的协方差矩阵相同。据题意：,经计算得,拒绝原假设,甲和丁存在显著差别,第二节协方差阵的检验,一、检验,设,是来自,的样本,是已知的正定矩阵，,要检验,检验用的统计量是,对于方阵A=,，将它对角线的所有元素相加所得的和，称为矩阵A的迹，记为trA=,当,及,时,的,分位点表,二、检验,检验用的统计量是,当,不大且,时，,的上,分位点,
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