第三章习题解答.pdf

下述物体的约束属于何种约束？试写出约束方程。 （ 1）如图 a所示。绳索长为 l，两端固定于 A、 B点， AB=a，圆环 M可在绳上任意滑动，但不 许达到天花板 AB上方，亦不可离开绳。假设任何时刻绳索都绷紧。 （ 2）放在水平地面上的物块 M。（图 b） （ 3）圆轮沿着斜面作纯滚动。（图 c） （ 4）摇摆木马放在水平面上，且与水平面之间无滑动。（图 d） （ 5）曲柄连杆机构的连杆 AB。（图 e） 答： (1)由于 AMBMl+=，代入 22 22 ,()AMxyBM axy=+ =+ 得 () 2 22 2 x yaxyl+ +=，几何约束。 (2) 由于物块只能沿水平面运动，故 y=0，几何约束。 (3) 因为轮子作纯滚动，轮子边缘上与斜面接触点的速度等于零，即 0 O xr = ，其中 为轮子的转角， O x 为轮心沿着斜面的位移，这是微分约束。也可以积分得到几何约 束： O x r= 。 (4) 因为木马作纯滚动，故边缘上与平面接触点的速度等于零，即 0 O xr = ，其中 为木马的转角， O x 为木马中心 O的水平位移，这是微分约束。也可以积分得到几何约 束： O x r= 。 (5) 2 222 () BA A ABxx yl= +=，几何约束。 在筒内放两个相同的球 A 和 B，重均为 P，筒 D 重 W，放在光滑的地面上，试画出下列物 体的受力图： （ 1）球 A 及 B， （ 2）球 A 和 B 一起， （ 3）筒 D。 解：受力图如下： （ 1）球 A 及球 B P N 1 A N 2 P N 2 N 4 N 3 B （ 2）球 A 和球 B 一起 A B N 1 N 3 N 4 P P （ 3）筒 D C D N 5 N 2 N 3 N 1 W 构架 ABC在 O铰处连接一个滑轮 B，且在滑轮 B上吊一个重物 W。试画出下列物体的受力图： (1)弯杆 AB， (2)弯杆 BC， (3)滑轮 B， (4)弯杆 AB、 BC作为整体。 解法 1： 图 1 弯杆 AB的受力图 图 2 弯杆 BC的受力图 图 3 滑轮 B的受力图 图 4 弯杆 AB、 BC作为整体的受力图 解法 2：考虑到弯杆 AB， BC均为二力杆，受力分别沿 AB， BC连线，其受力图可以画成图 5 和 6的形式。如果将滑轮 B和与其接触的一段绳子作为整体考虑，其受力图如图 7所示。考虑 到弯杆 AB， BC均为二力杆，弯杆 AB、 BC作为整体的受力图可以画成图 8的形式。 图 5 弯杆 AB的受力图 图 6 弯杆 BC的受力图 图 7 滑轮 B的受力图 图 8 弯杆 AB、 BC作为整体的受力图 P y R x R 1 T 2 T P y R x R A B C B C B A A B C B C B A 若将图中的载荷 P作用于铰链 C处。 (1)试分别画出左、右两拱及销 C的受力图； (2)若销钉 C 属于 AC，分别画出左、右两拱的受力图； (3)若销钉 C属于 BC，分别画出左、右两拱的受力 图。 解： （ 1） (2) (3) Y AC Y A X AC X A Y BC Y B X BC X B P Y BC Y AC X AC X BC P Y A X C X A Y C Y B X C X B Y C Y C Y A X C X A P Y B X C X B Y C 下述哪些约束是理想约束？ （ 1）纯滚动，无滚动摩阻；（ 2）连接两个质点的无质量刚杆；（ 3）悬挂重物的绳索；（ 4） 有摩擦的铰链；（ 5）连接两个质点的无质量弹性绳；（ 6）摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接 触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。 解：理想约束：（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 6） 非理想约束：（ 4）、（ 5） 下述质点系有几个自由度？ （ 1）平面四连杆机构（图 a）； （ 2）在固定铅垂面内运动的双摆（图 b）； （ 3）在平面内沿直线作纯滚动的轮（图 c）； （ 4）一端由铰链约束的杆（图 d）； （ 5）在水平面运动的球（图 e）； （ 6）平面机构（图 f）。 解： (a) 1 (b) 2 (c)1 (d)2 (e)5 (f)2 画出下列各图中 A、 B点的虚位移方向。 （ 1）沿直线纯滚动的轮（图 a），（ 2）四连杆机构（图 b），（ 3）曲柄摇杆机构（图 c），（ 4）不可伸长的绳索（图 d）。 解： （1）速度瞬心为 O，故 A， B两点的虚位移方向分别垂直于 OA、 OB O B r A r （2） A， B两点的虚位移方向分别垂直于 OA、 O 1 B O A r B r A r B r （ 3） A 点的虚位移方向平行于 OA， B 点的虚位移方向垂直于 OB （ 4） A、 B 两点的虚位移沿绳长方向 A r B r 试求下列各图中 M点的虚位移。各图均为平面机构。图（ a）中杆 OM可绕 O点转动， OM长为 l；图（ b）为曲柄连杆机构。曲柄 OA长为 a，连杆 AB长为 l， M为 AB上一点， AM=b。 解： （ a）由图可得 M点的坐标为： sin cos xl yl = = 所以： cos sin xl yl = = （ b） M点的坐标为： cos , sin MA MA xxb yyb = += (1) 其中： cos , sin AA xa ya = = (2) 222 sin sin , cos sin / a la l l = (3) 将 (2)、 (3)式代入 (1)式，再进行变分运算可得： 2 222 sin cos sin sin 2 cos 2sin M M ab xa l ab ya ll a = + =+ x y 试用不同方法确定图示机构中 A点的虚位移。并比较各种方法。 (a) 解：根据题意 方法一：（解析法） A点坐标为 sin2lx A = Lly A = cos2 由此 cos2lx A = sin2ly A = 则 lr A 2= （*） 同时由正弦定理 sin)sin( Ll =+ (1) 对（1）式变分得 ()( ) coscos Ll =+ 展开、移项得 () ( ) cossinsincoscoscos Lll +=+ (2) 在图示位置 = 且 cos2lL = 则（2）式化简为 2cos= 代入(*)式得 2cos2lr A = 方法二：（几何法） BA rr 2= B为 OA杆中点 2coslr B = 因此 2cos2lr A = (b) 解：根据题意 方法一：（解析法） A点坐标为 consthctgx A += 0= A y 则有 22 (/sin) ( )/sin AA rx h h= = 方法二：（几何法） 设曲柄与直角杆接触点为 B点 则有 2 ( /sin ) )/sin /sin AAB rxxh h= = (c) 解：根据题意， 方法一：（解析法） A点坐标为 cos2lx A = 0= A y 所以 2sin 2sin AA rx l l= = 方法二：（几何法） lr B = 2sincos lr A = 于是 sin2lr A = 4个重量均为 P 的重物，用绳子相连接，绳子则跨过一个定滑轮 A ，其中 3个重物放在 光滑的水平面上，第 4个重物则铅垂悬挂，如图所示。如绳重略而不计，求： （ 1） 系统的加速度；（ 2）在截面 ab 处，绳子的张力。 解法一 （牛顿第二定律）： 设截面 cd处绳子的张力为 F，则第 4个物体受力如图 (a)，根据牛顿第二定律有： P aPF g = (1) 光滑水平面上的 3个物体在运动方向受力如图 (b)，则有： 3 P aF g = (2) (1)、 (2)联立，解得系统的加速度： 1 4 ag= 截面 ab左端两个物体在运动方向的受力如图 (c)，则根据牛顿第二定律易得： 11 22 42 PP Ta gP gg = = 解法二 （达朗贝尔拉格朗日原理）： 各物体的虚位移方向如图所示，由于绳子不可伸长，所以： 1234 rrrr = = 设系统的加速度为 r ，由动力学普遍方程可得： c d P F F T (a) (b) (c) 1 r 2 r 3 r 4 r 4 444 1 40 i i PP Pr rr Pr rr gg = = 由 4 r 的任意性，可得： 4 g r = 设截面 ab处绳子的张力为 T，则有： 22 42 PPgP Tr gg = = 图示离心调速器以角速度 绕铅垂轴转动。每个球的重量为 P ，套管重 Q ，杆重略去不计。 aACECOC = 。求稳定旋转时，两臂 OA与 OB 和铅垂轴的交角 。 X Y P P Q A a B a 解：建立如图所示坐标系，系统所受约束为理想约束，主动力为两个球的重力 P和滑套的重 力 Q。各质点的坐标为： 2sin A xa= ， 0 A y = ； 2sin B xa= ， 0 B y = ； 0 O x = ， 2cos O ya= 变分可得： 2cos A xa = ， 0 A y = 2cos B xa = ， 0 B y = (1) 0 O x = ， 2sin O ya = 球的向心加速度为： 2 2sin A aa = ； 2 2sin B aa = (2) 由达朗贝尔拉格朗日原理可得： 0 ABOAABB PP Py Py Qy a x a x gg + = 将 (1)、 (2)代入，整理后可得： 2 (4 cos ) 0 P aQ g = 由于 是任意的，所以： 2 4cos P aQ g = 从而可得角 的值： 2 arccos 4 Q g aP = 三棱柱 A 沿三棱柱 B 的光滑斜面滑动， A 和 B 各重 P 、 Q ，三棱柱 B 的斜面与水平面成 角。 如开始时系统静止，求三棱柱 B的加速度。摩擦略去不计。 解：由动力学普遍方程 ()()0 AA A BB B mm+=Prr rr 其中 AA A x y=+rij， ,0 BB B B xy y=+ =rij ， () AAB yxxtg= 故有 BAA x xyctg = ， 代入动力学普遍方程整理得 ()( )0 AA BB A AA BB A mx mx x P my mxctg y + + = 由 , A A x y 任意性，得 0 AA BB mx mx+= ， 0 AA BB Pmy mxctg += 再由 () AAB yxxtg= 可得 2 sin 2 ()2(sin) B BAB PP xg m ctg m m tg Q P = + + ，方向向左 x y Q P