2019备战中考数学专题练习(全国通用)-二次函数的图象与二元一次方程的综合应用(含答案).pdf

2019 备战中考数学专题练习（全国通用） 二次函数的图象与二元一次方程的综合应用（含答案） 一、单选题 1.在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，则下列结 论正确的是（ ） A. a0，b0，c0 B. =1 C. a+b+c0 D. 关于 x 的方程 ax2+bx+c=1 有两个不相等的实数根 2.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（-1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（-3，0）和（-2，0） 之间，其部分图象如下图， 则以下结论：b 2-4ac0；a+b+c0；c-a=2；方程 ax2+bx+c-2=0 有两个相等的实 数根. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3.已知二次函数 yax 2bxc(a0)与 x 轴交于点(x 1 ， 0)与(x 2 ， 0)，其中 x1x 2 ， 方程 ax2bx ca0 的两根为 m，n(mn)，则下列判断正确的是 ( ) A. mnx 1x 2 B. mx 1x 2n C. x1x 2mn D. b24ac0 4.已知二次函数 y=x2-2x-3，点 P 在该函数的图象上，点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 d1、d 2 设 d=d1+d2,下列结论中： d 没有最大值； d 没有最小值； -1x3 时,d 随 x 的增大而增大； 满足 d=5 的点 P 有四个.其中正确结论的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.函数 yax 21 的图像经过点（2，0 ） ，则 的方程 的实数根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6.“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有 两个不相等的实数根 ”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（mn）是关 于 x 的方程 1（xa ） （xb ） =0 的两根，且 ab，则 a、 b、m、n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7.若方程 的两个根是3 和 1，那么二次函数 的图象的 对称轴是直线（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 8.关于 x 的方程 的两个相异实根均大于-1 且小于 3，那么 k 的取值范围 是 （ ） A. -1k0 B. k0 C. k3 或 k0 D. k-1 二、填空题 9.二次函数 y=mx2+（m+2 ）x+ m+2 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为 _ 10.二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx=m 有实数根，则 m 的最小值为 _ 11.已知二次函数 的部分图象如图所示，则一元二次方程 的解为：_. 12.如图, 已知直线 y=- x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 是抛物线 y=- x2+2x+5 的一个动 点,其横坐标为 a,过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=- x+3 于点 Q,则当 PQ=BQ 时,a 的值 是_ 13.“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有 两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若 p、q(P 是关于 x 的方程 2-(x-a)(x-b)=0 的两根且 a 则请用 “ 0 ； （2 ）由图像可知，对称轴大于 1，即 1; (3)由图像可知，x=1 时，y=0，即 a+b+c=0； （4 ）观察图象可知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=1 有两个交点，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=1 有两个不相等的实数根。 2.【答案】C 【考点】二次函数的图象，利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况，二次函数图像 与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】根据函数图象与 x 轴有两个交点，则 = 4ac 0 ，则 错误；根据题 意可得函数的对称轴为直线 x=1，则当 x=1 时和 x=3 时，函数值相等，则根据图示可 得：a+b+c0，则正确；根据对称轴可得： = 1，则 b=2a，将 x=1 代入解析式 可得：ab+c=2，则 a2a+c=2，即 ca=2，则 正确；根据函数图形可得当 y=2 时， x=1，则方程有两个相等的实数根，则正确.故答案为：C 【分析】只需要观察图像与 x 轴的交点即可，图像与 x 轴有两个交点即函数所对应的一 元二次方程由两个根； 只需要将 x=1，观察函数值 y 的正负性即可，根据一个根的取值范围和对称轴即可得到 另一个根的取值范围，即可得到当 x=1 是函数值的正负性； 需根据抛物线的顶点来解决，对称轴为 x=-1 则可得到系数 a，b 之间的等量关系，将 x=-1 代入函数得到 y=2，即可得到系数 a 与 c 之间的等量关系； 采用数形结合方法，将-2 移项即得到了函数值为 2，观察图像，函数值为 2 的点只有顶 点，那么就是对应的一元二次方程由两个相等的实数根。 3.【答案】B 【解析】 【解答】当 a0 时，如图 1，方程 ax2bx c a0 的两根为 m，n， 二次函数 yax 2bx c 与直线 ya 的交点在 x 轴上方，其横坐标分别为 m，n， mx 1x 2n； 当 a0 时，如图 2，方程 ax2bx ca0 的两根为 m，n， 二次函数 yax 2bx c 与直线 ya 的交点在 x 轴下方，其横坐标分别为 m，n， mx 1x 2n， 故答案为：B. 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当 a0 时，如图 1，方程 ax2bxc a 0 的两根为 m，n，二次函数 yax 2bxc 与直线 ya 的交点在 x 轴上方， 其横坐标分别为 m，n，从而得出答案；当 a0 时，如图 2，方程 ax2bxca0 的两 根为 m，n；二次函数 yax 2bxc 与直线 ya 的交点在 x 轴下方，其横坐标分别为 m，n，根据图像得出答案。 4.【答案】B 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】令二次函数 y=x2x3 中 y=0,即 x2x3=0， 解得： =1, =3. (i)当 x1 时, =x2x3, =x， d= + =x3x3=(x ) d1； (ii)当1x0 时, =x+2x+3, =x， d=x+x+3=(x )+ ， 1x3； (iii)当 0x3 时, =x+2x+3, =x， d=x+3x+3=(x )+ ， 3x ； (iv)当 3x 时, =x2x3, =x， d= + =xx3=(x ) ， 3d. 综上可知：d 有最小值，没有最大值，即成立， 不成立； 当 0x 时,d 单调递增, x3 时，d 单调递减， 10 同时成立， 解得-1k0， 故答案为：A. 【分析】令 y=x2+2kx+3k，其图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 y=0 的解，由图像可得当 x=-1 和 x=3 时，函数值 y 都大于 0，且 ，可列不等式组求解。 二、填空题 9.【答案】1 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】解：根据题意得：y=0 时，mx 2+（m+2） x+ m+2=0，=0 ， （m+2） 24m（ m+2）=0， 整理得：44m=0 ， 解得：m=1 故答案为：1 【分析】根据抛物线与 x 轴只有一个交点可得 列出关于 m 的方程即可求解。 10.【 答案】-3 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】解：由图象可知二次函数 y=ax2+bx 的最小值为3 ， ，解得 b2=12a， 一元二次方程 ax2+bx=m 有实数根， 0，即 b2+4am0， 12a+4am0， a0， 12+4m0， m3，即 m 的最小值为3 ， 故答案为：3 【分析】由抛物线顶点坐标公式可求得 a、b 的关系，则可表示出一元二次方程的判别式， 由根的情况则可得关于 m 的不等式，可求得 m 的取值范围，从而可求得 m 的最小值。 11.【 答案】 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】依题意得二次函数 y= 的对称轴为 x=-1,与 x 轴的一个交点 为(-3,0)， 抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标为（-1）2-（-3）=1， 交点坐标为(1，0) 当 x=1 或 x=-3 时，函数值 y=0， 即 ， 关于 x 的一元二次方程 的解为 x1=3 或 x2=1. 故答案为： . 【分析】根据抛物线的对称性，由与 x 轴的一个交点为(-3,0)，对称轴为 x=-1,得出抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标为(1，0)根据一元二次方程与二次函数的关系得出求方程 x22x+m=0 的解，其实质就是求函数 y=x22x+m 与 x 轴交点的横坐标，从而得出答案。 12.【 答案】-1,4, , 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】解：设点 P（a, ） ，则点 Q ，则 PQ= ， 由直线 y= 可得 A（4,0） ，B（0,3） ， 则 BQ= , PQ=BQ， ， ，或 ， 解得 ，或 故答案为-1,4, , 【分析】设点 P（a, ） ，则点 Q ，分别表示出 PQ 与 BQ 的长， 得方程 ，解该方程即可. 13.【 答案】pabq 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】如下图， 关于 x 的方程 2-(x-a)(x-b)=0 的两根 p、q(Pq)是二次函数 y=-(x-a)(x-b)与直线 y=-2 的两个交 点的横坐标， 由图可得 pabq. 故答案为：pabq. 【分析】根据二次函数的图像和性质可得，若 p、q 是关于 x 的方程 2-(x-a)(x-b)=0 的两根， 则相对应的二次函数 y=2-(x-a)(x-b)与 x 轴有两个公共点，且已知 a0,根据条件可画出简易 图像，然后从图像中比较大小即可。 14.【 答案】x=1 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】解：方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根为 x=3 和 x=1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点坐标为（3 ，0 ） 、 （1，0） ， 抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x= ， 即 x=1； 故答案为：x=1 【分析】根据已知方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x=3 和 x=1，可得抛物线 y=ax2+bx+c（a0） 与 x 轴的两个交点的横坐标分别为-3 和 1，结合二次函数的轴对称性即可求得对称轴。 15.【 答案】3 【考点】待定系数法求二次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，二次函数图像 与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】当 y=0 时，x 2+mx=0，解得 x1=0，x 2=m，则 A（m ，0） ， 点 A 关于点 B 的对称点为 A，点 A的横坐标为 1， 点 A 的坐标为（1 ，0） ， 抛物线解析式为 y=x2+x， 当 x=1 时，y=x 2+x=2，则 A（ 1，2） ， 当 y=2 时，x 2+x=2，解得 x1=2，x 2=1，则 C（2 ，1 ） ， AC 的长为 1（2 ）=3， 故答案为：3 【分析】由 y=0 求出点 A 的坐标，再根据点 A 关于点 B 的对称点为 A，点 A的横坐标为 1，可得出点 A 的坐标为（1 ，0） ，就可得出抛物线的解析式，然后求出点 A、C 的坐标， 由 ACx 轴，就可求出 AC 的长。 16.【 答案】 【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【解答】解：方程 ax2+bx+c=0 的两根为-3，1， 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标为（-3 ，0 ）和（1，0 ） ， 抛物线对称轴 x= =-1， 故答案为：x=-1 【分析】根据一元二次方程的两个根就是对应的二次函数与 x 轴的两交点的横坐标，再根 据对称轴为 x 轴的两交点的横坐标之和的一半，就可求出对称轴。 三、综合题 17.【 答案】 （1）解：y=（x-20）w=（x-20） （-2x+80） =-2x2+120 x-1600， y 与 x 的函数关系式为： y=-2x2+120 x-1600； （2 ）解：y=-2x 2+120 x-1600=-2（x-30） 2+200， 当 x=30 时，y 有最大值 200， 当销售价定为 30 元/千克时，每天可获最大销售利润 200 元； （3 ）解：当 y=150 时，可得方程： -2（x-30） 2+200=150， 解这个方程，得 x1=25，x 2=35， 根据题意，x 2=35 不合题意，应舍去， 当销售价定为 25 元/千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元 【考点】二次函数的最值，二次函数的应用，二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【分析】 （1）根据单价、价格、总价之间的逻辑关系，建立等量关系，化简后形成 二次函数； （2 ）根据二次函数最值的确定，将（1 ）得出的二次函数转化为顶点式，即可得出答案； （3 ）根据题意，将二次函数转为为二次方程求解即可。 18.【 答案】 （1）解： 抛物线 有一个公共点 M(1,0)， a+a+b=0，即 b=2a， 抛物线顶点 D 的坐标为 （2 ）解：直线 y=2x+m 经过点 M(1,0)， 0=21+m，解得 m=2， y=2x2， 则 得 (x1)(ax+2a2)=0, 解得 x=1 或 N 点坐标为 ab，即 a2a， a0， 如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E， 抛物线对称轴为 设DMN 的面积为 S， （3 ）解：当 a=1 时， 抛物线的解析式为： 有 解得： 如图 2， G(1,2)， 点 G、 H 关于原点对称， H(1,2)， 设直线 GH 平移后的解析式为：y=2x+t， x2x+2=2x+t， x2x2+t=0， =14(t2)=0， 当点 H 平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0) ， 把(1,0)代入 y=2x+t， t=2， 当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点,t 的取值范围是 【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线过 M(1,0)，从而将 M 点的坐标代入抛物线的解析式，得 出 a+a+b=0，进而得出 b=2a，然后用2a ，替换 b，抛物线的解析式变为 =ax2+ax+b=ax2+ax2a 再化为顶点式，即可得出定点 D 的坐标； （2 ）将 M 点的坐标代入 y=2x+m，求出 m 的值，从而得出直线函数关系式，再解直线及 抛物线的解析式联立的方程组，求解得出 x 的值，从而得出 N 点的坐标；由 ab，即 a2a，进而得出 a0 时，通过图中可以看出：当 10 的解集为 (1，3) （3 ）解：图中可以看出对称轴为 x=2， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 （4 ）解：抛物线 y=ax2+bx+c 经过(1，0)，(2，2) ，(3，0)， ， 解得：a=2 ，b=8 ，c=6， 2x2+8x6=k, 移项得2x 2+8x6k=0， =644(2)(6k)0， 整理得：168k0， k2 时 ,方程 ax2+bx+c=k 有 2 个相等的实数根 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数与 不等式（组）的综合应用，二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】 【分析】 （1）方程 ax2bxc0 的两个根就是二次函数 y=ax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标，观察函数图像可得出答案。 （2 ）要使 ax2bxc 0 ，就是观察抛物线 y=ax2bxc 再 x 轴上方的图像，写出取值范 围即可。 （3 ）观察函数图像，由于 a0 ，对称轴左边的图像部分是 y 随 x 的增大而减小，由对称 轴可得出 x 的取值范围。 （4 ）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据方程 ax2bxck 有两个不相等的 实数根，可得出 b2-4ac0，建立关于 k 的不等式，求解即可。