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,几何与代数,主讲:王小六,东南大学线性代数课程,回顾作业,Page167第2题注意：线性表示=1+2-3也是对的.(批改有错!),Page167第3题记A=(1,2),B=(e1,e2,e3).则AX=B有解向量组B能由向量组A表示.,Page167第5题要说明V不是子空间，只要找到一个说明加法或数乘不封闭的例子即可；但要说明V是一个子空间，就需要说明对任意的向量满足加法封闭性；对任意的向量和任意的实数满足数乘封闭性。,第四章n维向量,第3节子空间的基和维数,第四章n维向量,4.3基和维数,假设1,2,sRn,由1,2,s生成的向量空间,1,2,s生成元.,定义,记为L(1,2,s).,一由向量组生成的子空间,4.3子空间的基和维数,注:(1)L(1,2,s)=L(1,2,t),向量组1,2,s与1,2,t等价.,(2)如果A=(1,2,s),x=(x1,x2,xs)T,则Ax=x11+x22+xss,L(1,2,s)=Ax|xRs,R(A)=Rn|存在xRs使得=Ax=Ax|xRs;,Ax=b有解bR(A)=L(1,2,s),第四章n维向量,4.3基和维数,R(A)=L(1,2,s),问：反之，如果给定一个子空间V，如何寻找它的生成元呢？,第四章n维向量,4.3基和维数,一维空间：x|xR,二维空间：(x,y)|x,yR,三维空间：(x,y,z)|x,y,zR,x=x1,(x,y)=x(1,0)+y(0,1),(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1),(x,y)=m+n(只要,不共线),(x,y,z)=k1+k2+k3(只要,不共面),第四章n维向量,4.3基和维数,二.向量空间的基与维数,称1,2,r为子空间V的一组基,如果:,称r为V的维数.记为r=dim(V).,n维基本单位向量组就是Rn的一组基,dimRn=n;,注(3)零空间没有基,规定dim0=0.,1,2,r线性无关,V都能由1,2,r线性表示.,定义,注(2),注(1)子空间的基就是这个子空间的极小生成元集。并且基之间是等价的。,第四章n维向量,4.3基和维数,定理4.7.1,2,s的极大无关组是子空间,L(1,2,s)的基.自然成立,dimL(1,s)=r(1,s).,例求R3的子空间V=,xyx+2y-3z=0z,的一组基及维数.,第四章n维向量,4.3基和维数,我们还将会介绍更一般的求解齐次方程组解空间基的方法。,例假设向量组1=(1,2,-1),2=(2,-1,3),3=(3,1,2),试求子空间L(1,2,3)的一组基及维数.,例假设矩阵试求矩阵A的列空间的一组基及维数.,23-11-132,A=.,联系上例，即可得答案.,第四章n维向量,4.3基和维数,三.向量在基下的坐标,设1,2,r是V的一组基,由定义,V,唯一的一组有序实数k1,k2,kr使得=k11+k22+krr.,称k1,k2,krT为在1,2,r这组基下的坐标.,例假设向量组1=(1,2,-1),2=(2,-1,3),3=(3,1,2),试求3在所求的基下的坐标.,第四章n维向量,4.3基和维数,定义,四.基变换与坐标变换,设1,2,s和1,2,s是V的两组基,则存在ss矩阵C使,定义,第四章n维向量,4.3基和维数,1=c111+c212+cs1s,2=c121+c222+cs2s,s=c1s1+c2s2+csss,设1,2,s和1,2,s是V的两组基,ss矩阵C是从1,2,s到1,2,s的过渡矩阵.,若两组基是列相向量组，则有(1,2,r)=(1,2,r)C.,可以证明过渡矩阵一定是可逆的.(思考),注：,第四章n维向量,4.3基和维数,若两组基是行相向量组，则有12r,=CT.,12r,定理4.8在2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2和1,2是R2的两组基,V在这两组基下的坐标分别为x,y,则=(1,2)x,=(1,2)y.,(1,2)x=(1,2)y,x=(1,2)-1(1,2)y,为何可求逆？,第四章n维向量,4.3基和维数,定理4.8在2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2,3和1,2,3是R3的两组基,V在这两组基下的坐标分别为x,y,则=(1,2,3)x,=(1,2,3)y.,(1,2,3)x=(1,2,3)y,x=(1,2,3)-1(1,2,3)y,第四章n维向量,4.3基和维数,第四章n维向量,第4节向量的内积,4.4向量的内积,回顾,定义三维空间中向量的内积,向量的长度与夹角余弦的乘积,问：n维空间中向量的长度是什么？向量之间的夹角又是什么？,向量的坐标,第四章n维向量,4.4向量的内积,一.Rn中向量的内积,长度和夹角,1.设=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,记为,即,第四章n维向量,4.4向量的内积,2.内积的基本性质,对称性:=;,(2)线性性:=k1+k2;,(3)0;且=0=0.,考察y=x2+2x+.,n=(xai+bi)20i=1,=(2)240,2.,有没有其它的方法？,第四章n维向量,4.4向量的内积,3.对于n维实向量,称,为的长度,或模,记为|,即,4.长度的基本性质,(3)三角不等式:,(1)正定性:|0;且|=0=;,(2)齐次性:|k|=|k|(kR);,|+|+|.,第四章n维向量,4.4向量的内积,Cauchy-Schwartz不等式的重新表述|.,5.长度为1的向量称为单位向量.,对于非零向量,|1是一个单位向量.单位化/标准化.,第四章n维向量,4.4向量的内积,7.勾股定理,6.设,Rn,若0,0,则定义,的,若=0,即=/2,则称与正交,记为.,夹角为,|+|2=|2+|2(,).,第四章n维向量,4.4向量的内积,例.设,Rn,且与线性无关,求常数k,使+k与正交.,二.正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1.概念,第四章n维向量,4.4向量的内积,发现的结论设1,2,s是标准正交向量组,且=k11+k22+kss,则ki=,i=1,2,s.,2.结论,定理4.10.1,2,s正交线性无关.,定理4.11每个非零的向量空间V都有标准正交基.,第四章n维向量,4.4向量的内积,1=1,Schmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1,2,s单位化得:,第四章n维向量,4.4向量的内积,另外，从上述构造可总结：设1,2,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,s使得1,2,t与1,2,t等价(1ts).,第四章n维向量,4.4向量的内积,第二章n维列向量,2.6内积与正交矩阵,三.正交矩阵(orthogonalmatrix),满足QTQ=E或QQT=E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵,定理4.12.设Q为n阶实方阵,则下列条件等价:,性质.(1)Q为正交阵|Q|=1;,(2)Q的行(列)向量组构成Rn的一组标准正交基;,(1)Q是正交阵;,(3)QT是正交阵;(4)Q1是正交阵.,(2)A,B为正交阵AB为正交阵.,作业,To4系和10系:习题四（B）20(2),21上交时间：12月7日（周一）To2系:习题四（B）20(2),21,22,23,24,25(1)上交时间：12月8日（周二）,说明向量组是线性相关的方法：,1.定义,2.对应的齐次方程组Ax=有非零解,定理4.1当s2时,向量组1,2,s线性相关存在某个i(1is),使得i可以由其余s-1个向量线性表示.,3.一些特殊的情形,4.,一些总结,5.,6.,如果向量组中向量的个数大于它的秩，则向量组必线性相关.,7.,如果矩阵的行(列)数大于它的秩，则改矩阵的行(列)向量组必线性相关.,定理4.3如果向量组1,2,t可由1,2,s线性表示，而且ts,则1,2,t必定线性相关,(一个方阵可逆当且仅当它的行(列)向量组线性无关).,在比较向量组之间的个数或秩时，下列两个结论很有用：,推论4.1如果向量组1,2,t可由1,2,s线性表示，并且1,2,t线性无关,则ts.,定理4.5如果向量组1,2,t可由1,2,s线性表示，则r1,2,tr1,2,s.,
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