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第三节隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数,本节要点,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,一、隐函数的导数,隐函数的概念,所谓函数表示的是两个变量和之间的,确的关系式来表示.例如都反映了,这种对应关系.这类关系的特点是:对自变量的每一,关系.这种对应关系在某种情况下,可以用一个较为明,个取值,都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的,取值.用这种方式表达的函数称为显函数.,但某种情况下,这种对应关系是通过一个方程,就在区间上确定了一个函数又如,当限定,则在区间内确定了一个函数.,来确定的.通过方程可以确定和的对应,关系,但这个关系有时候不能象显函数那样用一个显式,方程来表示.例如方程,对方程,在某些情况下,隐函数能转化成显函数,例如在第一,但在某些情况下,并不能把隐函数转化成显函数.例,所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式.,我们把这一类函数称为隐函数.,种情况下,相应的函数关系可转化成,如由,对给定的方程,在什么条件可以确定隐,函数,并且关于可导,这个问题在下册,中将会详细讨论.在这里通过具体的例子来说明如何求,出隐函数的导数.,例1求由方程所确定的隐函数,解方程两边对求导,并注意到是的函数,利用,即有,从而得,的导数,复合函数的求导法则,有,例2求由方程所确定的隐函数,解方程两边对求导,得,因,所以即有,的导数.,例3求由方程,解方程两边对求导,得,将代入上式,解出,得,故切线方程为,点的切线方程.,确定的曲线在,二、由参数方程确定的函数的导数,在平面解析几何中,我们学习了用参数来表示曲线,表示的中心在原点、半径为的圆.通过参数可以建,如果,例如,参数方程,立与的对应关系:,或,如果,一般,若参数方程,确定变量与之间的函数关系,则称此函数为由参数,在上式中,若函数在某个定义区间上具有,方程所确定的函数.,单调、连续的反函数,并且此函数能与函,数构成复合函数,由此得函数,再由复合函数的求导法则,得,注意的是:这里的导数一般情况下,仍然可能是用参,数来表示.,例4求曲线,故切线方程为,即,解当时,曲线上相应的点的坐标为,曲线,线方程.,在处所对应的切线和法,在相应的点的切线斜率为,法线方程为,即,例5已知抛射体的运动轨迹的参数方程为,其中分别是抛射体初速度的水平、铅直分量（见,下图）,是重力加速度.,与,分别是抛射体在铅直平面上的,位置的横坐标和纵坐标.,求抛,射体在时刻时的运动速度,解先求速度的大小.,速度的水平分量和与铅直分量分,别为,因而抛射体运动速度的大小为,再求速度的方向,即轨迹的切线方向.,设是切角,则由导数的几何意义,有,例6一个半径为的圆在定直线上滚动时,圆周上任一,点的轨迹称为摆线.,计算由摆线的参数方程,所确定的函数,的导数.,解由求导公式得,三、相关变化率,设与都是可导函数,且变量与,之间存在某种联系,从而变化率与之间也存在,一定关系,这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.,例7一梯子长,上端靠着墙,下端着地,梯子顺,解建立坐标系如图.设在时刻时,梯子上端的坐标,方程两端对求导,得关系式,墙下滑.当梯子下端离墙时,沿着地面以的,速度离墙,问这时梯子上端下滑的速度是多少？,为梯子下端的坐标为,因梯子的长度为故有关系式,当代入上式,得,例8一飞机在离地面的高度,以的速,解建立坐标系如图.,设飞机与目标的水平距离为,度水平飞行到某目标上空,以便进行航空摄影,试求飞,机飞至该目标上空时,摄影机转动的角度.,则由已知条件得:,角速率为,所以当飞机飞至目标正上方时,角速度为,
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