运筹学Ⅱ练习题付答案.pdf

练 习 题 （ 博 弈 论 部 分 ） ：1 、 化 简 下 面 的 矩 阵 对 策 问 题 ： 2 、 列 出 下 列 矩 阵 对 策 的 线 性 规 划 表 达 式3 、 用 线 性 方 程 组 解 “齐 王 赛 马 ”的 纳 什 均 衡 。 解 ： 已 知 齐 王 的 赢 得 矩 阵 为 = 4 、 已 知 对 策 的 最 优 解 为 ： ， 对 策 值 ， 求 以 下 矩 阵 对 策 的 最 优 解 和 对 策值 5 、 设 矩 阵 对 策 的 支 付 矩 阵 为 ： ， 求 其 策 略 和 策 略 的 值 。 6 、 求 解 下 列 矩 阵 对 策 的 解 ： 练 习 题 （ 多 属 性 决 策 部 分 ） ： 1 、 拟 在 6 所 学 校 中 扩 建 一 所 ， 经 过 调 研 和 分 析 ， 得 到 目 标 属 性 值 如 下 表（ 费 用 和 学 生 就 读 距 离 越 小 越 好 ） 方 案 序 号 1 2 5 3 4 5 6 费 用 （ 万 元 ） 6 0 5 0 4 4 3 6 4 4 3 0 就 读 距 离（ KM） 1 0 .8 1 .2 2 .0 1 .5 2 .4 试 用 加 权 和 法 分 析 应 扩 建 那 所 学 校 ？ 讨 论 权 重 的 选 择 对 决 策 的 影 响 ！2 、 拟 选 择 一 款 洗 衣 机 ， 其 性 能 参 数 （ 在 洗 5 Kg 衣 物 的 消 耗 ） 如 下 表 ， 设 各 目 标 的 重 要 性 相 同 ， 采 用 折 中 法 选 择 合 适 的 洗 衣 机 序 号 价 格（ 元 ） 耗 时（ 分 ） 耗 电（ 度 ） 用 水（ 升 ） 1 1 0 1 8 7 4 0 .8 3 4 2 2 8 5 0 8 0 0 .7 5 3 3 0 3 8 9 2 7 2 0 .8 4 0 5 4 1 1 2 8 6 3 0 .8 3 5 4 5 1 0 9 4 5 3 0 .9 4 2 0 6 1 1 9 0 5 0 0 .9 4 0 5 3 、 六 方 案 四 目 标 决 策 问 题 的 决 策 矩 阵 如 下 表 ,各 目 标 的 属 性 值 越 大 越 好 ，请 用 ELECTRE法 求 解 ， 折 中 法 ， 加 权 法 求 解 序 号 1 2 0 0 .3 3 2 1 3 0 .5 3 3 1 5 0 .1 5 4 3 0 0 .7 2 5 5 0 .9 7 6 4 0 0 .0 1 排 队 论 练 习 ： 例 1： 在 某 单 人 理 发 馆 ， 顾 客 到 达 为 普 阿 松 流 ， 平 均 到 达 间 隔 为 20分 钟 ， 理 发 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 时 间 为 15分 钟 。 求 ： (1)顾 客 来 理 发 不 必 等 待 的 概 率 ； (2)理 发 馆 内 顾 客 平 均 数 ； (3)顾 客 在 理 发 馆 内 平 均 逗 留 时 间 ； (4)如 果 顾 客 在 店 内 平 均 逗 留 时 间 超 过 1.25小 时 ， 则 店 主 将 考 虑 增 加 设 备 及 人 员 。 问 平 均 到 达 率 提 高 多 少 时 店 主 才 能 做 这 样 考 虑 呢 ？ 例 2： 某 机 关 接 待 室 只 有 一 位 对 外 接 待 人 员 ， 每 天 工 作 10小 时 ， 来 访 人 员 和 接 待 时 间 都 是 随 机 的 。 若 来 访 人 员 按 普 阿 松 流 到 达 ， 其 到 达 速 率 =7人 /小 时 ， 接 待 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 其 服 务 速 率 =7.5人 /小 时 。 现 在 问 ： (1)来 访 者 需 要 在 接 待 室 逗 留 多 久 ？ 等 待 多 长 时 间 ？ (2)排 队 等 待 接 待 的 人 数 。 (3)若 希 望 来 放 者 逗 留 时 间 减 少 一 半 ， 则 接 待 人 数 应 提 高 到 多 少 ？ 例 3： 某 电 话 亭 有 一 部 电 话 ， 打 来 电 话 的 顾 客 数 服 从 泊 松 分 布 ， 相 继 两 个 人 到 达 时 间 的 平 均 时 间 为 10分 钟 ， 通 话 时 间 服 从 指 数 分 布 ， 平 均 数 为 3分 钟 。 求 ： （ 1） 顾 客 到 达 电 话 亭 要 等 待 的 概 率 ； （ 2） 等 待 打 电 话 的 平 均 顾 客 数 ； （ 3） 当 一 个 顾 客 至 少 要 等 3分 钟 才 能 打 电 话 时 ， 电 信 局 打 算 增 设 一 台 电 话 机 ， 问 到 达 速 度 增 加 到 多 少 时 ， 装 第 二 台 电 话 机 才 是 合 理 的 ？ （ 4） 打 一 次 电 话 要 等 10分 钟 以 上 的 概 率 是 多 少 ？ 例 4： 单 人 理 发 馆 有 6把 椅 子 接 待 人 们 排 队 等 待 理 发 。 当 6把 椅 子 都 坐 满 时 ， 后 来 到 的 顾 客 不 进 店 就 离 开 。 顾 客 平 均 到 达 率 为 3人 /小 时 ， 理 发 需 时 平 均 15分 钟 。 求 系 统 各 运 行 指 标 。 例 5： 某 一 个 美 容 店 系 私 人 开 办 并 自 理 业 务 ， 由 于 店 内 面 积 有 限 ， 只 能 安 置 3个 座 位 供 顾 客 等 候 ， 一 旦 满 座 则 后 来 者 不 再 进 店 等 候 。 已 知 顾 客 到 达 间 隔 与 美 容 时 间 均 为 指 数 分 布 ， 平 均 到 达 间 隔 80min， 平 均 美 容 时 间 为 50min。 试 求 任 一 顾 客 期 望 等 候 时 间 及 该 店 潜 在 顾 客 的 损 失 率 。 例 6： 病 人 以 平 均 每 小 时 8人 的 速 率 来 到 只 有 一 名 医 生 的 诊 所 ， 候 诊 室 有 9把 座 椅 供 病 人 等 候 ， 对 每 名 病 人 诊 断 时 间 平 均 6min。 计 算 ： （ 1） 开 诊 时 间 内 候 诊 室 满 员 占 的 时 间 比 例 ； （ 2） 求 下 述 情 况 的 概 率 a.有 一 个 病 人 ； b.有 2个 病 人 在 候 诊 室 外 排 队 。 例 7： 某 车 间 有 5台 机 器 ， 每 台 机 器 的 连 续 运 转 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 连 续 运 转 时 间 15分 钟 ， 有 一 个 修 理 工 ， 每 次 修 理 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 每 次 12分 钟 。 求 ： (1)修 理 工 空 闲 的 概 率 ； (2)五 台 机 器 都 出 故 障 的 概 率 ； (3)出 故 障 的 平 均 台 数 ； (4)等 待 修 理 的 平 均 台 数 ； (5)平 均 停 工 时 间 ； （ 6） 平 均 等 待 修 理 时 间 ； （ 7） 评 价 这 些 结 果 。 例 8： 一 个 机 修 工 人 负 责 3台 机 器 的 维 修 工 作 ， 设 每 台 机 器 在 维 修 之 后 平 均 可 运 行 5天 ， 而 平 均 修 理 一 台 机 器 的 时 间 为 2天 ， 试 求 稳 态 下 的 各 运 行 指 标 。 例 9： 一 个 工 人 负 责 照 管 6太 自 动 机 床 ， 当 机 床 需 要 加 料 、 发 生 故 障 或 刀 具 磨 损 时 就 自 动 停 车 ， 等 待 工 人 照 管 。 设 每 台 机 床 平 均 每 小 时 停 车 一 次 ， 每 次 需 要 工 人 照 管 的 平 均 时 间 为 0.1h。 试 分 析 该 系 统 的 运 行 情 况 。 例 10： 某 售 票 厅 有 三 个 窗 口 ， 顾 客 的 到 达 服 从 普 阿 松 过 程 ， 平 均 到 达 率 每 分 钟 =0.9人 ， 服 务 （ 售 票 ） 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 服 务 率 每 分 钟 =0.4人 。 现 设 顾 客 到 达 后 排 成 一 队 ， 依 次 向 空 闲 的 窗 口 购 票 ， 求 系 统 的 运 行 指 标 。 例 11： 某 商 店 收 款 台 有 3名 收 款 员 ， 顾 客 到 达 为 每 小 时 504人 ， 每 名 收 款 员 服 务 率 为 每 小 时 240人 ， 设 顾 客 到 达 为 泊 松 输 入 ， 收 款 服 务 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 求 解 。 例 12： 某 银 行 有 3个 出 纳 员 ， 顾 客 以 平 均 速 度 为 4人 /分 钟 的 泊 松 流 到 达 ， 所 有 的 顾 客 排 成 一 队 ， 出 纳 员 与 顾 客 的 交 易 时 间 服 从 平 均 数 为 0.5 分 钟 的 负 指 数 分 布 ， 试 求 ： （ 1） 银 行 内 空 闲 时 间 的 概 率 ； （ 2） 银 行 内 顾 客 数 为 n时 的 稳 态 概 率 ； （ 3） 平 均 队 列 长 ； （ 4） 银 行 内 的 顾 客 平 均 数 ； （ 5） 在 银 行 内 的 平 均 逗 留 时 间 ； （ 6） 等 待 服 务 的 平 均 时 间 。 考 研 真 题 例 1： 为 开 办 一 个 小 型 理 发 店 ， 目 前 只 招 聘 了 一 个 服 务 员 ， 需 要 决 定 等 待 理 发 的 顾 客 的 位 子 应 设 立 多 少 。 假 设 需 要 理 发 的 顾 客 到 来 的 规 律 服 从 泊 松 流 ， 平 均 每 4分 钟 来 一 个 ， 而 理 发 的 时 间 服 从 指 数 分 布 ， 平 均 3分 钟 一 个 人 ， 如 果 要 求 理 发 的 顾 客 因 没 有 等 待 的 位 子 而 转 向 其 他 理 发 店 的 人 数 占 理 发 的 人 数 的 7%时 ， 应 该 安 放 几 个 供 顾 客 等 待 的 位 子 ？ 例 2： 工 件 按 泊 松 流 到 达 服 务 台 ， 平 均 间 隔 时 间 为 10分 钟 ， 假 设 对 每 一 工 件 的 服 务 所 需 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 服 务 时 间 8分 钟 。 求 ： 1.工 件 在 系 统 内 等 待 服 务 的 平 均 数 和 工 件 在 系 统 内 平 均 逗 留 时 间 ； 2.若 要 求 在 90%的 把 握 使 工 件 在 系 统 内 的 逗 留 时 间 不 超 过 30分 钟 ， 则 工 件 的 平 均 服 务 时 间 最 多 是 多 少 ？ 3.若 每 一 工 件 的 服 务 分 两 段 ， 每 段 所 需 时 间 都 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 都 为 4分 钟 ， 在 这 种 情 况 下 ， 工 件 在 系 统 内 的 平 均 数 是 多 少 ？ 例 3： 某 机 关 接 待 室 ， 接 待 人 员 每 天 工 作 10小 时 。 来 访 人 员 的 到 来 服 从 泊 松 分 布 ， 每 天 平 均 有 90人 到 来 ， 接 待 时 间 服 从 指 数 分 布 ， 平 均 速 度 为 10人 /小 时 。 试 求 排 队 等 待 接 待 的 平 均 人 数 ； 等 待 接 待 的 多 于 2人 的 概 率 ， 如 果 使 等 待 接 待 的 人 平 均 为 两 人 ， 接 待 速 度 应 提 高 多 少 ？ 例 4： 经 观 察 ， 某 海 关 入 关 检 查 的 顾 客 平 均 每 小 时 到 达 10人 ， 顾 客 到 达 服 从 泊 松 分 布 ， 关 口 检 查 服 务 时 间 服 从 负 指 数 分 布 ， 平 均 时 间 是 5分 钟 ， 试 求 ： 1 顾 客 来 海 边 不 用 等 待 的 概 率 ； 2 海 关 内 顾 客 的 平 均 数 ； 3 顾 客 在 海 关 内 平 均 逗 留 时 间 ； 4 当 顾 客 逗 留 时 间 超 过 1.2小 时 时 ， 则 应 考 虑 增 加 海 关 窗 口 及 人 数 ， 问 平 均 到 达 率 提 高 多 少 时 ， 管 理 者 才 作 这 样 的 打 算 。 存 储 论 练 习 例 1 ：某 企 业 为 了 满 足 生 产 需 要 ， 定 期 向 外 单 位 订 购 一 种 零 件 。 这 种 平 均 日 需 求 为 1 0 0 个 ， 每 个 零 件 一 天 的 存 储 费 是 0 .0 2 元 ， 订 购 一 次 的 费 用 为 1 0 0元 。 假 定 不 允 许 缺 货 ， 求 最 佳 订 货 量 ， 订 货 间 隔 期 和 单 位 时 间 总 费 用 （ 假 定 订 货 后 红 火 单 位 能 立 即 到 货 ） 。 例 2 ：某 物 质 的 销 售 速 度 是 2 吨 /天 ， 订 货 费 用 1 0 元 /天 ， 存 储 费 0 .2 元 /吨 .天 ， 若 以 3 0 6 天 为 一 个 计 划 期 （ 年 ） 。 试 分 析 不 允 许 缺 货 的 最 佳 销 售 存 储 模型 。 例 3 ： 某 装 配 车 间 每 月 需 要 零 件 4 0 0 件 ， 该 零 件 由 厂 内 生 产 ， 每 月 生 产 8 0 0 件 ，每 批 生 产 装 配 费 用 为 1 0 0 元 ， 每 月 单 位 零 件 的 存 储 费 为 0 .5 元 ， 试 求 最 小 费 用 和 经 济 批 量 例 4 ：某 企 业 每 月 需 要 某 种 部 件 2 0 0 0 个 ， 每 个 成 本 1 5 0 元 ， 每 年 每 个 部 件 的 存 储 费 为 成 本 的 1 6 ， 每 次 订 货 费 用 为 1 0 0 元1 ） 在 不 允 许 缺 货 的 情 况 下 ， 求 该 部 件 的 经 济 订 货 批 量 和 最 小 费 用 ； 2 ） 在 运 行 缺 货 的 情 况 下 ， 每 月 每 个 部 件 的 缺 货 损 失 费 5 元 ， 求 最 佳订 货 批 量 、 最 大 存 储 量 、 最 大 缺 货 量 和 最 小 费 用 例 5 ：某 印 刷 厂 每 周 需 要 3 2 筒 卷 纸 ， 订 货 费 为 2 5 元 /次 ， 存 储 费 为 1 元 /筒 周 。 供 应 商 的 批 发 价 格 见 下 ， 在 不 允 许 缺 货 且 及 时 供 应 ， 求 最 佳 订 货 量例 6 ： 一 自 动 化 工 厂 的 组 装 车 间 从 本 厂 的 装 配 车 间 订 购 各 种 零 件 ， 估 计 下 一 年 度 的 某 种 零 件 的 需 求 量 为 单 位 ， 车 间 年 存 储 费 用 为 其存 储 量 价 值 的 ， 该 零 件 每 单 位 价 值 元 ， 所 有 订 货 均 可 及 时 送 货 。 一 次 订 货 的 费 用 是 元 ， 车 间 每 年 工 作 天求 ： 经 济 订 货 批 量 ， 每 年 订 货 多 少 次 ， 如 果 从 订 货 到 交 货 的 时 间 为 个 工作 日 ， 产 出 是 一 致 连 续 的 ， 并 设 安 全 存 量 为 单 位 ， 求 订 货 点 例 7 ： 某 公 司 每 年 需 某 种 零 件 1 0 0 0 0 个 ， 假 定 定 期 订 购 且 订 购 后 供 货 单 位能 及 时 供 应 ， 每 次 订 购 费 用 为 2 5 元 ， 每 个 零 件 每 年 的 存 储 费 为 0 .1 2 5 元 ， 求 ： 不 允 许 缺 货 ， 求 最 优 订 购 批 量 以 及 年 订 货 次 数 ， 允 许 缺 货 ， 问 单 位缺 货 损 失 费 用 为 多 少 时 ， 一 年 只 需 订 购 3 次 例 8 ： 有 一 个 生 产 和 销 售 图 书 馆 设 备 的 公 司 ， 经 营 一 种 图 书 专 用 书 架 ，基 于 以 往 的 销 售 记 录 和 今 后 市 场 的 预 测 ， 估 计 今 年 一 年 的 需 求 量 为 4 9 0 0 个 ， 犹 豫 占 有 资 金 的 利 息 以 及 存 储 库 房 和 其 他 人 力 物 力 的 原 因 ， 存 储 一个 书 架 一 年 要 花 费 1 0 0 0 元 ， 这 种 书 架 每 年 的 生 产 能 力 为 9 8 0 0 个 ， 而 组 织 一 次 生 产 要 花 费 设 备 调 试 等 准 备 费 用 5 0 0 元 ， 该 公 司 为 了 把 成 本 降 到 最低 ， 应 如 何 组 织 生 产 ， 求 出 最 优 生 产 批 量 ， 相 应 的 周 期 ， 最 少 的 每 年 总 费 用 以 及 每 年 的 生 产 次 数 。 假 设 允 许 缺 货 ， 其 总 费 用 最 少 的 经 济 批 量 和最 优 缺 货 量 为 多 少 ？ 一 年 最 少 总 费 用 是 多 少 ？ （ 假 设 每 个 书 架 缺 货 一 年 的 缺 货 费 用 为 2 0 0 0 元 ）例 9 ： 某 电 话 制 造 公 司 购 买 大 量 半 导 体 管 用 于 制 造 电 子 开 关 系 统 ， 不 允 许 缺 货 ， 需 求 速 率 为 R 2 5 0 0 0 0 只 ， 每 次 订 货 准 备 费 用 为 1 0 0 元 ， 年 度 单位 库 存 费 用 是 单 位 购 进 价 格 的 2 4 %， 即 ： 供 应 者 的 价 格 如 下 表 所 示 ， 试 确 定 最 优 订 货 批 量 。 订 货 量 单 位 价 格（ 元 ） 1 2 1 1 1 0 9 非 线 性 规 划 练 习 ：思 考 题 ： 1 判 断 函 数 的 凸 凹 性（ 1 ） ， （ 2 ）（ 3 ） 2 分 别 用 斐 波 那 契 法 和 黄 金 分 割 法 求 下 述 函 数 的 极 小 值 ， 初 始 的 搜索 区 间 为 ， 要 求 。 3 试 计 算 出 下 述 函 数 的 梯 度 和 海 赛 矩 阵（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）4 用 梯 度 法 （ 最 速 下 降 法 ） 求 函 数 的 极 大 点 ， 初 始 点 。 5 用 牛 顿 法 求 解 ， 初 始 点 ， 分 别 用 最 佳 步 长 和 固 定 步 长 进 行 计 算 。6 写 出 下 述 非 线 性 规 划 问 题 的 K-T条 件 （ 1 ） （ 2 ） 7 二 次 规 划 （ 1 ） 用 K-T条 件 求 解 ；（ 2 ） 写 出 等 价 的 线 性 规 划 问 题 并 求 解 。 博 弈 论 部 分 参 考 答 案解 ： 1 、由 于 第 一 列 的 值 总 是 不 大 于 第 四 列 的 值 ， 故 舍 去 第 四 列 ， 得 到 ， 由 于 第 一 行 总 是 小 于 第 四 行 ， 舍 去 第 一 行 ， 由 于 第 二 行 总 是 不 小 于 第 五 行 ， 舍去 第 五 行 得 在 余 下 的 对 策 中 ， 第 二 列 总 是 大 于 第 一 列 ， 舍 去 第 二 列 ， 第 五 列 总 是 大 于 第 三 列 ， 舍 去 第 五 列 得 到 ： ， 2 、 ， 所 以 不 存 在 纯 策 略 意 义 下 的 解 。对 于 这 个 矩 阵 对 策 ， 则 对 于 剧 中 人 1 来 说 ， 在 剧 中 人 采 用 最 优 策 略 以 后 ， 其 收 益 要 大 于 （ 因 为 双 方 都 理 智 ） ， 即 ：对 于 局 中 人 来 说 ， 在 局 中 人 采 用 最 优 策 略 以 后 ， 局 中 人 的 损 失 不 超 过 ， 即 ：由 于 最 优 解 存 在 的 条 件 是 ， 可 以 将 两 个 表 达 式 表 达 为 ：， 将 两 个 线 性 规 划 的 约 束 条 件 同 除 以 得 到 ： 设 ， 由 于 ， 则 原 式 变 为 ： 求 解 线 性 规 划 即 可 。3 、 首 先 尝 试 用 线 性 方 程 组 来 解 （ 注 意 条 件 ） 由 于 无 鞍 点 ， 对 齐 王 和 田 忌 来 说 不 存 在 最 优 纯 策 略 。 设 其 最 优 混 合策 略 为 ， 且 解 方 程 组 解 之 得 ： ； ， 。 由 于 所 得 的 解 为 最 优 解 （ 当 其 中 有 0 或 小 于 0 的 解 时 ， 方 法 不 可 用 ， 解 不正 确 ） 4 、根 据 相 应 定 理 ： 如 果 有 矩 阵 对 策 则 ；如 果 有 矩 阵 对 策 则 根 据 上 述 定 理 可 得 ：所 以 最 优 解 为 ： ， 对 策 值 5 、 略6 、 根 据 对 偶 问 题 的 松 弛 互 补 定 理 （ 如 果 对 应 某 一 约 束 条 件 的 对 偶 变 量 值 为 非 零 ， 则 该 约 束 条 件 取 严 格 等 式 ， 如 果 约 束 条 件 取 严 格 等 式 ， 则 其 对 应 的 对 偶 变 量 一 定 为 零 ）在 保 证 没 有 零 和 负 数 解 的 情 况 下 ， 可 以 采 用 线 性 方 程 组 来 解 ： 采 用 线 性 方 程 组 的 方 法 ， 得 到 线 性 方 程 组 ：解 上 式 ， 得 到 ： ， 同 理 可 求 多 属 性 决 策 部 分 1 、 解 ：由 于 各 自 的 量 纲 不 同 ， 所 以 无 法 直 接 比 较 ， 首 先 消 除 量 纲 的 影 响 ： 分 别 以 6 0 为 分 子 和 以 2 .4 为 分 子 进 行 计 算 得 到 下 表 ： 方 案 序 号 1 2 3 4 5 6 费 用 （ 万 元 ） 1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .4 2 就 读 距 离（ KM） 2 .4 3 2 1 .2 1 .6 1 所 以 其 权 值 分 别 为 ： 方 案 序 号 1 2 3 4 5 6 权 值 3 .4 4 .2 3 .4 2 .8 3 .0 3 所 以 采 用 方 案 22 、 首 先 确 定 序 号 价 格（ 元 ） 耗 时（ 分 ） 耗 电（ 度 ） 用 水（ 升 ） 1 1 0 1 8 7 4 0 .8 3 4 2 2 8 5 0 8 0 0 .7 5 3 3 0 3 8 9 2 7 2 0 .8 4 0 5 4 1 1 2 8 6 3 0 .8 3 5 4 5 1 0 9 4 5 3 0 .9 4 2 0 6 1 1 9 0 5 0 0 .9 4 0 5 首 先 规 范 化 各 个 参 数 ： 序 号 价 格（ 元 ） 耗 时（ 分 ） 耗 电（ 度 ） 用 水（ 升 ） 1 1 .1 6 8 9 5 9 1 .0 8 1 0 8 1 1 .1 2 5 1 .2 2 8 0 7 2 1 .4 1 1 .2 1 .2 7 2 7 2 7 3 1 .3 3 4 0 8 1 1 .1 1 1 1 1 1 1 .1 2 5 1 .0 3 7 0 3 7 4 1 .0 5 4 9 6 5 1 .2 6 9 8 4 1 1 .1 2 5 1 .1 8 6 4 4 1 5 1 .0 8 7 7 5 1 1 .5 0 9 4 3 4 1 1 6 1 1 .6 1 1 .0 3 7 0 3 7 计 算 理 想 解 和 反 理 想 解各 个 选 择 距 离 理 想 解 和 反 理 想 解 的 距 离 是 ： 所 以 ，选 择 最 大 值 为 ： 0 .4 7 5 7 5 8 ， 所 以 选 择 第 五 个 方 案 。 3 、 排 队 论 部 分 1 、 解 ： 依 题 意 知 题 设 排 队 系 统 属 M/M/1/ / /FCFS模 型 且 ： （ 小 时 /人 ） ， （ 人 /小 时 ） ， 则(1) (2)(3)小 时 =60分 钟 (4)由 （ 小 时 ） 及 （ 人 /小 时 ） ，知 （ 人 /小 时 ） ， 平 均 到 达 率 至 少 提 高 3.2 3=0.2（ 人 /小 时 ） 。 2 、 解 ： 依 题 意 ， 用 于 M/M/1/ / /FCFS排 队 模 型已 知 ， 系 统 运 行 指 标 如 下 ： (1)（ h） =120（ 分 钟 ） （ 小 时 ） =112（ 分 钟 ） (2)（ 人 ）(3)若 要 求 小 时 ， 即 逗 留 时 间 比 原 来 减 少 一 半 ， 则 ： 由 得 每 小 时 若 能 平 均 接 待 8人 ， 可 使 来 访 者 平 均 逗 留 的 时 间 比 原 来减 少 一 半 。 3 、 解 ： 由 题 意 知 ， 模 型 为 M/M/1， 客 源 、 容 量 不 限 的 排 队 系 统 ， 且 ： （ 人 /分 ） ， （ 人 /分 ） ， .于 是（ 1） 顾 客 到 达 必 须 等 待 的 概 率 为 ： （ 2） 等 待 用 电 话 的 平 均 顾 客 数 ： （ 3） 到 达 速 度 即 为 平 均 到 达 率 ， 由 题 意 知 ： 从 而 ， （ 人 /分 ） 。 （ 4） 打 一 次 电 话 的 时 间 即 为 顾 客 逗 留 的 时 间 T： （ 分 ） 。 4 、 解 ： N=7为 系 统 最 大 的 顾 客 数 ， =3， =60/15=4 某 顾 客 一 到 达 就 能 理 发 ， 这 种 情 形 相 当 于 理 发 馆 内 没 有 顾 客 ， 所 求 概 率 为 ： (1)理 发 馆 中 平 均 顾 客 数 期 望 值 ：(2)理 发 馆 中 排 队 等 待 服 务 的 平 均 顾 客 数 期 望 值 ： (3)顾 客 在 理 发 馆 内 逗 留 的 期 望 值 ：（ 小 时 ） =43.8（ 分 钟 ） (4)顾 客 在 理 发 馆 内 排 队 等 待 时 间 的 期 望 值 ：（ 小 时 ） (5)在 可 能 到 来 的 顾 客 中 有 百 分 之 几 不 等 待 就 离 开 ， 这 就 是 求 系 统 中有 7个 顾 客 的 概 率 ： ， 这 也 是 理 发 馆 的 损 失 率 。 5 、 解 ： 这 是 一 个 M/M/1/r系 统 ， 由 题 意 知 ：（ min/人 ） ， （ min/人 ） 故 服 务 强 度 为 ：则 ： 人人 人 故 任 一 顾 客 期 望 等 待 时 间 为 ： 该 店 潜 在 顾 客 的 损 失 率 即 系 统 满 员 的 概 率 为 ： 6 、 解 ： （ 1） 这 个 系 统 包 含 候 诊 室 与 诊 断 室 ， 所 以 当 候 诊 室 刚 好 满 员 时 ， n=1+9=10，即 占 开 诊 时 间 的 2.1% （ 2） a 系 统 已 扩 展 到 n=1+9+1+11 b.乘 上 0.8得 到 新 的 概 率 为 ： 0.8 0.0172 0.0138 7 、 解 ： m=5，（ 1） （ 2）（ 3） （ 台 ） （ 4） （ 台 ）（ 5） （ 分 钟 ） （ 6） （ 分 钟 ） （ 7） 机 器 停 工 时 间 过 长 ， 修 理 工 几 乎 没 有 空 闲 时 间 ， 应 当 提 高 服 务 率 减 少 修 理 时 间 或 增 加 工 人 。 8 、 解 ： 依 题 意 ， 用 于 M/M/1/m/m/FCFS排 队 模 型 已 知 ， N=3； （ 台 ）（ 台 ） （ 天 ）（ 天 ） 9 、 解 ： 由 题 意 知 ， 这 是 一 个 M/M/1/6/6系 统 ， 有 ： m=6， 台 /h， 台 /h=10台 /h，工 人 空 闲 的 概 率 为 ： 停 车 的 机 床 （ 包 括 正 在 照 管 和 等 待 照 管 ） 的 平 均 数 为 ：台 等 待 照 管 的 机 床 平 均 数 为 ：平 均 停 车 时 间 为 ： =9.83min平 均 等 待 时 间 为 ： 生 产 损 失 率 （ 即 停 车 机 床 所 占 比 例 ） 为 ：机 床 利 用 率 ： 1 0 、 解 ： 这 是 一 个 多 服 务 台 排 队 模 型 。 C=3， ， 代 入 公 式 得 ：(1) 整 个 售 票 所 空 闲 概 率 ： (2 ) (2)平 均 队 长 ： ， =3.95 (3)平 均 等 待 时 间 和 逗 留 时 间 ：=1.7/0.9=1.89分 钟 ， =1.89+1/0.4=4.39分 钟 顾 客 到 达 后 必 须 等 待 的 概 率 为 ：1 1 、 解 ： 依 题 意 c=3， =240， ， 于 是 ： =0.0025，=0.0025+30.159=0.4795, (小 时 ) 1 2 、 解 ： 这 是 M/M/3模 型 ， 顾 客 源 、 容 量 均 无 限 ， 单 队 3个 服 务 台 并 联 的 情 形 。 此 时 ： .（ 1） 银 行 内 空 闲 时 间 的 概 率 即 没 有 顾 客 时 的 概 率 ： ； （ 2） （ 3） 平 均 队 列 长 ： （ 4） 银 行 内 顾 客 的 平 均 数 ： （ 5） 银 行 内 顾 客 的 平 均 逗 留 时 间 ： （ 6） 顾 客 等 待 服 务 的 平 均 时 间 ： 考 研 题 解 答 ： 1 、 解 ：. 令 ： ， 解 得 ： N=1 .6 72 、 解 ： 1（ 人 ） （ 分 钟 ）2 得 ， 故 工 件 的 平 均 服 务 时 间 最 多 是 7.7分 钟 。 3 模 型 已 变 为 ， 其 中 。， 则 ： 所 以 ：3 、 解 ： 12 3 解 得 ， 故 接 待 速 度 应 提 高 4 、 解 ：1 2 （ 人 ） 3 （ 小 时 ）4 得 ， 即 人 /h时 要 增 开 窗 口 。 存 储 论 练 习1 、 解 ： 本 例 题 属 于 不 允 许 缺 货 ， 生 产 时 间 很 短 的 类 型 。 根 据 表 达 式 ：,(其 中 ， 为 订 购 手 续 费 ， 为 单 位 存 储 费 ， R为 需 求 速 度 ， 为 一 次 订 购 量 。 本 例 中 ， ,将 相 应 值 带 入 得 到 ：6 ： 解 ： 根 据 题 意 ， 得 知 ： 元 /件 ， 订 货 费 用 元 /次 ， 需 求 量 为 2 0 0 0 ， 所 以 ， 最 佳订 货 批 量 为 ： 件 。 每 年 订 货 次 数 为 ： 次 个 工 作 日 的 需 求 量 为 件 ， 故 订 货 点 为 ： 8 0 0 +5 0 件 。 例 7 ： 解 ：个 允 许 缺 货 时 （ 该 模 型 变 为 允 许 缺 货 ， 瞬 时 补 货 ） ， ,解 得例 8 ： 解 ： 该 题 目 属 于 不 允 许 缺 货 ， 瞬 时 补 货 的 模 型 个每 年 的 生 产 次 数 为 ： 每 年 的 总 费 用 为 ：如 果 允 许 缺 货 ， 则 最 优 缺 货 量总 费 用 为 ： 9 ： 解 ：年 单 位 货 物 总 费 用 为 ： ， 对 表 达 式 的 Q求 导 ， 得 到 非 线 性 规 划 练 习 ：1 、 解 ： 根 据 相 关 理 论 ， 得 ： （ 1 ） 为 凸 函 数 ， （ 2 ） 得 到 为 凸 函 数 （ 3 ） 为 凹 函 数2 、 解 ： 根 据 裴 波 那 契 序 列 为 ： n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F n 1 1 2 3 5 8 1 3 2 1 3 4 因 为 区 间 为 ， 设 = 0 .0 5 、 a =1 、 b =1 5 ， 所 以 所 以 ， 将 ， 带 入 表 达 式 得 到 ： ；因 为 ， 所 以 搜 索 区 间 变 为 由 于 在 新 的 区 间 ， 假 设 所 以 只 需 要 计 算， 搜 索 区 间 变 为 ， 设 得 到 新 的 ，得 到 ， 所 以 搜 索 区 间 变 为 ： 假 设 ， 则 ， 搜 索 区 间 变 为 ： ， 搜 索 区 间 变 为 ：， 由 于 已 达 到 精 度 要 求 ， 所 以 最 优 点 为 ， 最 优 值 为 -1 6 8 .9 4 7 请 自 己 用 黄 金 分 割 法 来 求 解 并 比 较 两 者 的 精 度4 、 略 5 、 用 梯 度 法 （ 最 速 下 降 法 ） 求 函 数 的 极 大 点 ， 初 始 点 。解 ： 原 式 为 求 极 大 值 ， 所 以 可 以 找 出 其 最 小 值 为 ： ， ， 海 赛 矩 阵 正 定 ， 局 部 极 小 点 就 是 全 局 极 小 点， 将 （ 1 ,1 ） 带 入 ， 得 到 ： 所 以 ， 这 时 候 ， 将 带 入 ， 梯 度 为 （ 0 ,0 ） 为 极 小 点 。 6 、 用 牛 顿 法 求 解 ， 初 始 点 ， 分 别 用 最 佳 步 长 和 固 定 步 长 进 行解 ： 当 时 ： 其 海 赛 矩 阵 ： 为 正 定 ， 函 数 为 凸 函 数 ， 局 部 极 小 点 为 全 局 极 小 点 。根 据 相 关 理 论 并 将 初 始 点 带 入 并 计 算 海 赛 矩 阵 的 逆 阵 为 得 到 ： ，同 理 得 到 ： ， 计 算 终 止 ， 得 到 最 优 解 当 用 最 佳 步 长 时 ： 由 k： k） 由 上 面 的 计 算 得 到 ：， ， 将 初 始 点 带 入 得 到 ： .将 带 入 表 达 式 ， 并 对 求 导 得 到 ： ， 带 入 得 到 7 、 用 K-T条 件 求 解 ； 写 出 等 价 的 线 性 规 划 问 题 并 求 解 。解 ： 首 先 将 目 标 函 数 最 小 化 为 ： 目 标 函 数 正 定 ， 设 K-T 点 为 ， 则 函 数 变 为 ：， 和 约 束 条 件 联 立 得 到 ： ， 从 而 得 到 解 等 价 的 线 性 规 划 问 题 为 ：根 据 二 次 规 划 定 理 ： （ 对 于 一 切 的 和 ）得 到 ： ,带 入 上 式 得 到 ： 列 出 线 性 规 划 表 达 式 为 ： cj 0 0 0 0 0 0 -1 -1 CB X B x1 x2 T1 T2 s1 R 1 R 2 -1-1 0 R 1 R 2 s1 4 2 1 -1 0 0 1 02 4 2 0 -1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 -4-8 2 j