资源描述
2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：_ 姓名：_ 班级：_ 考号：_题号一二总分得分一、填空题1已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为若，则椭圆离心率的取值范围是 . 2设椭圆1（ab0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 3已知圆与抛物线的准线相切，则的值为 . 4设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)_必在圆x2y22上必在圆x2y22外必在圆x2y22内解析：由e，得a2c，bc.所以x1x2，x1x2.于是，点P(x1，x2)到圆心(0,0)的距离为 1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=x+b与椭圆弧相切，与AB交于点E.(1）求证：；(2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程12设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆(1)求椭圆的离心率； (2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程； (3)设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围13如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除，再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为，求椭圆段的方程；(）在（）的条件下，已知为过的一条直线，与“椭圆帽”的两个交点为，若，求直线的方程；(）在（）的条件下，如图，已知为过的一条直线，与“椭圆帽”的两个交点为，为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足，求的取值范围.P分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出点的坐标，易得直线方程；关注的实质，涉及分类讨论.解答：(）由题意：，则；则椭圆段的方程：；(）由题意：，则，设，则， 则，则直线的方程是：；(）（1）为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足，则必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则， ，所以：，设(1）时，在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则则；(2）时，在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则，且则；综上可知：的取值范围是.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8已知：“过圆上一点的切线方程是.”(）类比上述结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）；(）过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，求过两点的直线方程；(）若过椭圆外一点作两直线与椭圆切于两点，且恰好通过椭圆的左焦点，证明：点在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（）的结论，而（）的解决则体现了方法的类比.解答：(）椭圆上一点的切线方程是；(）设.由（）可知：过点的椭圆的切线的方程是：；过点的椭圆的切线的方程是：；因为都过点，则，则过两点的直线方程是：(）由（）知过两点的直线方程是：， 由题意：在直线上，则，则 点在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.14 已知椭圆x2+=1(0b0时，求椭圆离心率的取值范围； (2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论15如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且=0，(1）求椭圆的方程；(2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论.16椭圆上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆 (1)求椭圆的离心率； (2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程； (3)设点在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围417设椭圆焦点坐标为F1（-c,0）, F2（c,0）,点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足. （I）求椭圆的方程; （II）设A,B是圆与与y轴的交点，是椭圆上的任一点，求的最大值.（III）设0是椭圆上的一个顶点，为圆的任一条直径，求证为定值。18设椭圆的方程为1（m，n0），过原点且倾角为和（0的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，(）用、m、n表示四边形ABCD的面积S；(）若m、n为定值，当在（0，上变化时，求S的最小值u；(）如果mn，求的取值范围. （1995上海，24）93.（）设经过原点且倾角为的直线方程为y=xtan，可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时0，所以四边形ABCD的面积S4|xy|（）S（1）当mn，即1时，因为m2tan2nm，当且仅当tan2时等号成立，所以由于0，0tan1，故tan得u2mn（2）当m1时，对于任意012，由于因为0tan1tan21，m2tan1tan2n2m2n20，所以（m2tan2）（m2tan1）0，于是在（0，上，S是的增函数，故取，即tan1得u所以u（）（1）当1时，u=2mnmn恒成立.（2）当1，即有（）24（）+10，所以，又由mn时，的取值范围为（2，1）（1，）评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.19已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为（m，n）(）当mn0时，求椭圆离心率的范围；(）直线AB与P能否相切？证明你的结论 20如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（1）求边所在直线方程；（2）求三角形外接圆的方程；（3）若动圆过点且与的外接圆内切，求动圆的圆心所在的曲线方程21已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值22平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由23定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换：（，）下的不动点的存在情况和个数.24已知抛物线的准线为,焦点为的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切过原点作倾斜角为的直线,交于点,交于另一点,且（）求和抛物线的方程；（）若为抛物线上的动点,求的最小值；（）过上的动点向作切线,切点为,求证:直线恒过一个定点,并求该定点的坐标OlxyABFM第17题25在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、OA1A2B1B2xy(第17题)下顶点分别为、设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（3）若圆的面积为，求圆的方程26已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为是的中点，点的轨迹为（1）求轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与轨迹交于两点，与轴交于点。若证明：为定值。27 已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆的右焦点.(1) 若点P是曲线上位于第二象限的一点，且的面积为求证：(2) 点M和N分别是椭圆和圆上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.28如图，圆O与离心率为的椭圆T：()相切于点M。求椭圆T与圆O的方程；过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)。P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；若，求与的方程。(本小题满分16分)29. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程 ； (2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G? 请说明理由.30若椭圆的左右焦点分别为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为，以原点为圆心、短轴长为直径作圆，过圆外一点作圆的两条切线。（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最小值；（3）在（2）的条件下，若点在椭圆内，求的范围。
展开阅读全文