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第3章 傅里叶变换与连续系统的频域分析3.6本章习题全解3.1 证明函数集在区间内是正交函数集。 证明: 对任意的自然数n,m (nm),有 =0 证毕3.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。（2）是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算）（3）现在考虑一个新的信号：，请问，频谱如何变化？是周期信号吗？如果是，周期是什么？解：（1）频谱图如下X(j)0510780016001200107-5振幅图08001200-相位图（2）三项都是周期信号，周期分别为、，所以是周期信号，周期为为、的最小公倍数为。（3）根据频谱的分析比多了一个频谱分量，频率为，所以还是周期信号，周期为和的最小公倍数。3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。（1）； （2）；（3）；（4）是周期为2的周期信号，且（5），如题图3.3所示。题图3.3 （6）是周期为4的周期信号，且（7）解（1）该信号为虚指数信号，自身就是指数级数，频，周期三角级数为（2）基频，周期三角级数指数级数（3）自身为三角级数，基频，周期指数级数（4）周期T=2；基频三角级数：指数级数：（5）由图可知，周期T=2；基频，且该信号为奇信号三角级数：指数级数：（6）周期T=4；基频0三角级数：指数级数： （7） 三角级数为，其他系数为0指数级数:x(t)=3.4 给定周期方波如图题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。题图3.4 解：（1）（2）3.5、求题图3.5所示各周期信号的傅里叶系数，并画出其频谱图。-2-4240(a)x1(t)1-131(b)0x2(t)T-TE2Tt题图3.5解：（a） X 频谱图如下 0（b） 频0振幅图34-3谱图如下: 03-3 相位图3.6 考虑信号，由于是周期的，其基波周期为1，因此它也是以为周期的，这里为任意正整数。如果我们把它看作是周期为3的周期信号，那么的傅里叶级数的系数是什么？解： 当的周期为1时，基频为，考虑周期为3时，则基频为，所以为其三次谐波，所以：3.7 若和是基波周期为的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示式分别为：。证明信号也是基波周期为的周期信号，且其表示式为式中，证明：作变量代换，令，则上式证毕3.8 设周期信号的指数型傅里叶级数系数为，试证明的指数型傅里叶级数系数为（式中）。证明: 有题知, （式中） 左右对t求导，得: 显然，的指数傅里叶级数为 （式中）3.9 求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。x2(t)t0ET(b)x1(t)t01t(a)题图3.9解：根据定义3.10 计算下列每个信号的傅里叶变换。（1）； （2）；（3）； （4）（5）； （6）解: (1) (2) (3) 由于 根据卷积乘积性质，得 (4) 由于 所以 （5）,设 （6） 由于 根据积分性质，有 3.11 先求出如题图3.11所示信号的频谱的具体形式，再利用傅里叶变换的性质由求出其余信号的频谱的具体形式。题图3.11解：根据定义：因为，根据傅里叶变换的时移性质所以因为，根据傅里叶变换的尺度性质所以因为，根据傅里叶变换的尺度性质所以3.12 利用傅里叶变换的微积分性质求题图3.12所示信号的频谱。（a） （b）题图3.12解：令傅里叶变换对，（1）根据已知图形可知：，已知有所以根据傅里叶变换的微积分性质 所以即（2），根据（1）的结论得根据傅里叶变换的微积分性质 所以即3.13利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。(1)； (2)；解：（1）因为根据傅里叶变换的对称性，如果，则取，得所以即（2）因为根据傅里叶变换的对称性，如果，则 即3.14 若已知，求下列各信号的频谱。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1）两种方法方法一：根据频域微分性质即根据尺度性质即：方法二：根据尺度性质再根据频域微分性质即：（2）根据频域微分性质即在根据时移性质（3）根据尺度性质再根据频域微分性质即：所以 （4）根据时域微分性质在根据频域微分性质所以（5）根据尺度性质在根据时移性质 （6）根据频域微分性质即在根据尺度性质再根据时移性质（7）根据尺度性质再根据时移性质（8）由于 根据卷积性质 x 1(t)3.15已知实信号，设，且，其中和分别为的偶分量和奇分量。证明：证明：，根据尺度特性再根据线性性质证毕3.16 已知，求的频谱。解：根据尺度性质再根据时移性质根据积分性质题图3.183.17 利用频域卷积定理求下列信号的频谱函数。解：（1）根据傅里叶变换对得根据频域卷积定理得（2）根据傅里叶变换对得根据频域卷积定理得3.18 已知题图3.18中两矩形脉冲信号和，且，（1）画出的图形；x(t)t02121题图3.19（2）求的频谱。解：由图可知(1) 两个不同宽度的矩形信号的卷积应为对称梯形信号，结果如图3-17(2) 根据时域卷积定理，得的频谱3.19 试求题图3.19所示信号的频谱函数。解：频谱函数X(j)如下 = =3.20 设代表题图3.20所示信号的傅里叶变换。（1）求的相频特性；（2）求；题图19（3）计算；（4）计算；（5）画出的傅里叶逆变换。解：（1），如图3-19-1所示，为实偶对称信号，所以也实偶对称信号，的相位只有0和两种情况。又所以的相位为或即图3-19-1（2）（3）因为（4）设则，则，波形如图3-19-2所示。图3-19-2（5）根据（1）小题，得所以根据傅里叶变换的性质图形如3-19-3图3-19-33.21 用傅里叶变换法求题图3.21所示周期信号的傅里叶级数。题图3.21解: 对x(t)一个周期信号x0(t)的傅里叶变换为 X0(j)= = 傅里叶级数 3.22求题图3.22所示周期性冲激信号的频谱函数。题图3.22解：根据图形可知，信号的周期为T，基频所以图3-21-13.23 已知的幅频与相频特性如题图3.23所示，求其傅里叶逆变换。题图3.23解：根据题图可知可分两部分组成即其中所以所以3.24下面是一些连续时间信号的傅里叶变换，确定每个变换所对应的连续时间信号。（1）（2）（3）（为阶跃信号）（4）解：（1），所以（2），所以即（3）所以（4）根据对称性3.25 求下列函数的傅里叶逆变换。（1） （2）解：（1）因为，又因为所以即所以的傅里叶逆变换为（2）根据（1）小题过程中的2变成0，则可以得到，所以的傅里叶逆变换为3.26设和，若通过一个截止频率为，通带增益为2的理想低通滤波器，试求该低通滤波器输出端所得到的信号。解:设= 然后通过截至频率为400，增益为2的低通滤波器后的输出信号 3.27已知某系统的频域系统函数为，试求：(1) 单位阶跃响应h(t)；(2) 激励的零状态响应yzs(t)。解：（1）根据傅里叶变换得设单位阶跃响应为，对应频谱为则所以（2）根据傅里叶变换得设零状态响应对应频谱为则所以3.28设系统函数，激励为周期信号，试求响应，并绘出与的波形，讨论经传输后是否引起失真。解：当时， ，当时， ，根据系统分析，输入的零状态响应为所以，3.29已知系统的频域系统函数为，系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=1，激励为。求全响应。解：（1）先求系统的零状态响应激励的傅里叶变换为所以系统的零状态响应的傅里叶变换所以（2）求系统的零输入响应将系统函数转换成系统微分方程得系统的特征方程为特征根为，所以零输入响应得解的形式可设为将初始状态y(0-)=2，y(0-)=1代入上述解得形式，可得所以系统的全响应为3.30已知一线性时不变系统的常系数微分方程为试求其系统函数和单位冲激响应h(t)。解：对方程两端同时求傅里叶变换，可以得到化简上式有所以所以3.31已知系统如题图3.31所示，其中，理想低通滤波器的频率响应函数为，试求系统的响应。题图3.31解：设，则根据傅里叶变换的定义得：根据傅里叶变换的卷积定理，得根据系统的频域分析，所以3.32 已知理想低通滤波器的频率响应为 （1）求该滤波器的单位冲激响应；（2）输入，求滤波器的输出；（3）输入，求滤波器的输出；解：（1）设 根据时移特性，知： (2) 根据卷积特性，得 (3) 根据卷积特性，得：
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