高考数学复习点拨用导数求切线方程的四种类型.pdf

用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 00()Px y， 及斜率，其求法为：设 00()Px y， 是曲线 ()y f x 上的一点，则以 P 的切点的切线 方程为： 0 0 0( )( )y y f x x x 若曲线 ()y f x 在点 00( ( )P x f x， 的切线平行于 y 轴（即导 数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 0 xx 下面例析四种常见的类型及解法 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ()fx ，并代入点斜式方程即可 例 1 曲线 3231y x x 在点 (1 1)， 处的切线方程为（ ） 34yx 32yx 43yx 45yx 解：由 2( ) 3 6f x x x 则在点 (11)， 处斜率 (1) 3kf ，故所求的切线方程为 ( 1) 3( 1)yx ，即 32yx ，因而选 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决 例 2 与直线 2 4 0 xy 的平行的抛物线 2yx 的切线方程是（ ） 2 3 0 xy 2 3 0 xy 2 1 0 xy 2 1 0 xy 解：设 00()Px y， 为切点，则切点的斜率为 0 022xxyx | 0 1x 由此得到切点 (1)， 故切线方程为 1 2( 1)yx ，即 2 1 0 xy ，故选 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为 2y x b， 代入 2yx ，得 2 20 x x b ，又因为 0 ，得 1b ，故选 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 例 3 求过曲线 3 2y x x 上的点 (1 1)， 的切线方程 解：设想 00()Px y， 为切点，则切线的斜率为 0 2032xxyx | 切线方程为 20 0 0(3 2)( )y y x x x 320 0 0 0( 2 ) (3 2 )( )y x x x x x 又知切线过点 (1 1)， ，把它代入上述方程，得 320 0 0 01 ( 2 ) (3 2 )(1 )x x x x 解得 0 1x ，或 0 12x 故所求切线方程为 (1 2 ) (3 2 )( 1)yx ，或 1 3 112 8 4 2yx ，即 20 xy ，或 5 4 1 0 xy 评注：可以发现直线 5 4 1 0 xy 并不以 (1 1)， 为切点，实际上是经过了点 (1 1)， 且以 1728， 为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用 待定切点法 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解 例 4 求过点 (20)， 且与曲线 1y x 相切的直线方程 解：设 00()Px y， 为切点，则切线的斜率为 0 20 1xxy x | 切线方程为 00201 ()y y x xx ，即 020011()y x xxx 又已知切线过点 (20)， ，把它代入上述方程，得 020011(2 )xxx 解得 000111xyx ， ，即 20 xy 评注：点 (20)， 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充 分反映出待定切点法的高效性 例 5 已知函数 3 3y x x ，过点 (016)A， 作曲线 ()y f x 的切线，求此切线方程 解：曲线方程为 3 3y x x ，点 (016)A， 不在曲线上 设切点为 00()Mx y， ， 则点 M 的坐标满足 30 0 03y x x 因 200( ) 3( 1)f x x ， 故切线的方程为 20 0 03( 1)( )y y x x x 点 (016)A， 在切线上，则有 320 0 0 01 6 ( 3 ) 3 ( 1)(0 )x x x x 化简得 30 8x ，解得 0 2x 所以，切点为 ( 2 2)M， ，切线方程为 9 16 0 xy 评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点 A 在曲线上，化为类型一 或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点 男装加盟 崫叺夻