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第二章 2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略） 0 4 ( 1) ( ) cos(2 1) 2 1 n n s t n t n 证明：因为 ( ) ( )s t s t 所以 0 0 0 0 2 2 ( ) cos cos cos 2 k k k k k k kt kt s t c c c kt T 1 0 1 ( ) 0 0s t dt c 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 4 ( )cos ( )cos cos sin 2 k k c s t k tdt k tdt k tdt k 0, 2 4 ( 1) 2 1 (2 1) n k n k n n 所以 0 4 ( 1) ( ) cos(2 1) 2 1 n n s t n t n 2-2设一个信号 ( )s t 可以表示成 ( ) 2cos(2 )s t t t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。 2 2 2 ( ) cos(2 ) sin ( 1) sin ( 1) 2 ( 1) ( 1) j ft j j s f t e dt f f e e f f 21 ( ) limP f s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( 1) sin ( 1) sin ( 1) sin ( 1) lim 2 cos2 4 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) f f f f f f f f 由公式 2 2 sin lim ( ) t xt x tx 和 sin lim ( ) t xt x x 有 ( ) ( 1) ( 1) 4 4 1 ( 1) ( 1) 4 P f f f f f 或者 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 4 P f f f f f 2-3 设有一信号如下： 2exp( ) 0 ( ) 0 0 t t x t t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解： 2 2 0 ( ) 4 2 t x t dx e dt 是能量信号。 2 (1 2 ) 0 ( ) ( ) 2 2 1 2 j ft j f t S f x t e dt e dt j f 2 2 2 2 4 ( ) 1 2 1 4 G f j f f 2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质： （1） 2 ( ) cos 2f f （2） ( )a f a （3）exp( )a f 解： 功率谱密度 ( )P f 满足条件： ( )P f df 为有限值 （3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。 2-5 试求出 ( ) coss t A t 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为 2 2 2 2 1 ( ) lim cos cos ( ) cos 2 T TT R A t t T A 2 1 (0) 2 P R A 2-6 设信号 ( )s t 的傅里叶变换为 ( ) sinS f f f ，试求此信号的自相关函数 ( ) s R 。 解： 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin 1 , 1 1 j f s j f R P f e df f e df f 2-7 已知一信号 ( )s t 的自相关函数为 ( ) 2 k s k R e ， k为常数 （1）试求其功率谱密度 ( ) s P f 和功率P； （2）试画出 ( ) s R 和 ( ) s P f 的曲线。 解：（1） 2 0 ( 2 ) ( 2 ) 0 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 4 j f s s k j f k j f P f R e d k k e d e d k k f 2 2 2 2 4 2 k P df k f k （2）略 2-8 已知一信号 ( )s t 的自相关函数是以2为周期的周期函数： ( ) 1R ， 1 1 试求功率谱密度 ( ) s P f ，并画出其曲线。 解： ( )R 的傅立叶变换为， （画图略） 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 sin (1 ) 2 sin T j f T j f R e d T f e d f c f 2 0 2 2 ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) 2 P f c f f nf n c f f T n c f f 2-9 已知一信号 ( )s t 的双边功率谱密度为 4 2 10 , 10 10 ( ) 0 f kHz f kHz P f 其他 试求其平均功率。 解： 4 4 10 4 2 10 8 ( ) 10 2 10 3 P P f df f df
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