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第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共九题，满分 160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算 步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填 空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）若干个摆 球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设 重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 试设计一个包含十个单摆 的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个 摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于 1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方 向移动相同的一个小位移 xo ( xo R ) ， 在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻，粒子速 度的方向与导线平行，离导线的距离 为 d+ R .若粒子做圆 周 运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随 时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁 感应强度表示式中的比例系数 k 已知 五、（ 20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为 +Q和 -Q (Q 0) ，半 径分别为 R 和 R/2，小球面与大球面内切于 C 点，两球面球心 O 和 O的连线 MN 沿竖直方 在 MN 与两球面的交点 B、 0 和 C 处各开有足够小的孔 因小孔损 失的电荷量忽略不计， 有一质 量 为 m，带电荷为 q(q0的质点自 MN线上离 B点距离为 R的 A点竖直上抛。 设静电力常量为 k， 重力加度为 g. 1要使质点从 A 点上抛后能够到达 B点，所需的最小初 动能为多少？ 2 要使质点从 A点上抛后能够到达 O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？ 六、（ 20 分）由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列 n=1 时 ，正方 形网络边长为 L,n= 2时，小正方形网络的边长为 L/3； n=3 时，最小正方形网络的边长为 L/9当 n=1、 2、 3 时，各网络上 A、 B两点间的电阻分别为多少？ 七、（ 15分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对 太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室 气体反射回地面，地球以 此方式保持了总能量平衡 。 作为一个简单的理 想模型，假定地球表 面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律： 单位面积的辐射功 率 J与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 J=T4 ,其中 是一个常量已知太阳表面 温度 Ts=5.78 103 K ，太阳半径 Rs=6.69 105 km ,地球到太阳的平均距离 d=1.50 108 km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 =0.38 . 1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 =0.30 ，试问 考虑了温室气体对热辐射的反射 作用后，地球表面的温度是多少？ 2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆 盖部分对太阳辐射的反射率为 1=0.85 ，其余部分 的反射率处 2=0.25 间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K . 八、（ 20 分）正午时太阳的入 射光与水平面的夹角 =450 有一座房子朝南的墙上有一个 直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H 试设计一套采光装置，使得正午时刻 太阳光能进人窗口，并要求进 入 的光为 充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍 的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反 射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用 最少的器件组成采光装置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置 及该装置的光路图， 并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件 . 九、（ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0 ，粒子 1 静止，粒子 2 以速度 v0与粒子 1 发生弹性碰撞 1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是 钝角若不考虑相对论效应结果又如何？ 2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度 .
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