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浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 页 目 录 一 . 极限与连 续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 二 . 导数与微 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 三 . 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 四 . 定积分及 其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 五 . 级 数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 2 页 浙 江 大 学 微 积分 ( 1 ) 历 年 期 末 考 试 试 题 一 . 极 限 与 连 续 函数极 限计算 的一般 方法 ： ( 1) 先确定极限的类型 ； 特别要注意在哪一点求极限 . ( 2) 经过初等变换和 无 穷 小量 的等价 ， 化简函数表达式 ( 使求导 计算尽可能简单 ) ； ( 3) 分母若为低阶 ( 2 - 3 阶 ) 无穷小量 ， 可用 L Ho s p t i a l 法则 ； 若为高 阶无 穷小 量 ， 可 考虑 用 T a y l o r 展开 ， 不 过在 应 用 T a y l o r 展开 时 ， 要求 对有关展开式比较熟悉 ； 否则还是 “ 慎用 ” . 常见的 等价无穷小量 ： 2 0 ( 1 ) s i n ( 2 ) t a n ( 3 ) l n ( 1 ) ( 4 ) 1 ( 5 ) a rc t a n ( 6 ) a rc s i n (7 ) 1 c o s ( 8 ) ( 1 ) 1 . 2 x x x x x x x x e x x x x x x x x x a a + - - + - 当 时 ， 常 见 的 等 价 无 穷 小 量 ： ； ； ； ； ； ； ； 常见函 数的 M a c l a u r i n 展开式 ： 5 2 3 3 5 3 5 2 4 3 4 5 5 3 3 5 5 5 5 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 2) s i n ( ) 2 ! 3 ! 3 ! 5 ! 2 ( 3 ) c os 1 ( ) ( 4) t a n ( ) 2 ! 4 ! 3 15 3 ( 5 ) a r c s i n ( ) ( 6) a r c t a n ( ) 6 40 3 5 ( 7 ) l n( 1 ) x M ac l au r i n x x x x x e x o x x x o x x x x x o x x x x o x x x x x x x o x x x o x x x = + + + + = - + + = - + + = + + + = + + + = - + + + = - 常 见 函 数 的 展 开 式 : 最 高 展 开 到 ； ； ； ； ； 2 3 3 2 2 ( 1 ) ( ) ( 8 ) ( 1 ) 1 ( ) . 2 3 2 ! x x o x x x x o x a a a a - + + + = + + +； 两个重 要极限 ： 1 0 0 s i n 1 ( 1 ) l i m 1 ( 2) l i m ( 1 ) l i m ( 1 ) . x x x x x x e x x x = + = = +； 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 3 页 关于 1 “ ” 型极限的计 算 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) l i m ( ) 0 l i m ( ) l i m ( ) ( ) l i m 1 ( ) . l n 1 ( ) l i m l n 1 ( ) l i m ( ) ( ) ( ) l i m 1 ( ) . l i m 1 ( ) l i m 1 ( ) g x A x a x a x a x a g x x a x a g x A x a g x f x x a x a f x g x f x g x A f x e f x f x f x g x A f x f x e f x f x = = = + = + + = = + = + = + 设 ， ， 且 ， 则 ： 由 于 ， 根 据 连 续 函 数 的 性 质 ， 此 类 极 限 计 算 的 说 明 ： ( ) ( ) . f x g x A e= 一些常 见函数的极限 ： 1 0 0 0 ( 1 ) ( ) ( 1 ) l i m l i m l i m 0. ( 1 ) 0. l n 1 l n ( 2) 0 l i m l i m 0. l i m 0. 1 l n ( 3 ) 0 l i m l n l i m l i m k x x x x x x x x x x x x x x k x e e e k L H os pt i al k x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + - - + + + + + + - - - - - = = = = + - = = = = = - L L 【 注 】 ： 运 用 此 法 则 后 ， 可 以 使 当 时 ， 特 别 的 ， 当 时 ， 1 0 1 1 1 0 0 0 l i m 0. l i m l i m l i m 0. l i m 2 l i m 2 l i m 2 0. x x x x x x x x x x x x x x e e e a a + + - + - = - = = + = = + = 【 注 】 ： 极 限 并 不 存 在 ， 因 为 ， 同 样 ， 极 限 也 不 存 在 ； 因 为 ， 对于一 些复杂的数列极限 ， 一般利用函数极 限的 “ 归结原理 ” 化为函 数极限 进行计算 . 函数极 限的 “ 归结原理 ” 0 0 0 0 ( ) l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) . x x n n n n n n f x x f x A x x x x x f x A + + = = = 设 在 的 某 领 域 内 有 定 义 ， 则 ： 对 任 意 满 足 的 数 列 均 有 ， 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 4 页 1 、 2 l i m 2 si n ( 2) x x x x x + + + - +求 ： 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ( 2 s i n ) ( 2 ) 2 s i n 4 l i m l i m 2 s i n ( 2 ) 2 s i n ( 2 ) 2 s i n 4 l i m 1 . 1 2 s i n ( 1 2 ) . l i m 2 5 ( 2 ) . x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x u u x x x x u + + - - - - - + - + + - + - + + = = + + + + + + + + - + + = = - + + + + - = - + + - + + = - 【 注 】 ： 计 算 时 的 极 限 ， 一 般 宜 通 过 变 量 代 换 化 为 的 极 限 【 例 如 】 ： 令 ， 2 2 2 2 2 ( 2 5 ) ( 2 ) l i m 2 5 ( 2 ) l i m 2 5 ( 2 ) 2 1 l i m 1 . 2 5 ( 2 ) u u u u u u I u u u u u u u u u u + + + - - - - = - - - - = - - + - - = = - - + - 则 ： 2 、 0 1 1 l i m ( ) . 1 x x x e - - 求 ： 2 0 0 0 2 2 2 0 0 1 1 1 1 l i m l i m l i m . ( 1 ) 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 2 l i m l i m . ( 1 ) 2 x x x x x x x x x x x e x e x e I x e x x x x o x x e x I x e x - - - - - = = = = - + + + - - - - = = = - 【 方 法 一 】 ： 【 方 法 二 】 ： 3 、 2 s i n l i m . l n x x x x x x - + - + 求 ： 2 2 s i n 1 1 s i n l i m l i m 2. l n l n 1 l n 1 l i m l i m 0. x u u u L H o s p t i a l u u u u u u u I u u u u u u u = - + + + + - + - + = = = - - + - + = = 法 则 其 中 ： 4 、 3 20 l n( 1 ) s i n l i m . 1 1 x x x x + - - - 求 ： 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 5 页 0 0 2 2 0 3 2 2 3 0 2 1 c os l n( 1 ) s i n 1 l i m 3 l i m 1 2 3 1 s i n 3( 1 ) 3 l i m . 2 2 1 ( ) ( ) 3 2 6 l i m . 1 2 3 x x x x x x x x I x x x x x x x o x x o x I x - + - + = = - - - + + = - = - + - - + = = - 【 方 法 一 】 ： 【 方 法 二 】 ： 5 、 2 1 0 l i m ( ) . x x x e x -求 ： ( ) 2 2 2 11 1 2 1 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 l i m 1 ( 1 ) . 1 1 1 l i m l i m . 2 2 ( ) l n( ) 1 1 l i m l n l i m l i m l i m . 2 ( ) 2 ( ) 2 l i m ( ) . x x e x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x I e x e e x e x x y e x e x e x y x x e x x e x e x e - - - - = + - - = - - - = = = - - - = = = = - - - = 【 方 法 一 】 ： 其 中 ： 【 方 法 二 】 ： 记 ， 则 ： 因 此 ， 6 、 0 s i n t a n l i m . t a n ( 1 ) l n( 1 ) x x x x x e x - - - 求 ： 2 3 3 0 0 1 ( ) t a n ( c os 1 ) 1 2 l i m l i m . 2 x x x x x x I x x - - = = = - - 7 、 3 0 1 2 c os l i m ( ) 1 . 3 x x x x + -求 ： c o s 1 2 l n 1 3 3 3 2 2 0 0 0 0 c os 1 1 l n( 1 ) 1 c os 1 1 3 2 l i m l i m l i m l i m . 3 3 6 x x x x x x x x x e x I x x x x - + - + - - - = = = = = - 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 6 页 8 、 2 2 4 1 1 l i m . si n x x x x x x - + + + + + 求 ： 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 ( 1 ) l i m l i m 1. s i n s i n 1 x u u u u u u u u u I u u u u = - + + - + - + - + - - = = = - - 9 、 2 1 s in 0 l i m ( c o s ) . x x x 求 ： ( ) 2 1 1 c o s 1 2 c o s 1 s i n 0 2 2 2 0 0 l i m 1 ( c os 1 ) . 1 c os 1 1 2 l i m l i m . s i n 2 x x x x x x I x e x x x - - - = + - = - - = = -其 中 ： 10 、 2 1 0 s i n l i m ( ) . x x x x 求 ： 3 s i n 1 s i n 6 0 3 2 0 0 si n l i m 1 . si n c os 1 1 l i m l i m . 3 6 x x x x x x x x x x x I e x x x x x x - - - - = + = - - = = -其 中 ： 11 、 2 1 0 l i m ( s i n c o s ) . x x x x x +求 ： ( ) 2 1 1 s i n c o s 1 2 s i n c o s 1 0 2 2 0 0 0 l i m 1 ( s i n c os 1 ) . s i n c os 1 s i n c os 1 1 1 l i m l i m l i m 1 . 2 2 x x x x x x x x x x x I x x x e x x x x x x x x + - + - = + + - = + - - = + = - =其 中 ： 12 、 2 1 2 0 l i m ( s i n c o s ) . x x x x +求 ： ( ) 2 2 2 11 s i n c o s 1 2 2 s i n c o s 1 0 2 2 2 2 2 0 0 0 l i m 1 ( s i n c os 1 ) . s i n c os 1 s i n c os 1 1 1 l i m l i m l i m 1 . 2 2 x x x x x x x x x I x x e x x x x x x x + - + - = + + - = + - - = + = - =其 中 ： 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 7 页 13 、 2 1 0 2 c os l i m ( ) . 3 x x x + 求 ： 2 3 c o s 1 1 c o s 1 3 6 2 0 0 c os 1 c os 1 1 l i m 1 . l i m . 3 3 6 x x x x x x x I e x - - - - - = + = = - 其 中 ： 14 、 2 0 1 1 1 l i m 2 x x x a a - - =若 ， 求 ： 的 值 . 2 2 2 0 0 0 2 2 20 0 1 1 1 1 1 2 l i m l i m l i m 2. 2 2 1 1 l i m l i m 2. 2 2 ( 1 1 ) a x x x x x x x x x x x I x x x a a a a a a - - - - = = = = = = = = + - 【 方 法 一 】 ： 由 于 ， 则 ： 【 方 法 二 】 ： ， 则 ： 15 、 1 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) l i m . n n n n n u u n n n = + + + L设 ， 求 ： ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 l i m l n l i m l n( 1 ) l n( 1 ) l n( 1 ) 1 l n 2 l n( 1 ) l n 2 ( 1 l n 2) 2 l n 2 1. l i m 4 . n n n n k n n k x u x dx x x dx n n x x x u e = - = + = + = + - + = - - + = - - = - = 因 此 ， 16 、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x g x u x v x= + = -设 ， ， 并设 0 l i m ( ) x u x 与 0 l i m ( ) x v x 均不存在 ， 下列结论正确的是 【 】 ( A ) 若 0 l i m ( ) x f x 不存在 ， 则 0 l i m ( ) x g x 必存在 ； ( B ) 若 0 l i m ( ) x f x 不存在 ， 则 0 l i m ( ) x g x 必不存在 ； ( C ) 若 0 l i m ( ) x f x 存在 ， 则 0 l i m ( ) x g x 必不存在 ； ( D ) 若 0 l i m ( ) x f x 存在 ， 则 0 l i m ( ) x g x 必存在 . 0 0 0 0 0 0 0 2 1 ( 1 ) ( ) ( ) l i m ( ) l i m ( ) 1 1 ( 2) ( ) 1 ( ) l i m ( ) l i m ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) l i m ( ) 2 2 l i m ( ) l i m ( ) . ( ) ( 4) ( ) x x x x x x x u x v x f x g x x x u x v x f x g x x x f x g x f x g x u x v x g x u x v x C D = = = + = = + - = = 设 ， ， 则 ： 不 存 在 ， 也 不 存 在 ； 设 ， ， 则 ： 不 存 在 ， 但 ； 由 于 ， ， 若 也 存 在 ， 则 ： ， 均 存 在 故 ， 是 正 确 的 ； 若 正 0 0 0 0 l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) . x x x x f x g x u x v x 确 ， 即 ， 均 存 在 ， 则 ， 均 存 在 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 8 页 17 、 3 2 6 2 0 0 a r c si n ( 1 ) x x t t t dt e dta b= = - 设 ， ， 则 0 x 时 【 】 ( A ) a b与 是同阶但不等价无穷小 ； ( B ) a b与 是等价无穷小 ； ( C ) a b是 的高价无穷小 ； ( D ) b a是 的高价无穷小 . 3 2 2 3 2 2 32 2 6 2 3 3 2 0 3 2 3 20 0 0 0 3 2 0 0 2 6 2 0 0 0 0 0 1 a r c t a n a r c s i n 1 a r c t a n 1 3 l i m l i m l i m 3 9 9 ( 1 ) 1 1 l i m l i m . 3 3 a r a r c s i n l i m l i m l i m ( 1 ) x x x x x t x x x x x x x xt x x x t t dt x x x x e dt e x x x t t dt e dt a b a b - = = = - - = = = = - 【 方 法 一 】 ： ； 故 ， 与 是 同 阶 而 不 等 价 的 无 穷 小 量 . 【 方 法 二 】 ： 2 2 2 3 3 2 2 3 2 0 2 3 1 c s i n 3 1 1 a r c s i n 1 l i m . 3 3 . ( ) . x x x x e x x x x Aa b - - = = 因 此 ， 是 与 同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小 量 故 ， 选 18 、 1 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( 0) x x e x f x F x f t dt x x - = = 设 ， ， ( ) 0F x x =则 ： 在 处 【 】 ( A ) 极限不存在 ； ( B ) 极限存在 ， 但不连续 ； ( C ) 连续但不可导 ； ( D ) 可 导 . 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ( 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 . 2 ( 2) ( 0 0) l i m ( ) l i m ( ) 1 ( 0 0) l i m ( ) 1 l i m ( ) 1 ( 0) . ( ) 0 . ( ( 3 ) ( 0) l i m x t x x t x x x x x x x F x e dt e e x x F x e dt t dt e F F x e e e F F x e F x e F F x x F x F - - + - - - - - - - - - - = = - = + = - + - = = - = - + = = - = - = = = 当 时 ， ； 当 时 ， 由 此 可 得 ， ； ， 故 ， 因 此 ， 在 处 连 续 1 1 0 2 1 1 0 0 ) ( 0) ( 1 ) l i m 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0) 2 ( 0) l i m l i m 0. ( ) 0 ( ) . 0 ( ) ( ) . x x x x F e e e x x x e e F x F F x x F x x C x f x f x - + + - - - - + - - - - = = - + - - - = = = = = ， 因 此 ， 在 处 不 可 导 . 故 ， 选 【 注 】 ： 实 际 上 ， 为 的 第 一 类 间 断 点 ， 因 此 ， 不 存 在 原 函 数 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 9 页 19 、 1 ( ) l i m ( ) . 1 n x n x n x e x f x f x e + + - = + 设 ， 定 义 ， 试 讨 论 的 连 续 性 0 0 1 ( 1 ) 0 1 ( ) l i m 0 ( ) 1 2 1 0 ( ) l i m l i m 1. 1 1 ( 2) l i m ( ) 0 l i m ( ) 1 0 ( ) . ( 1 ) 0 ( ) . n x n x n x n n x e n x n x n n x x x e x x f x x x f x e x e x x f x e e f x f x x f x x x f x - - + + - + + + + $ - = - $ + = - - 求 ： 的 值 域 2 m a x 0 1 l n ( 1 ) 0 . ( 2) 0 ( ) 0 ( ) 0. 1 ( ) ( ) l n 1 l i m ( ) l i m ( ) 0 ( . x x x y x e x x e f x x e f x f x x e f e e x f x f x y x e + + - = = = = = = - = = - 令 ： ， 则 ： 当 时 ， ；当 时 ， 因 此 ， 在 处 有 最 大 值 ， 且 ； 而 ， ， 因 此 ， 函 数 的 值 域 为 ， 5 、 设函数 ( )x x y= 由 s i n 0y x x- + = 所确定 ， 求 ： 2 2 . dx d x dy dy ， 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 1 ( 1 ) 1 c os 0. . 1 c os 1 ( ) ( ) ( 1 c os ) 1 s i n 1 c os ( 2) . ( 1 c os ) 1 c os ( 1 c os ) s i n s i n c os 0 . ( 1 c os ) y dx dx dx y x dy dy dy x dx d d x d x dx xdy x dy dy dx dy x x x d x dx dx d x d x x x x dy dy dy dy dy x - + = = - - - - = = = = - - - - - - + = = - - 方 程 两 边 同 时 对 求 导 ， 【 或 】 ： 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 3 页 6 、 ( 1 0 ) l n( 1 ) 10 ( ) .y x x y x y x= +设 ， 求 ： 对 的 阶 导 数 2 2 1 0 8 ( 1 0 ) 1 0 9 1 0 9 9 8 ( 1 0 ) ( 1 0 ) ( 9 ) 1 0 9 1 ( 1 ) 1 l n( 1 ) 1 l n( 1 ) . 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 9 ! ( 1 ) 8 ! 9 ! 8! . ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) l n( 1 ) ( 1 ) 9 ! 10 ( 1 ) 8! 10 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x y x x y x x x x y x x x x u x v x y u v u v x x x - = + + = - + + = + + + + + - - = + = + + + + + = + = - - = + = + + + - = 【 方 法 一 】 ： ， 因 此 ， 【 方 法 二 】 ： 设 ， ， 则 ： 9 8 1 0 9 9 1 0 9 1 0 9 9 ! 10 ( 1 ) 8 ! 9 ! 9 ! 10 8! ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 9 ! 8! . ( 1 ) ( 1 ) x x x x x x x x - - + - + = + + + + + + + = + + + 7 、 2 2 2 0 2 4 c o s ( ) . s i n t x s d s d y y y x d x y t = = = 设 是 由 参 数 方 程 所 确 定 ， 求 ： 2 2 4 0 4 3 4 2 2 4 2 4 ( 1 ) c os 2 c os si n 4 c os 2 . 4 ( 2) 2 se c . 2 c os t dx x s d s t t dt dy dy y t t t t dt dx d y t t dx t t = = = = = = = 由 于 ， 则 ： ； 而 ， 则 ： ； 因 此 ， 8 、 2 2 0 0 s i n( ) t t s x e ds y t s ds - = = - 设 ， ， 求 ： 2 t p = 处的 dy dx 及 2 2 d y d x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) . s i n( ) s i n s i n . ( 2) s i n . ( s i n ) 2 s i n 2 c os ( 3 ) 2 ( s i n c os ) . 2 . t s t t s u t t t t t t t tt t t t x e ds dx e dt y t s ds u du dy y dy dy e t e dx dx d y e t t e t t e t t e t t dx e e d y e dx p p p p p - - - = = - - = = = = - = = = = + = = = + = 由 ， 可 得 ， 又 ， 则 ： ， 因 此 ， 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 4 页 9 、 2 3 0 ( ) l n( ) si n . x dy y y x x y x y x dx = = + = +设 是 由 方 程 所 确 定 ， 求 ： 2 3 2 2 3 2 2 5 3 2 2 5 30 1 0 , 1 l n( ) si n 2 ( 3 c o s ) ( ) 2 3 c os . 1 ( 3 c os ) ( ) 2 0 1 1. 1 x y x y x y x y x x x y x y x x y x x y x y x y x y x x y x y x x y x x y y x x y = = = = + = + + + + - = + + = + - - + + - = = = = - - ， 等 式 两 边 同 时 对 求 导 ， 又 当 时 ， ； 因 此 ， 10 、 2 a r c si n 1 . x e y x x dy= - +设 ， 求 ： 2 2 2 l n 2 2 1 1 ( 2 l n ) 1 ( 1 ) 2 1 1 1 ( 2 l n ) . 2 ( 2 ) ( 1 ) x x x e x x e x e dy e e x dx xx x x e x dx xx x = + + - - - = + + - - 11 、 s in 4 3 ( a r c t a n 2 ) l n 2 . x dy y x x dx = + +设 ， 求 ： ( ) ( ) s i n 4 l n 3 s i n 4 l n s i n 4 1 2 2 s i n 4 s i n 4 1 2 2 ( a r c t a n 2 ) l n 2 1 4 c os 4 l n s i n 4 6( a r c t a n 2 ) 1 4 1 4 c os 4 l n s i n 4 6( a r c t a n 2 ) . 1 4 x x x x x x x y e x dy e x x x x x dx x x x x x x x x - - = + + = + + + = + + + 由 于 ， 则 ： 12 、 0 ( ) 2 1 0 . x y x y y x e x x y dy + = = - - - =设 是 由 方 程 所 确 定 ， 求 ： 0 ( 1 ) 2 1 0 0 0. ( 2) ( ) 2 ( ) 0. 0 0 . x y x y x e x x y x y e dx dy dx x dy y dx x y dy dx + + = - - - = = = + - - + = = = = 由 可 得 ， 当 时 ， 方 程 两 边 同 时 求 微 分 ， 将 ， 代 入 可 得 ， 13 、 2 2 2 s i n a r c t a n . l n( 1 ) x t t dy d y dx dx y t t = - = + + 设 ， 求 ： ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 1 1 ( 1 ) c os . 1 1 1 ( 2) ( 1 ) c os 1 ( 1 ) c os 1 1 2 c os ( 1 ) s i n 1 ( 3 ) . ( 1 ) c os 1 dx dy t dt t dt t dy dy t dt dx dx t t dt t dy t t t t t t t d y t dt dx dx t t dt = - = + + + = = + - + - - + - + + = = + - ， ； 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 5 页 14 、 ( ) a r c c ot l n ( ) . 1 x x x e y x e y x e = - + 设 ， 求 ： 2 2 1 1 1 ( ) c o t l n l n ( 1 ) c o t l n ( 1 ) . 2 2 2 1 1 ( ) . 1 2 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) x x x x x x x x x x x x y x a r c e e e a r c e x e e e e y x e e e e = - - + = - + + = - - + = - - + + + + 由 于 因 此 ， 15 、 设由参数式 2 2 l n( 1 ) x t t y t t = + = - + 确定了 y 为 x 的函数 ( )y y x= ， 求 ： 曲线 ( )y y x= 的凹 、 凸区间及拐点坐标 ( 区间用 x 表示 ， 点用 ( )x y， 表示 ) . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 ( 1 ) 2( 1 ) . 1 2( 1 ) 2( 1 ) ( 2) 0 1. ( 3 1 l n 2) . 1 1 0 ( ) d 1 0 ( ) d ( 1 3 ) ( ) ( 3 ) ( dx dy t dy t d y t t dt dt t dx t dx t d y t P dx d y t y f x dx y t y f x x y f x y f x - = + = = = + + + = = - - = - = - 由 可 得 ， 令 ： 又 ， 当 时 ， ； 故 ， 当 时 ， 取 极 小 值 且 其 极 小 值 为 19 、 求由方程 3 2 2 2 2 2 0y y x y y x- + + - = 确定的函数 ( )y y x= 的极值 ， 并问此极 值是极大值还是极小值 ， 说明理由 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) 2 2 2 0 ( 6 4 2 1 ) 2 2 0. 0 . 0 ( 2) . ( 0 0) 02 2 2 0 2 2 ( 3 ) ( ) 6 4 2 1 ( 6 4 2 1 ) ( 2 2 ) 2( ) ( 6 4 2 1 ) ( 6 4 y y x y y x x y y x y y x y y x y x x yy y x y y x x y y y y x y y x y x y y y x y y - + + - = - + + + - = = = = = =- + + - = - = - + + - + + - - - - + + = - + 方 程 两 边 同 时 对 求 导 ， 令 可 得 ， 解 方 程 组 ： 得 到 唯 一 驻 点 ， . 又 2 m i n . 2 1 ) ( 0) 2 0 0 ( 0) 0. x y x y y + = = =因 此 ， ， 故 ， 当 时 ， 有 极 小 值 20 、 求 曲线 a r c t a ny x= 在横坐标为 1 的点处的切线方程 . 2 1 1 1 1 ( 1 ) a r c t a n . a r c t a n 1 . 1 4 2 1 ( 2) a r c t a n 1 ( 1 ) . 2 4 x x y x y y y x y x x y x p p = = = = = = = + = = = - + 由 于 ， 则 ： ， 曲 线 在 处 的 切 线 方 程 为 ： 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 7 页 21 、 2 0 ( ) ( 4) ( 2) 2 0. x x x f x x e x e = - - - + = + + = = - - - = - $ = - 而 ， 当 时 ， 则 ： 【 方 法 三 】 ： 由 于 记 ， 在 区 间 ， 上 对 应 用 中 值 定 理 ， ， 使 得 ， ( ) ( ) 0. 2 2 ( ) 0 ) ( ) ( 0) 0. x x x e f x f x f x x x- = - + =因 此 ， 在 ， 上 单 调 递 减 ， 故 ， 22 、 2 2 2 2 4 l n l n ( ) .e a b e b a b a e -若 ， 证 明 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) l n ( ) , l n l n l n 2 . . l n 1 l n ( ) ( ) 0. ( ) 2 ( ) ) ( ) ( ) . ( ) l n 2 4 l n l n ( ) . f x x g x x a b C auc hy b a e a b e b a x x x x x e x x x e x e e x e e b a b a e e x x x j j j j j x x = = - = = - 令 ： ， ； 在 区 间 上 应 用 中 值 定 理 ， 其 中 ： 再 令 ： ， 则 ： 故 ， 在 ， 上 单 调 递 减 ； 因 此 ， 则 ： ， 从 而 有 ， 浙江大学微积分 （ 1 ） 历年试题分类解答 第 1 8 页 23 、 s i n ( 0) ( ) ( 0) x e x x F x x a x = = 已 知 为连续函数 . ( 1) 求 ： 常数 a ； ( 2) 证明 ： ( )F x 的导函数连续 . 0 2 0 0 0 0 2 0 0 s i n ( 1 ) l i m 1 ( ) 1. s i n 1 s i n s i n c os 1 ( 2) ( 0) l i m l i m l i m 2 2 c os l i m 1. 2 ( s i n c os ) s i n ( 0) ( ) . 1 ( 0) s i ( 3 ) l i m ( ) l i m x x x x x x x x x x x x x x x x x e x f x a x e x e x x e x e x x F x x x e x x e x e x e x x F x x x x e F x = = - - + - = = = = = + - = = = 由 于 ， 而 为 连 续 函 数 ， 则 ： 所 以 ， 又 2 0 n c os s i n 2 c os l i m 1 ( 0) . 2 ( ) 0 ( ) ( ) . x x x x x x e x e x x e x F x x F x x F x + - = = = = - + 因 此 ， 在 处 连 续 ， 从 而 在 ， 上 连 续 24 、 设常数 0a ， 讨论曲线 y a x= 与 2 l ny x= 在第一象限中 交点 的